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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Di 30.01.2007 | | Autor: | Tequila |
Hallo,
ich beschäftige mich grade mit Fourier-Reihen, und dort kommt es des öfteren mal vor das ich folgende Integrale lösen muss.
[mm] \integral_{a}^{b}{cos(x)cos(nx) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)sin(nx) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{cos(x)sin(nx) dx}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)cos(nx) dx}
[/mm]
ich habs partiell versucht (also 1-3 mal partiell integriert und dann versucht mittels additionstheoremen was umzuformen, so wie man das ja z.B. bei [mm] sin^{2}(x) [/mm] kennt)
mittels substitution z=sin(x) oder z=sin(nx) (auch mit kleinen tricks wie z.B. z=sin(x) => x=arcsin(z) und dann [mm] \bruch{dx}{dz} [/mm] usw.)
aber ich schaffs einfach nicht!
bin für jeden lösungsweg / tip dankbar!
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Also, du mußt zwei mal partiell integrieren:
[mm] $\integral \cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] nx = [mm] [\sin [/mm] x [mm] \cos nx]-n\integral \sin [/mm] x [mm] \sin [/mm] nx$
Nun nochmal:
[mm] $\integral \sin [/mm] x [mm] \sin [/mm] nx= [mm] -[\cos [/mm] x [mm] \sin [/mm] nx] +n [mm] \integral \cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] nx$
Einsetzen ergibt:
[mm] $\integral \cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] nx = [mm] [\sin [/mm] x [mm] \cos nx]+n[\cos [/mm] x [mm] \sin [/mm] nx] [mm] -n^2 \integral \cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] nx$
Das Integral nach links bringen:
[mm] $(1+n^2)\integral \cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] nx = [mm] [\sin [/mm] x [mm] \cos nx]+n[\cos [/mm] x [mm] \sin [/mm] nx]$
[mm] $\integral \cos [/mm] x [mm] \cos [/mm] nx = [mm] \frac{[\sin x \cos nx]+n[\cos x \sin nx]}{1+n^2}$
[/mm]
Die restlichen Aufgaben folgen analog.
P.S.: Bitte überprüfe, ob ich mich mit den Vorzeichen nicht vertan habe!
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