Kommutativ /Nullteilerfrei < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Ringe mit 1 sind im allgemeinen Kommutativ/ nullteiloerfrei (d.h. ohne Nullteiler [mm] \not [/mm] = 0)?
(1) [mm] \IZ/943\IZ
[/mm]
(2) [mm] \IR^{3} [/mm] mit punktweiser Addition und Multiplikation
(3) Die Menge R aller Gruppenhomomorphismen einer abelschen Gruppe G, mit punktweiser Addition + und Hintereinanderausführung [mm] \circ [/mm] .
(4) [mm] \IZ[x]
[/mm]
(5) [mm] \IR[x]/(1+6x+15x^{2}+20x^{3}+15x^{4}+6x^{5}+x^{6})
[/mm]
(6) [mm] {\pmat{ a & w \\ -\overline{w} & \overline{a} } : a,w \in \IC} [/mm] als Unterring des Matrizenringes [mm] \IC^{2\times2} [/mm] |
Hallo liebe Mathefreunde.
Ich habe mich mit dieser Aufgabe lange beschäftigt und bin zu folgenden Schluss gekommen:
(1) ist kommutativ weil die Restklassenringe kommutative Ringe mit 1 sind. Aber nicht Nullteilerfrei, weil 943 keine Primzahl ist.
(2) Ist nicht kommutativ, weil das Vektorprodukt nicht kommutativ ist sondern antikommutativ. Die Skalarmultiplikation wäre kommutativ aber es geht hier ja nicht explizit um diese Multiplikation oder?...Und Nullteiler gibt es auch im [mm] \IR^{3}
[/mm]
(3) ist auch nicht kommutativ weil die Hintereinanderausführung meiner Meinung nach nicht kommutativ ist. die Addition ist kommutativ aber die Hintereinanderausführung nicht. und Nullteiler gibt es auch. also wieder nichts vond en beiden geforderten Eigenschaften.
(4) [mm] \IZ[x] [/mm] ist ein Integritätsring und somit sowohl kommutativ als auch nullteilerfrei
(5) ist kommutativ, weil [mm] \IR [/mm] kommutativ ist. Außerdem besitzt dieser Ring Nullteiler.
(6)Matrizenringe sind niemals für n [mm] \ge [/mm] 1 kommutativ.. Außerdem besitzt dieser Ring Nullteiler und zwar die Matrizen bei denen die Determinante 0 ist
sind meine Überlegungen soweit korrekt?
LG Schmetterfee
ich bin über jeden hinweis dankbar
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> Welche der folgenden Ringe mit 1 sind im allgemeinen
> Kommutativ/ nullteiloerfrei (d.h. ohne Nullteiler [mm]\not[/mm] =
> 0)?
> (1) [mm]\IZ/943\IZ[/mm]
> (2) [mm]\IR^{3}[/mm] mit punktweiser Addition und Multiplikation
> (3) Die Menge R aller Gruppenhomomorphismen einer
> abelschen Gruppe G, mit punktweiser Addition + und
> Hintereinanderausführung [mm]\circ[/mm] .
> (4) [mm]\IZ[x][/mm]
> (5) [mm]\IR[x]/(1+6x+15x^{2}+20x^{3}+15x^{4}+6x^{5}+x^{6})[/mm]
> (6) [mm]{\pmat{ a & w \\ -\overline{w} & \overline{a} } : a,w \in \IC}[/mm]
> als Unterring des Matrizenringes [mm]\IC^{2\times2}[/mm]
> Hallo liebe Mathefreunde.
>
> Ich habe mich mit dieser Aufgabe lange beschäftigt und bin
> zu folgenden Schluss gekommen:
> (1) ist kommutativ weil die Restklassenringe kommutative
> Ringe mit 1 sind. Aber nicht Nullteilerfrei, weil 943 keine
> Primzahl ist.
Die Begründung ist falsch.
4 ist auch keine Primzahl, [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ$ [/mm] ist aber Nullteilerfrei.
