Kombinatorik"Zahlenerstellung" < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Guten Morgen,
ich schreibe morgen eine Matheklausur in der auch Kombinatorik ein zu behandelndes Thema sein wird. Ich habe nun einige Aufgaben dazu durchgerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind. Da in den Forenregeln steht, dass man für jede neue Frage einen neuen Diskussionsstrang beginnen soll, habe ich mich bemüht die Aufgaben thematisch zu sortieren.
In dieser Diskussion geht es um die Erstellung 4-6-ziffriger Zahlen.
Aufgabe 1:
Wie groß ist die Anzahl der vierziffrigen Zahlen,
a) insgesamt,
b) mit vier ungeraden Ziffern,
c) mit vier geraden Ziffern,
d) mit lauter verschiedenen Ziffern,
e) nur mit den Ziffern 3, 5 oder 8,
f) mit der Ziffer 4 in der Zahl,
g) mit genau zwei gleichen Ziffern,
h) mit mindestens zwei Vierern,
i) mit genau zwei gleichen Ziffern und ohne die Ziffern 9 und 0 ?
Lösung(?):
a) Bei der ersten Ziffer fällt die 0 als mögliche Ziffer weg, deswegen:
[mm] m = 9*10^3[/mm]
b) [mm] m = 5^4[/mm]
c) [mm] m = 4*5^4[/mm]
d) 1. Ziffer: alle möglich ausser 0
2. Ziffer: alle möglich ausser der 1.
3. Ziffer: alle möglich ausser der 1. + 2.
4. Ziffer: alle möglich ausser der 1. + 2. + 3.
Also: [mm] m = \bruch{9*9!}{6!}[/mm]
e) Nur 3 Ziffern zur Auswahl, also:
[mm] m = 3^4[/mm]
f) Man betrachtet das Gegenereignis: Ohne die Ziffer 4:
[mm] m = 8*9^3 [/mm]
Dieses zieht man von der Gesamtzahl der Möglichkeiten ab:
[mm] m = 9*10^3 - 8*9^3[/mm]
g)Bin ich auf keine Lösung gekommen.
h)Habe ich als Lösung: [mm] m = 9*1*1*10[/mm] sozusagen um sicher zu gehen, dass zwei 4er enthalten sind. Kann mir aber nicht vorstellen, dass das stimmt, da es ja genauso gut nach der Überlegung lauten könnte:
[mm] m = 1*1*10*10[/mm]
i) Wäre nach dem Prinzip von h): [mm] m = 7*7*1*1[/mm]
Aufgabe 2:
Wie viele sechsstellige Zahlen gibt es, die höchstens drei Fünfer enthalten?
Auch hier ist wieder das gleiche Problem, wie in h) und i) aus Aufgabe 1.
Aufgabe 3:
Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es
a) insgesamt,
b) ohne die Ziffer 3
c) wenn die Ziffer 3 höchstens zweimal vorkommt ?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine beliebige fünfstellige
Zahl mindestens zwei Vierer enthält ?
Lösung(?):
a) [mm] m = 9*10^4[/mm]
b) [mm] m = 8*9^4[/mm]
c) ??? Wieder das gleiche Problem 
d) ???
Auch hier vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Guten Morgen,
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> ich schreibe morgen eine Matheklausur in der auch
> Kombinatorik ein zu behandelndes Thema sein wird. Ich habe
> nun einige Aufgaben dazu durchgerechnet, bin mir aber nicht
> sicher, ob meine Lösungen richtig sind. Da in den
> Forenregeln steht, dass man für jede neue Frage einen neuen
> Diskussionsstrang beginnen soll, habe ich mich bemüht die
> Aufgaben thematisch zu sortieren.
>
> In dieser Diskussion geht es um die Erstellung
> 4-6-ziffriger Zahlen.
