Kombinatorische Argumentation < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Do 24.07.2014 | | Autor: | Morgyr |
| Aufgabe | Beweise durch kombinatorische Argumentation:
[mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] n(n-1)2^{n-2}+n 2^{n-1} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mir fehlt hier der richtige Ansatz.
Versuch:
Auf der rechten Seite kommen Ausdrücke der Form [mm] 2^x [/mm] vor. Dies könnte modifiziert [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] entsprechen. Also Anzahl Möglichkeiten k Elemente aus n-1 bzw n-2 zu ziehen.
Ansonsten sieht die rechte Seite nach Stirlingzahlen erster Art aus. Also Anzahl Permutationen mit k Zyklen.
Wenn das wirklich so wäre, ist [mm] \summe_{j=1}^{n}\summe_{k=1}^{n} k^2 \vektor{n \\ k}=n!
[/mm]
Entsprechend kommt [mm] n^2 [/mm] n mal vor, wird also viel zu groß.
Allerdings glaube ich da selber nicht dran.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Do 24.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Beweise durch kombinatorische Argumentation:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2 \vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]n(n-1)2^{n-2}+n 2^{n-1}[/mm]
>
Eine nette Aufgabe für die in der Kombinatorik gern angewandte Methode des "doppelten Abzählens", welche immer wieder zu oft überraschenden Formeln führt.
Eine konkrete, aber etwas sinnfreie Aufgabenstellung, die zu diesem Beispiel passt:
Aus der Menge der n Mitglieder ohne offizielle Rollen des Matheraums wird eine beliebig Anzahl zu Moderatoren gemacht (das kann nur einer sein oder auch alle). Unter diesen neuen Moderatoren wird nun je einmal die Rolle eines Editors und die eines Koordinators verlost (das kann auch die gleiche Person treffen). Auf wie viele Arten ist dies möglich?
Du hast nun zwei unterschiedliche Zugänge, diese Aufgabe zu lösen:
1) Erst werden k Personen aus den n vorhandenen gewählt und dann aus diesen der Editor und der Koordinator (Reihenfolge wesentlich, Wiederholung möglich).
2) Erst werden der Editor und der Koordinator bestimmt (Fallunterscheidung nötig ob Personalunion oder nicht) und dann die restlichen Neumoderatoren hinzugefügt. Für jedes der verbleibenden Mitglieder gibt es nun also die 2 Möglichkeiten im Team zu sein oder eben nicht.
Damit hast du dann die beiden Seiten deiner Beziehung.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 Do 24.07.2014 | | Autor: | Morgyr |
Ah, klingt ja einfach -.- Vielen Dank, ist verstanden.
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