Kombinatorisches Problem < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 30.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Es seien n, N, K in [mm] \IN [/mm] mit [mm] n\le{N} [/mm] und [mm] K\le{N}.
[/mm]
Zudem sei [mm] (\Omega,\mathcal{F},P) [/mm] ein Wahrscheinlichkeitsraum mit [mm] \Omega:=\{(\omega_1,...,\omega_n)\in \{1,...,N\}^n|\text{ }\#\{\omega_i|1\le{i}\le{n}\}=n\},\text{ }\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)
[/mm]
und der uniformen Verteilung als Wahrscheinlichkeitsmaß P.
Sei weiter [mm] A_i:=\{(\omega_1,...,\omega_n)\in{\Omega}\text{ }|\text{ }\omega_i\le{K}\}.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie [mm] P[A_i].
[/mm]
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Hallo Leute,
also es handelt sich hierbei wohl um ein Urnenmodell, bei dem N-K weiße und K schwarze Kugeln in der Urne enthalten sind. Es wird dann n-mal ohne Zurücklegen gezogen, wobei die Reihenfolge nicht interessiert. Nun da es sich bei P um die uniforme Verteilung handelt, ist es lediglich ein kombinatorischer Problem, d.h. ich muss ja nur wissen wieviele Elemente [mm] \Omega [/mm] bzw. [mm] A_i [/mm] enthalten.
Dann gilt: [mm] P[A_i]=\bruch{\left| A_i\right|}{\left| \Omega\right|}
[/mm]
Ich weiß bereits aus einem Satz der Vorlesung, dass [mm] \left|\Omega\right|={N \choose n} [/mm] ist.
Die Anzahl der Elemente, die [mm] A_i [/mm] enthält zu finden, gestaltet sich schon etwas schwieriger.
Ich hab mir bisher folgendes erarbeitet:
Wir können o.B.d.A. annehmen, dass [mm] |A_i|=|A_1| [/mm] für alle [mm] i\in{\{1,...,n\}}.
[/mm]
Weiter gilt:
[mm] |A_1|=K\cdot{(N-1)}\cdot{(N-2)}\cdot{}...\cdot{(N-(n-1))}=K\cdot{\bruch{(N-1)!}{(N-n)!}}
[/mm]
Somit: [mm] P[A_i]=P[A_1]=\bruch{\left| A_1\right|}{\left| \Omega\right|}=\bruch{K\cdot{n!}}{N} [/mm] für alle [mm] i\in{\{1,...,n\}}
[/mm]
Könnte da kurz jemand drüber schauen und mir sagen, ob das soweit stimmt bzw. wo ich vielleicht Fehler gemacht hab?!
Vielen Dank schon mal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Fr 30.04.2010 | | Autor: | gfm |
> Es seien n, N, K in [mm]\IN[/mm] mit [mm]n\le{N}[/mm] und [mm]K\le{N}.[/mm]
> Zudem sei [mm](\Omega,\mathcal{F},P)[/mm] ein
> Wahrscheinlichkeitsraum mit
> [mm]\Omega:=\{(\omega_1,...,\omega_n)\in \{1,...,N\}^n|\text{ }\#\{\omega_i|1\le{i}\le{n}\}=n\},\text{ }\mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
[mm] \#\{\omega_i|1\le{i}\le{n}\}=n [/mm] für ein [mm] (\omega_1,...\omega_n)\in\Omega
[/mm]
bedeuten?
LG
gfm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:15 Fr 30.04.2010 | | Autor: | kegel53 |
Um ehrlich zu sein, bin ich mir da auch nicht ganz sicher, allerdings hab ich mich damit auch weniger auseinandergesetzt,
da ja der Satz aus der Vorlesung mir zusichert, dass gilt: [mm] |\Omega|={N \choose n}
[/mm]
Das heißt um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, brauch ich lediglich noch zu wissen was [mm] |A_i| [/mm] bedeutet. Und es ist [mm] A_i="Die [/mm] i-te gezogene Kugel ist schwarz.".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:55 Sa 01.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Um ehrlich zu sein, bin ich mir da auch nicht ganz sicher,
> allerdings hab ich mich damit auch weniger
> auseinandergesetzt,
> da ja der Satz aus der Vorlesung mir zusichert, dass gilt:
> [mm]|\Omega|={N \choose n}[/mm]
>
Mal angenommen [mm]C=\Omega\cup B[/mm] sowie [mm]A\subset C[/mm]. Um [mm]A_i:=A\cap \Omega[/mm] zu bestimmen, bracht man dann i.A. Kenntnis über [mm]\Omega[/mm], oder?