>
> Aufgabe 1:
>
> Wie groß ist die Anzahl der vierziffrigen Zahlen,
> a) insgesamt,
> b) mit vier ungeraden Ziffern,
> c) mit vier geraden Ziffern,
> d) mit lauter verschiedenen Ziffern,
> e) nur mit den Ziffern 3, 5 oder 8,
> f) mit der Ziffer 4 in der Zahl,
> g) mit genau zwei gleichen Ziffern,
> h) mit mindestens zwei Vierern,
> i) mit genau zwei gleichen Ziffern und ohne die Ziffern 9
> und 0 ?
>
> Lösung(?):
>
> a) Bei der ersten Ziffer fällt die 0 als mögliche Ziffer
> weg, deswegen:
> [mm]m = 9*10^3[/mm]
> b) [mm]m = 5^4[/mm]
> c) [mm]m = 4*5^4[/mm]
> d) 1. Ziffer: alle
> möglich ausser 0
> 2. Ziffer: alle möglich ausser der 1.
> 3. Ziffer: alle möglich ausser der 1. + 2.
> 4. Ziffer: alle möglich ausser der 1. + 2. + 3.
> Also: [mm]m = \bruch{9*9!}{6!}[/mm]
> e) Nur 3 Ziffern zur
> Auswahl, also:
> [mm]m = 3^4[/mm]
> f) Man betrachtet das Gegenereignis: Ohne
> die Ziffer 4:
> [mm]m = 8*9^3[/mm]
> Dieses zieht man von der Gesamtzahl der
> Möglichkeiten ab:
> [mm]m = 9*10^3 - 8*9^3[/mm]
> g)Bin ich auf keine Lösung
> gekommen.
> h)Habe ich als Lösung: [mm]m = 9*1*1*10[/mm] sozusagen um sicher zu
> gehen, dass zwei 4er enthalten sind. Kann mir aber nicht
> vorstellen, dass das stimmt, da es ja genauso gut nach der
> Überlegung lauten könnte:
> [mm]m = 1*1*10*10[/mm]
Hallo erst mal,
na deine Lösung hat ein Loch
die Zahl sieht doch so aus:
44XX
dabei steht X für eine beliebige Ziffer, desweiteren dürfen die beiden vieren an einer beliebigen Stelle stehen: dafür gibt es genau [mm] \bruch{4!}{2!*2!} [/mm] = 6 Möglichkeiten:
44XX
4X4X
4XX4
X44X
XX44
X4X4
wie du siehst steht in genau der Hälfte aller Fälle eine 4 an erster Stelle.
Für diese Fälle dürfen für das X alle Ziffern eingesetzt werden, also:
44XX = 1*1*10*10
4X4X = 1*1*10*10
4XX4 = 1*1*10*10
wenn aber das X als erste Ziffer auftritt enfällt ja die 0, wie du richtig bemerkt hast:
X44X= 9*1*1*10
XX44= 9*10*1*1
X4X4 = 9*1*10*1
damit ergibt sich insgesamt : [mm] 3*10^2+3*9^{10}= [/mm] 570 Möglichkeiten
so und für Aufgabe 1g denkst du mal selber nach, eine vierstellige Zahl mit genau zwei gleichen Ziffern sieht ja wie folgt aus:
AABC
wobei A in der Hälfte alle Fälle an erster Stelle steht (9 Möglichkeiten), sonst 10 Möglichkeiten und für B und C bleiben sowieso nicht 10, sondern nur .... Möglichkeiten übrig....
Ich denke ich hab fürs erste genug verraten, wenn nicht, kannst du ja nachfragen
Gruß
OLIVER
> i) Wäre nach dem Prinzip von h): [mm]m = 7*7*1*1[/mm]
>
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> Aufgabe 2:
> Wie viele sechsstellige Zahlen gibt es, die höchstens drei
> Fünfer enthalten?
>
> Auch hier ist wieder das gleiche Problem, wie in h) und i)
> aus Aufgabe 1.
>
> Aufgabe 3:
> Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es
> a) insgesamt,
> b) ohne die Ziffer 3
> c) wenn die Ziffer 3 höchstens zweimal vorkommt ?
> d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine
> beliebige fünfstellige
> Zahl mindestens zwei Vierer enthält ?