> (2) Ist nicht kommutativ, weil das Vektorprodukt nicht
> kommutativ ist sondern antikommutativ. Die
> Skalarmultiplikation wäre kommutativ aber es geht hier ja
> nicht explizit um diese Multiplikation oder?...Und
> Nullteiler gibt es auch im [mm]\IR^{3}[/mm]
Also ich versteh es so, dass du punktweise Addition und punktweise Multiplikation hast, dann ist da gar nix antikommutativ, sondern schön kommutativ.
Aber Nullteiler gibts, da hast du recht.
> (3) ist auch nicht kommutativ weil die
> Hintereinanderausführung meiner Meinung nach nicht
> kommutativ ist. die Addition ist kommutativ aber die
> Hintereinanderausführung nicht. und Nullteiler gibt es
> auch. also wieder nichts vond en beiden geforderten
> Eigenschaften.
> (4) [mm]\IZ[x][/mm] ist ein Integritätsring und somit sowohl
> kommutativ als auch nullteilerfrei
> (5) ist kommutativ, weil [mm]\IR[/mm] kommutativ ist. Außerdem
> besitzt dieser Ring Nullteiler.
>
> (6)Matrizenringe sind niemals für n [mm]\ge[/mm] 1 kommutativ..
> Außerdem besitzt dieser Ring Nullteiler und zwar die
> Matrizen bei denen die Determinante 0 ist
>
> sind meine Überlegungen soweit korrekt?
>
> LG Schmetterfee
> ich bin über jeden hinweis dankbar
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:56 Fr 30.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > (1) ist kommutativ weil die Restklassenringe
> kommutative
> > Ringe mit 1 sind. Aber nicht Nullteilerfrei, weil 943 keine
> > Primzahl ist.
>
> Die Begründung ist falsch.
> 4 ist auch keine Primzahl, [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] ist aber
> Nullteilerfrei.
[mm] \overline{2}*\overline{2} [/mm] = [mm] \overline{4} [/mm] = [mm] \overline{0}
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:24 Fr 30.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Welche der folgenden Ringe mit 1 sind im allgemeinen
> Kommutativ/ nullteiloerfrei (d.h. ohne Nullteiler [mm]\not[/mm] =
> 0)?
> (1) [mm]\IZ/943\IZ[/mm]
> (2) [mm]\IR^{3}[/mm] mit punktweiser Addition und Multiplikation
> (3) Die Menge R aller Gruppenhomomorphismen einer
> abelschen Gruppe G, mit punktweiser Addition + und
> Hintereinanderausführung [mm]\circ[/mm] .
> (4) [mm]\IZ[x][/mm]
> (5) [mm]\IR[x]/(1+6x+15x^{2}+20x^{3}+15x^{4}+6x^{5}+x^{6})[/mm]
> (6) [mm]{\pmat{ a & w \\ -\overline{w} & \overline{a} } : a,w \in \IC}[/mm]
> als Unterring des Matrizenringes [mm]\IC^{2\times2}[/mm]
> Ich habe mich mit dieser Aufgabe lange beschäftigt und bin
> zu folgenden Schluss gekommen:
> (1) ist kommutativ weil die Restklassenringe kommutative
> Ringe mit 1 sind. Aber nicht Nullteilerfrei, weil 943 keine
> Primzahl ist.
OK
> (2) Ist nicht kommutativ, weil das Vektorprodukt nicht
> kommutativ ist sondern antikommutativ. Die
> Skalarmultiplikation wäre kommutativ aber es geht hier ja
> nicht explizit um diese Multiplikation oder?...Und
> Nullteiler gibt es auch im [mm]\IR^{3}[/mm]
Ich vermute, daß mit punktweiser Mult. die komponentenweise Mult. gemeint ist. Dann wäre der Ring komm., aber mit Nullteilern.
