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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:52 Di 03.03.2015 | | Autor: | radiac |
| Aufgabe | | Wieviele Möglichkeiten an Passwörtern gibt es, bei insgesamt 9 Zeichen, alles Kleinbuchstaben und den folgenden Einschränkungen: kein Buchstabe darf öfter als 5 mal in dem Wort vorkommen, kein Buchstabe darf öfter als 3 mal nacheinander vorkommen. |
Die Anzahl aller Passwörter errechnet sich meines Erachtens einfach aus [mm] 26^9.
[/mm]
Davon abziehen könnte ich ja erst mal die Wörter, in denen 3 Buchstaben aufeinander folgen. In diesem Fall wären ja nur 6 Stellen verschieden, also [mm] 26^6 [/mm] Wörter. Die 3 gleichen Buchstaben können jedoch am Anfang, am Ende oder in der Mitte auftauchen. Diese Anzahl müsste ich ja wieder hinzurechnen, es ergibt sich meines Erachtens: [mm] 6*26^6
[/mm]
Die Differenz aus [mm] 26^9 [/mm] und [mm] 6*26^6 [/mm] wäre dann die Anzahl der Möglichkeiten, dass 3 gleiche Buchstaben im Wort vorkommen richtig?
Also wäre die gesuchte Anzahl der Wörter, in denen es keine 3 nacheinander folgenden gleichen Buchstaben gibt [mm] 6*26^6.
[/mm]
Davon abziehen müsste ich noch die Wörter, in denen ein und derselbe Buchstabe 5 mal vorkommt. Dies kann ja an verschiedenen Stellen sein. In diesem Fall wären aber nur noch 4 Buchstaben variabel, also [mm] 26^4. [/mm] Jetzt harkt es bei mir aber, denn in diesen Wörtern können ja wiederum einige Auftauchen, bei denen ein Buchstabe 3 mal hintereinander kommt...
Hat jemand eine Idee bzw. kann jemand prüfen ob mein erster Ansatz überhaupt stimmt?
Viele Dank!
Mfg
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mi 04.03.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo radiac,
da schon länger keiner antwortet, gebe ich dir mal ein paar Anstöße (und setze daher den Frage-Status auf "halb-beantwortet"):
Es ist klar, dass es sich bei dem Passwort um eine Permutation mit Wiederholung handelt. Wie haben als zugehörige Menge
[mm] $\Omega=\{A,B,C,...,Z\}^9=\underbrace{\{A,B,C,...,Z\}\times\{A,B,C,...,Z\}\times...\times \{A,B,C,...,Z\}}_{9 mal}$
[/mm]
Wie du richtig erkannt hast ist [mm] |\Omega|=26^9.
[/mm]
Nun zu den Einschränkungen, die wir aus der Anzahl der Möglichkeiten "herausrechnen" müssen:
1.) Buchstaben kommen öfter als 5 mal in dem Wort vor:
Dazu berechnen wir die Möglichkeiten genau 6-, 7-, 8- oder 9-mal diesselben Buchstaben zu erhalten.
- Möglichkeit genau 6-mal denselben Buchstaben zu erhalten: [mm] \vektor{9\\6}\cdot26\cdot25^3.
[/mm]
Die 6 Plätze des 9-Tupels mit immer denselben Buchstaben zu belegen beträgt [mm] \vektor{9\\6}\cdot26, [/mm] da wir uns einen der 26 Buchstaben quasi "aussuchen" dürfen und die Möglichkeit aus 9 vorhandenen Plätzen 6 "zu ziehen" gerade 9 über 6 beträgt.
Die restlichen 3 Plätze können wir mit den anderen 25 Buchstaben belegen und erhalten damit [mm] 25^3 [/mm] Möglichkeiten.
Beachte, dass [mm] \vektor{9\\6}=\vektor{9\\3} [/mm] ist.
Die Anzahl an Möglichkeiten genau 7-, 8-, 9-mal denselben Buchstaben zu erhalten kannst du analog berechnen. Addiere am Ende die Anzahlen und du erhälst die Anzahl der Möglichkeiten, dass Buchstaben öfter als 5 mal in dem Wort vorkommen.
2.) Buchstaben kommen öfter als 3 mal nacheinander vor:
Hier müssen wir beachten, dass wir die Möglichkeiten von 6 bis 9 gleichen Buchstaben bereits betrachtet haben und diese also herausfallen. Wir betrachten hier also die Anzahl der Möglichkeiten genau 3-, 4- oder 5-mal dieselben Buchstaben zu ziehen! Beachte: Es kann auch sein, dass zwei mal 3 hintereinanderfolgende gleiche Buchstaben vorkommen! z.B. so: A,A,A,B,C,C,C,D,E oder auch A,A,A,A,C,C,C,D,A.
Und hier beginnt der Spaß, den ich dir leider aufgrund fehlender Zeit nicht hinreichend genau darlegen kann. Jedenfalls musst du dir mit diesem Vorgehen ziemlich viele Fälle ansehen.
Wahrscheinlich gibt es auch einen einfacheren Weg, der mir auf die Schnelle aber nicht einfallen will.
MfG
Ladon
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