>
> Lösung(?):
>
> a) [mm]m = 9*10^4[/mm]
> b) [mm]m = 8*9^4[/mm]
> c) ??? Wieder das gleiche
> Problem
> d) ???
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> Auch hier vielen Dank für eure Hilfe.
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Hallo Oliver,
vielen Dank erstmal für deine Antwort.
Ich glaube das Prinzip nun auch zumindest für diese Aufgabe verstanden zu haben. Mein Ergebnis für g) lautet:
[mm]m = 3*9^3 + 3*8*9*10[/mm],
da ja in B und C A nicht mehr enthalten sein darf.
Für i) habe ich nun dementsprechend:
[mm]m = 6*8*7^2[/mm]
Hier muss ja nicht zwischen den beiden Fällen unterschieden werden, da die 0 ja nicht mehr vorkommen kann.
Allerdings weiß ich immer noch nicht genau, wie ich die anderen Aufgaben lösen soll, in denen nach höchstens ... 5ern bzw. 3ern gefragt ist.
Aufgabe 3d) müsste nach deinem Ansatz so zu lösen sein:
Es gibt [mm] \bruch{5!}{3!*2!} = 10[/mm] Möglichkeiten die Zahlen anzuordnen, wobei es diesmal nur 4 Möglichkeiten gibt bei denen die 4 vorne steht und 6 bei denen ein X vorne steht.
Also müsste das Ergebnis folgendermaßen lauten:
[mm]P = \bruch{4*10^3 + 6*9*10^2}{9*10^4}[/mm]
Wäre super, wenn du mir noch bei den anderen beiden Aufgaben helfen könntest bzw. mir sagen, ob ich meine Ergebnisse stimmen.
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> Hallo Oliver,
>
> vielen Dank erstmal für deine Antwort.
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> Ich glaube das Prinzip nun auch zumindest für diese Aufgabe
> verstanden zu haben. Mein Ergebnis für g) lautet:
welche g) meinst du hier, du hast mehrere Teilaufgaben mit g)
> [mm]m = 3*9^3 + 3*8*9*10[/mm],
>
> da ja in B und C A nicht mehr enthalten sein darf.
>
> Für i) habe ich nun dementsprechend:
>
> [mm]m = 6*8*7^2[/mm]
>
> Hier muss ja nicht zwischen den beiden Fällen unterschieden
> werden, da die 0 ja nicht mehr vorkommen kann.
>
> Allerdings weiß ich immer noch nicht genau, wie ich die
> anderen Aufgaben lösen soll, in denen nach höchstens ...
> 5ern bzw. 3ern gefragt ist.
>
> Aufgabe 3d) müsste nach deinem Ansatz so zu lösen sein:
>
> Es gibt [mm]\bruch{5!}{3!*2!} = 10[/mm] Möglichkeiten die Zahlen
> anzuordnen, wobei es diesmal nur 4 Möglichkeiten gibt bei
> denen die 4 vorne steht und 6 bei denen ein X vorne
> steht.
>
> Also müsste das Ergebnis folgendermaßen lauten:
>
> [mm]P = \bruch{4*10^3 + 6*9*10^2}{9*10^4}[/mm]
immer diese schwierigen Fragen am SonntaG
ich kann aber an deiner Überlegung keinen logischen Trugschluss feststellen, daher sieht die Formel sehr richtig aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wäre super, wenn du mir noch bei den anderen beiden
> Aufgaben helfen könntest bzw. mir sagen, ob ich meine
> Ergebnisse stimmen.
>
>
Gruß
OLIVER
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> Hallo Oliver,
>
> vielen Dank erstmal für deine Antwort.
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> Ich glaube das Prinzip nun auch zumindest für diese Aufgabe
> verstanden zu haben. Mein Ergebnis für g) lautet:
>
> [mm]m = 3*9^3 + 3*8*9*10[/mm],
ok, sehe gerade, dass das Aufgabe 1 sein soll
erklär deinen Ansatz mal, sieht irgendwie komisch aus...