> (3) ist auch nicht kommutativ weil die
> Hintereinanderausführung meiner Meinung nach nicht
> kommutativ ist. die Addition ist kommutativ aber die
> Hintereinanderausführung nicht. und Nullteiler gibt es
> auch. also wieder nichts vond en beiden geforderten
> Eigenschaften.
Vielleicht besser ein (Gegen-)Beispiel, z. B. mit Z/6Z = Z/3Z x Z/2Z.
> (4) [mm]\IZ[x][/mm] ist ein Integritätsring und somit sowohl
> kommutativ als auch nullteilerfrei
OK
> (5) ist kommutativ, weil [mm]\IR[/mm] kommutativ ist. Außerdem
> besitzt dieser Ring Nullteiler.
Weil das Polynom zerlegbar ist, = (1 + [mm] x)^6
[/mm]
> (6)Matrizenringe sind niemals für n [mm]\ge[/mm] 1 kommutativ..
> Außerdem besitzt dieser Ring Nullteiler und zwar die
> Matrizen bei denen die Determinante 0 ist
Gibt es die denn, rechne mal die Determinante aus. Dein erster Satz stimmt so auch nicht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hi!
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> > Welche der folgenden Ringe mit 1 sind im allgemeinen
> > Kommutativ/ nullteiloerfrei (d.h. ohne Nullteiler [mm]\not[/mm] =
> > 0)?
> > (1) [mm]\IZ/943\IZ[/mm]
> > (2) [mm]\IR^{3}[/mm] mit punktweiser Addition und
> Multiplikation
> > (3) Die Menge R aller Gruppenhomomorphismen einer
> > abelschen Gruppe G, mit punktweiser Addition + und
> > Hintereinanderausführung [mm]\circ[/mm] .
> > (4) [mm]\IZ[x][/mm]
> > (5) [mm]\IR[x]/(1+6x+15x^{2}+20x^{3}+15x^{4}+6x^{5}+x^{6})[/mm]
> > (6) [mm]{\pmat{ a & w \\ -\overline{w} & \overline{a} } : a,w \in \IC}[/mm]
> > als Unterring des Matrizenringes [mm]\IC^{2\times2}[/mm]
>
danke für die schnelle Antwort. Dann lag ich mit meinen Überlegungen ja zu 2 Drittel richtig.
> > (3) ist auch nicht kommutativ weil die
> > Hintereinanderausführung meiner Meinung nach nicht
> > kommutativ ist. die Addition ist kommutativ aber die
> > Hintereinanderausführung nicht. und Nullteiler gibt es
> > auch. also wieder nichts vond en beiden geforderten
> > Eigenschaften.
>
> Vielleicht besser ein (Gegen-)Beispiel, z. B. mit Z/6Z =
> Z/3Z x Z/2Z.
>
und wie hilft mir diese Beispiel weiter?...Komme mit meinen Gedanken an dieser Stelle leider nicht zu einem andern Ergebnis.
>
> > (5) ist kommutativ, weil [mm]\IR[/mm] kommutativ ist. Außerdem
> > besitzt dieser Ring Nullteiler.
>
> Weil das Polynom zerlegbar ist, = (1 + [mm]x)^6[/mm]
das ist die Begründung für die Nullteiler oder?
>
> > (6)Matrizenringe sind niemals für n [mm]\ge[/mm] 1 kommutativ..
> > Außerdem besitzt dieser Ring Nullteiler und zwar die
> > Matrizen bei denen die Determinante 0 ist
>
> Gibt es die denn, rechne mal die Determinante aus. Dein
> erster Satz stimmt so auch nicht.
Ja klar entschuldigung kleiner Tippfehler MAtrizenringe sind fur n>1 niemals kommutativ.
Naja det= [mm] a*\overline{a}+w*\overline{w}=(a^{2}+b^{2})+(c^{2}+d^{2})
[/mm]
weil es ja um die konjugierte Form handelt. also wäre die Determinante immer positiv. Außer a und w 0. Also gibt es keine Nullteiler in diesem Ring, weil die Determinante nicht 0 werden kann. Seh ich das richtig?
