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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:52 Do 19.03.2015 | | Autor: | Schroed |
| Aufgabe | Ein Spielkartenstapel enthält in den vier Farben Kreuz, Pik, Herz und Karo jeweils 10 Karten mit den Werten 1 bis 10. Es werden an 3 Spieler jeweils 12 Karten ausgeteilt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Spieler Hans genau eine Zehn auf der Hand?
b) Hans stellt fest, dass er genau eine Zehn auf der Hand hat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit befindet sich dann keine weitere Zehn unter den nicht ausgeteilten Karten? |
Bitte um Hilfe bei der Lösung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Do 19.03.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Schroed,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich denke es bringt nichts, wenn ich dir das Ergebnis einfach so hinschreibe und deine Hausaufgaben für dich erledige.  Daher folgende Fragen:
Zu a):
1.) Wie viele unterschiedliche Kombinationen sind auf einer Hand möglich?
Denke daran, dass es insgesamt [mm] 10\cdot4=40 [/mm] unterschiedliche Karten gibt, von denen 12 ausgeteilt werden. (Tipp: Lotto).
Evtl. hilfreich: Kommt es auf die Reihenfolge der Karten an? Mit oder ohne Wiederholung? ![[]](/images/popup.gif) (vgl. Schaubild auf dieser Seite)
2.) Wie viele Kombinationen auf einer Hand gibt es, bei denen die 10 genau einmal vorkommt?
Frage dich: Wie viele Möglichkeiten gibt es für die eindeutige 10 auf der Hand? Wie viele Möglichkeiten gibt es für die restlichen Karten auf der Hand, die nicht den Wert 10 haben dürfen?
3.) Bringe 1.) und 2.) zu einer Formel zusammen, die
[mm] $P(\{\mbox{genau eine 10 auf der Hand}\})\in[0,1]$
[/mm]
beschreibt, in der Form
(Anzahl der Möglichkeiten für das Ereignis genau eine 10 auf der Hand zu haben)/(Anzahl aller möglichen "Hände")
Ich schreibe dir erst mal diese Fragen zum Aufgabenteil a), da ich denke, dass du b) lösen kannst, wenn du das Prinzip hinter Aufgabenteil a) verstanden hast.
Falls dir also nach der Bearbeitung der Aufgabe a) ein Ansatz zu b) einfällt, der diskutiert werden soll, kannst du ihn gerne posten.
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Fr 20.03.2015 | | Autor: | Schroed |
| Aufgabe | | a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Spieler Hans genau eine Zehn auf der Hand? |
Hallo Ladon, vielen Dank für deine Tipps.
Habe ich den Lösungsansatz für Aufgabe a) richtig ? P = [mm]{40 \choose 4}[/mm] / [mm]{40 \choose 12}[/mm]
Bei (Anzahl der Möglichkeiten für das Ereignis genau eine 10 auf der Hand zu haben) bin ich mir nicht sicher.
Gruß Schroed
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Sa 21.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du brauchst hier die hypergeometrische Verteilung.
In deinem Fall also:
[mm] P=\frac{{4\choose1}\cdot{36\choose11}}{{40\choose12}}
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 So 22.03.2015 | | Autor: | Ladon |
Ich möchte nur noch einen kurzen Hinweis geben, wie man auf die von Marius genannte Lösung mit der hypergeometrischen Verteilung kommt:
P [mm] (\{ \mbox{genau eine 10 auf der Hand}\})=\frac{\vektor{4\\1}\vektor{36\\11}}{\vektor{40\\12}}
[/mm]
1.) Bei den Karten auf der Hand kommt es nicht auf die Reihenfolge an und man hat kein wiederholtes Austeilen derselben Karten (ohne Wiederholung). Also handelt es sich eine Kombination ohne Wiederholung und wir haben (vgl. Link in meiner Antwort oben):
[mm] \vektor{40\\12} [/mm] Möglichkeiten aus 40 Karten 12 zu ziehen.
2.) Es gibt [mm] \vektor{4\\1}\vektor{36\\11} [/mm] mögliche "Hände" mit genau einer 10.
Dabei gibt es [mm] \vektor{4\\1}=4 [/mm] Möglichkeiten aus den 4 Zehnen eine Zehn auszuwählen.
Da die anderen Karten keine Zehnen sein dürfen, bleiben 36 unterschiedliche Karten übrig, aus denen die restlichen 11 Karten beliebig gewählt werden können. [mm] \Rightarrow \vektor{36\\11}.
[/mm]
Es folgt obige Formel, die der sogenannte hypergeometrische Verteilung entspricht:
[mm] H_{N, r, n}(k)=\frac{\vektor{r\\k}\vektor{N-r\\n-k}}{\vektor{N\\n}} [/mm] mit N=r+s, [mm] \Omega=\{0,..., n\}, k\in\Omega, [/mm] m, n, r, [mm] s\in\IN_0.
[/mm]
Dabei ist in dem vorliegenden Kontext $ r=4, k=1, [mm] n=12\mbox [/mm] { und }N=40 $.
Fällt dir jetzt ein Ansatz zur b) ein? 
MfG
Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Mo 23.03.2015 | | Autor: | Schroed |
Vielen Dank euch beiden M.Rex und Ladon für eure Hilfestellung.
Mein Lösungsansatz zu b): N=40 K=4 n=36 k=4
P (keine weitere 10 unter den nicht ausgeteilten Karte) = [mm] {4 \choose 4} [/mm] * [mm] {40-4 \choose 36-4} [/mm] / [mm] {40\choose 36} [/mm]
Kann man das so rechnen?
Gruß Schroed
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 23.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Vielen Dank euch beiden M.Rex und Ladon für eure
> Hilfestellung.
>
> Mein Lösungsansatz zu b): N=40 K=4 n=36 k=4
>
> P (keine weitere 10 unter den nicht ausgeteilten Karte) =
> [mm]{4 \choose 4}[/mm] * [mm]{40-4 \choose 36-4}[/mm] / [mm]{40\choose 36}[/mm]
>
> Kann man das so rechnen?
Ja, das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den vier nicht ausgeteilten Karten keine Zehn befindet. Und du könntest sie auch gedanklich einfacher durch [mm] $\br{\vektor{36\\4}}{\vektor{40\\4}}\approx64,455\ \%$ [/mm] berechnen.
Im Nenner steht die Anzahl der Möglichkeiten, aus den 40 Karten diesen 4-Karten Talon zu wählen. Im Zähler steht die Anzahl der Möglichkeiten, dies so zu wählen, dass keine Zehn im Talon landet.
Die ganze Sache hat nur einen gewaltigen Schönheitsfehler: Das ist nicht Wahrscheinlichkeit die in Aufgabe b) gefragt ist. Es wird zwar nach dem Ereignis gefragt, dass im Talon keine Zehn liegt, allerdings unter der Voraussetzung, dass wir bereits wissen, dass ein bestimmter Spieler genau eine Zehn in seinem Blatt hat.
Es ist also nach einer bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt.
Der obige Absatz berücksichtigt die Information, die wir über das Blatt von Hans bereits haben, leider nicht.
Gruß Rmix
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