> da ja in B und C A nicht mehr enthalten sein darf.
>
> Für i) habe ich nun dementsprechend:
>
> [mm]m = 6*8*7^2[/mm]
hmm, für die 2 gleichen Ziffern gibt es 8 Möglichkeiten, für die beiden anderen noch 7 bzw. 6, Anzahl Permutationen hatten wir bereits mit 6 festgelegt, ergibt bei mir 8*1*7*6*Anzahl Permutationen, also [mm] 8*7*6^2
[/mm]
Gruß
OLIVER
> Hier muss ja nicht zwischen den beiden Fällen unterschieden
> werden, da die 0 ja nicht mehr vorkommen kann.
>
> Allerdings weiß ich immer noch nicht genau, wie ich die
> anderen Aufgaben lösen soll, in denen nach höchstens ...
> 5ern bzw. 3ern gefragt ist.
>
> Aufgabe 3d) müsste nach deinem Ansatz so zu lösen sein:
>
> Es gibt [mm]\bruch{5!}{3!*2!} = 10[/mm] Möglichkeiten die Zahlen
> anzuordnen, wobei es diesmal nur 4 Möglichkeiten gibt bei
> denen die 4 vorne steht und 6 bei denen ein X vorne
> steht.
>
> Also müsste das Ergebnis folgendermaßen lauten:
>
> [mm]P = \bruch{4*10^3 + 6*9*10^2}{9*10^4}[/mm]
>
> Wäre super, wenn du mir noch bei den anderen beiden
> Aufgaben helfen könntest bzw. mir sagen, ob ich meine
> Ergebnisse stimmen.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:18 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Den Ansatz von 1g) habe ich von dir übernommen:
so und für Aufgabe 1g denkst du mal selber nach, eine vierstellige Zahl mit genau zwei gleichen Ziffern sieht ja wie folgt aus:
AABC
wobei A in der Hälfte alle Fälle an erster Stelle steht (9 Möglichkeiten), sonst 10 Möglichkeiten und für B und C bleiben sowieso nicht 10, sondern nur .... Möglichkeiten übrig....
Von der logische Anordnung her wäre das:
[mm] m = 3*9*1*9*9 + 3*8*10*1*9 [/mm]
was meinem Ergebnis entspricht.
Bei 1i) habe ich mich vertan.
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> Den Ansatz von 1g) habe ich von dir übernommen:
>
> so und für Aufgabe 1g denkst du mal selber nach, eine
> vierstellige Zahl mit genau zwei gleichen Ziffern sieht ja
> wie folgt aus:
>
> AABC
>
> wobei A in der Hälfte alle Fälle an erster Stelle steht (9
> Möglichkeiten), sonst 10 Möglichkeiten und für B und C
> bleiben sowieso nicht 10, sondern nur .... Möglichkeiten
> übrig....
>
> Von der logische Anordnung her wäre das:
>
> [mm]m = 3*9*1*9*9 + 3*8*10*1*9[/mm]
also 3 ist klar , 9 auch für das erste A, 1 für das 2., 9 für das B, bleiben aber nur noch 8 für das C, oder?
also m=3*9*1*9*8+3*10*1*9*8 oder darf B=C sein
> was meinem Ergebnis entspricht.
>
> Bei 1i) habe ich mich vertan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 So 06.03.2005 | | Autor: | Janis |
Die Aufgabe lautet ja "genau zwei gleiche Ziffern"... ich habe das so verstanden, dass es nicht mehr als 2 Ziffern dieser einen Ziffer sein dürfen. Das der Fall zweimal zwei gleiche Ziffern auch darunter fallen könnte, daran hab ich noch gar nicht gedacht. Aber da könntest du natürlich recht haben.
Ist mir jetzt aber auch egal, da ich das Prinzip verstanden habe und in der Klausur morgen die Aufgaben hoffentlich eindeutiger formuliert sind bzw. ich dann nachfragen kann.
Nochmal vielen Dank für deine umfassende Hilfe!
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