LG
gfm
> Das heißt um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, brauch
> ich lediglich noch zu wissen was [mm]|A_i|[/mm] bedeutet. Und es ist
> [mm]A_i="Die[/mm] i-te gezogene Kugel ist schwarz.".
[mm] \Omega\in [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:21 Sa 01.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ja richtig und ich weiß in diesem Fall ja, dass [mm] \Omega [/mm] die Menge aller Möglichkeiten ist n Kugeln aus einer Urne mit N Kugeln zu ziehen, wobei ohne Zurücklegen und ohne auf die Reihenfolge zu achten gezogen wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Sa 01.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Ein Kommilitone meinte er hätte als Endergebnis [mm] P[A_i]=\bruch{K}{N}.
[/mm]
Das kann ich im Moment nicht nachvollziehn. Wär klasse, wenn mir jemand sagen könnte, ob mein Ergebnis stimmt oder nicht. Danke schon mal.
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Hallo kegel53,
so wie ich die Aufgabenstellung verstehe ist, [mm] $|\Omega| [/mm] = {N [mm] \choose [/mm] n}n!$. Hast Du falsch abgeschrieben?
Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
[mm] $P[A_i] [/mm] = [mm] K\cdot{\frac{(N-1)!n!(N-n)!}{(N-n)!N!n!}}= K\cdot{\frac{(N-1)!}{N!}}$.
[/mm]
Ein Tipp noch: Wennn Du einfache Spezialfälle, wie z.B. $K = N$, betrachtest, kannst Du sehen, ob Dein Ergebnis plausibel ist!
Gruß mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Sa 01.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Hey mathfunnel,
herzlichsten Dank für die Antwort ers mal.
Nun ich will mal nicht ausschließen, dass ich falsch abgeschrieben hab.
Aber falls nicht, kann ich wohl den Satz aus der Vorlesung entgegen meiner ursprünglichen Auffassung hier doch nicht verwenden.
Könntest du mir vielleicht erklären wie du auf [mm] |\Omega| ={N\choose n}\cdot{n!} [/mm] gekommen bist? Das wär echt super!!
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Hallo kegel53,
Der Ausdruck [mm] $\#\{\omega_i|1\le{i}\le{n}\}$ [/mm] wird wohl die Kardinalität [mm] $\kappa$ [/mm] der Menge [mm] $\{\omega_i|1\le{i}\le{n}\}\subseteq \{1,\ldots, N\}$ [/mm] sein. Für [mm] $\kappa [/mm] = n$ heißt das, dass alle [mm] $\omega_i$ [/mm] verschieden sein müssen. Daraus folgt, dass die Elemente von [mm] $\Omega$ [/mm] injektive Abbildungen sind. Damit ist [mm] $\#\Omega [/mm] = {N [mm] \choose [/mm] n}n!$
Gruß mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Sa 01.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay das versteh ich noch nicht so ganz.
Könntest du das etwas genauer erklären bzw. etwas anders formulieren?
Dank dir.
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Hallo kegel53,
die injektiven Abbildungen sind in unserem Fall bijektive Abbildungen in $n$-elementige Mengen. Man nehme ein bijektive Abbildung [mm] $f_M$ [/mm] mit [mm] $f_M(M) [/mm] = M $ für jede Menge $M [mm] \subseteq \{1,\ldots,N\}$ [/mm] (Es gibt ${N [mm] \choose [/mm] n}$ verschiedene $n$-elementige Teilmengen). Wenn man jetzt noch die Permutationen der Menge $M$ betrachtet, hat man mit Hintereinanderausführung $n!$ bijektive Abbildungen auf die Bildmenge $M$. Also gibt es insgesamt ${N [mm] \choose [/mm] n}n!$ injektive Abbildungen.
Gruß mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Sa 01.05.2010 | | Autor: | kegel53 |
Okay alles klar. Dann vielen Dank nochmal und schönen 1.Mai noch!!
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