LG Schmetterfee
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> > Hi!
> >
> > > Welche der folgenden Ringe mit 1 sind im allgemeinen
> > > Kommutativ/ nullteiloerfrei (d.h. ohne Nullteiler [mm]\not[/mm] =
> > > 0)?
> > > (1) [mm]\IZ/943\IZ[/mm]
> > > (2) [mm]\IR^{3}[/mm] mit punktweiser Addition und
> > Multiplikation
> > > (3) Die Menge R aller Gruppenhomomorphismen einer
> > > abelschen Gruppe G, mit punktweiser Addition + und
> > > Hintereinanderausführung [mm]\circ[/mm] .
> > > (4) [mm]\IZ[x][/mm]
> > > (5)
> [mm]\IR[x]/(1+6x+15x^{2}+20x^{3}+15x^{4}+6x^{5}+x^{6})[/mm]
> > > (6) [mm]{\pmat{ a & w \\ -\overline{w} & \overline{a} } : a,w \in \IC}[/mm]
> > > als Unterring des Matrizenringes [mm]\IC^{2\times2}[/mm]
> >
> danke für die schnelle Antwort. Dann lag ich mit meinen
> Überlegungen ja zu 2 Drittel richtig.
>
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> > > (3) ist auch nicht kommutativ weil die
> > > Hintereinanderausführung meiner Meinung nach nicht
> > > kommutativ ist. die Addition ist kommutativ aber die
> > > Hintereinanderausführung nicht. und Nullteiler gibt es
> > > auch. also wieder nichts vond en beiden geforderten
> > > Eigenschaften.
> >
> > Vielleicht besser ein (Gegen-)Beispiel, z. B. mit Z/6Z =
> > Z/3Z x Z/2Z.
> >
> und wie hilft mir diese Beispiel weiter?...Komme mit meinen
> Gedanken an dieser Stelle leider nicht zu einem andern
> Ergebnis.
>
> >
ich bin mir nun bei allen Aussagen völlig sicher außer bei dieser..kann mir das jemand an dem oben gewählten Beispiel erläutern?
Bei Z/6Z = Z/3Z x Z/2Z handelt es sich ja um einen Isomorphismus, nützt mir das irgendwie weiter?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mo 03.05.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> > > > (3) ist auch nicht kommutativ weil die
> > > > Hintereinanderausführung meiner Meinung nach nicht
> > > > kommutativ ist. die Addition ist kommutativ aber die
> > > > Hintereinanderausführung nicht. und Nullteiler gibt es
> > > > auch. also wieder nichts vond en beiden geforderten
> > > > Eigenschaften.
> > >
> > > Vielleicht besser ein (Gegen-)Beispiel, z. B. mit Z/6Z =
> > > Z/3Z x Z/2Z.
> > >
> > und wie hilft mir diese Beispiel weiter?...Komme mit meinen
> > Gedanken an dieser Stelle leider nicht zu einem andern
> > Ergebnis.
> >
> > >
> ich bin mir nun bei allen Aussagen völlig sicher außer
> bei dieser..kann mir das jemand an dem oben gewählten
> Beispiel erläutern?
> Bei Z/6Z = Z/3Z x Z/2Z handelt es sich ja um einen
> Isomorphismus, nützt mir das irgendwie weiter?
Im Endomorphismenring von Z/6Z = Z/3Z x Z/2Z gibt es z. B. die Nullteiler (id, 0) und (0, id).
Ein besseres Gegenbeispiel ist der Endomorphismenring der Vierergruppe Z/2Z x Z/2Z, er hat Nullteiler (nach dem gleichen Muster wie oben) und ist auch nicht kommutativ.
Sorry, daß ich dich verwirrt habe.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke schön für deine Erklärungen. Dadurch habe ich jetzt alles verstanden. Danke vielmals.
LG Schmetterfee
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