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| Aufgabe | Aus einer Gruppe von 4 Frauen und 4 Männern wollen 4 Personen Tennis spielen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn
1) keinerlei Einschränkungen bestehen,
2) keine Frau mitspielen soll
3) genau eine Frau mitspielen soll
4) genau 2 Frauen mitspielen sollen
5) genau 3 Frauen mitspielen sollen
6) alle 4 Frauen mitspielen sollen?
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Könnte bitte jemand meine Lösungen überprüfen!
Lösungen:
1) 8! / (8-4)!
2) 4! / 0!
3) 5! / 1!
4) 6! / 2!
5) 7! / 3!
6) 4! / 0!
Momentan stehe ich bei diesen Aufgaben ein bißchen auf den Schlauch. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich am einfachsten an solche Aufgaben rangehe. Bin mir manchmal nicht sicher, ob mit Reihenfolge oder ohne - ob mit Wiederholung oder ohne. Gibt es eigentlich dazu ein Standardschema oder irgenwelche Tricks?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich weiß nicht, ob es auf die Reihenfolge der Personen ankommt, also ob z.B. MMFF das gleiche wie MFFM ist.
Ich würde sagen, dass es nicht auf die Reihenfolge ankommt. Dann könnte man a) z.B. mit [mm] \vektor{8 \\ 4} [/mm] berechnen, was das gleiche wie dein Ergebnis ist, nochmal durch 4! geteilt. Denn bei dir wären MMFF und MFFM z.B. unterschiedliche Mannschaften, ich fasse sie aber zur gleichen zusammen.
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| Aufgabe | | siehe Aufgabe Kombinatorik |
Ich habe deshalb mit Reihenfolge gewählt, da meiner Meinung nach, je nach Zusammensetzung unterschiedliche Teams entstehen - es spielen zwei Spieler zusammen gegen ein anderes Team auch mit zwei Spielern, d.h. wenn das Team 1 aus (nehmen wir an) Franz und Birgit besteht und Team 2 aus Gisela und Helmut ist diese Zusammensetzung anders, als wenn Franz und Gisela sowie Helmut und Birgit zusammenspielen? Aber ich muss zugeben, dass die Aufgabenstellung dahingehend ziemlich ungenau ist. Vielleicht habe ich die Aufgabenstellung falsch verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Sa 08.03.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
in der Aufgabestellung steht nur, dass sie Tennis spielen wollen, d.h. man muß ohne beachten der Reihenfolge rechnen. D.h. bei Frage a) gibt es
8 aus 4 (also 70 ) und bei Frage b) 4 aus 4 ( also nur 1 ) Möglichkeiten usw.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 08.03.2008 | | Autor: | Blech |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Momentan stehe ich bei diesen Aufgaben ein bißchen auf den
> Schlauch. Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, wie
> ich am einfachsten an solche Aufgaben rangehe. Bin mir
> manchmal nicht sicher, ob mit Reihenfolge oder ohne - ob
Das ist hier auch nicht ganz klar. Insbesondere ist nicht klar, ob wir bei dem Tennis-Match 4 Positionen unterscheiden, 2 Teams oder uns einfach nur interessiert, wer an dem Match teilnimmt (tendentiell letzteres. Es heißt in der Aufgabe "wollen Tennis spielen", d.h. uns interessiert nur, wer spielen will und wer nicht).
> mit Wiederholung oder ohne. Gibt es eigentlich dazu ein
> Standardschema oder irgenwelche Tricks?
Du mußt halt Dir logisch überlegen, was Du willst. Generell führen immer mehrere Wege zum Ziel.
Du hast 8 Leute; Gerd, Heinz, Sepp und Uli, sowie Gerda, Henriette, Josephina und Ulrike (eigentlich ist das ziemlich sexistisch ^^°)
Beispiel 1) für die verschiedenen Möglichkeiten:
Du nimmst 8 Möglichkeiten für die erste Position, 7 für die zweite, etc.
D.h. Du unterscheidest a) 4 Positionen und 8 Personen. Damit hast Du nicht "2 Männer und 2 Frauen spielen", sondern "Gerd und Heinz spielen gegen Gerda und Henriette, wobei Gerd und Gerda jeweils Kapitän sind (ka, ob's da was dergleichen beim Tennis gibt)"
Also: $\frac{8!}{(8-4)!}=\frac{8!}{4!}$
(Alternative Sichtweise: Du wählst aus den 8 Personen einfach mal 4 aus, ohne Reihenfolge, ${8\choose 4}$. Jetzt zählst Du die Möglichkeiten die 4 Spieler auf die 4 unterschiedlichen Positionen zu verteilen, $4!$. Damit ergibt sich: ${8\choose 4}*4!= \frac{8!}{4!4!}*4!=\frac{8!}{4!}$ Wie oben)
Sind jetzt die Positionen in einem Team gleichwertig, dann ist also Gerd auf 1 und Heinz auf 2 das gleiche wie Gerd auf 2 und Heinz auf 1.
Wir fangen an wie oben ($\frac{8!}{4!}$) und entfernen dann die doppelten:
D.h. Du teilst durch 2!, weil die Reihenfolge im ersten Team wurscht ist, und dann nochmal durch 2!, weil's die im zweiten auch ist.
Also: $\frac{8!}{4!}*\frac{1}{2!}*\frac{1}{2!}$
(Alternative Sichtweise: Du wählst aus den 8 Personen 4 aus (${8\choose 4}$). Dann wählst Du aus diesen 4 zwei aus(${4\choose 2}$), die Du in Team 1 steckst, die anderen beiden sind Team 2:
${8\choose 4}*{4\choose 2}=\frac{8!}{4!4!}*\frac{4!}{2!2!}=\frac{8!}{4!2!2!}$ Wieder das gleiche)
Geht's nur darum, wer an dem Match teilnimmt, und nicht darum, wer gegen wen spielt. Das ist das gleiche wie eben, nur kannst Du alle 4 Positionen durchpermutieren, aber dafür nur einmal, weil wir ja nur noch 1 Match anstatt 2 Teams haben:
Also: $\frac{8!}{4!}*\frac{1}{4!}$ (=$\frac{8!}{4!(8-4)!}={8\choose 4}\right)$, lies "4 aus 8". So kommt man überhaupt erst auf den Binomialkoeffizienten)
( Ist jetzt auch noch gleichgültig, wer in dem Team ist, und wir sind nur am Geschlecht interessiert, dann können wir einfach Männer als identische, weiße und Frauen als rote Bälle betrachten. Wir nehmen 4 Bälle und können dabei 0, 1, 2, 3 oder 4 rote Bälle erhalten. Damit werden die späteren Aufgaben natürlich witzlos.)
Für die anderen als Beispiel die 3.:
Wir wählen eine der Frauen (4 Möglichkeiten) und dann 3 Männer (${4\choose 3}$).
Jetzt haben wir unsere 4 Spieler und die können wir nach den verschiedenen Möglichkeiten von oben auf die Teams verteilen oder auch nicht.
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