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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Hallo Leute,
ich habe eine Aufgabe und ich vermute , dass ich sie geloest habe und moechte, dass jemand ueberpruft ob ich das richtig getan habe
Danke im Voraus.
Man zeige: Das reelle Intervall ]−1, 1[, versehen mit der durch a⊗b := [mm] \bruch{a+b}{1+ab} [/mm] definierten
Verknüpfung, bildet eine kommutative Gruppe. Man löse darin die Gleichung
0.5 ⊗ x ⊗ 0.7 = 0.3 |
Meine Idee:
Assoziativitaet:
(a ⊗ b ) ⊗ c = [mm] (\bruch{a+b}{1+ab}) [/mm] ⊗ c = [mm] \bruch{\bruch{a+b}{1+ab}+c}{1+(\bruch{a+b}{1+ab})*c}... [/mm] also irgendwann kriege ich von dem geschachtelten bruch einen normalen Bruch.
a ⊗ (b ⊗ c) = a ⊗ [mm] (\bruch{b+c}{1+bc}) [/mm] = [mm] \bruch{a+( \bruch{b+c}{1+bc} )}{1+a*( \bruch{b+c}{1+bc} )} [/mm] ... von dem kriege ich auch einen normalen Bruch und (a ⊗ b ) ⊗ c =a ⊗ (b ⊗ c) => Assoziativitaet. Jetzt meine Frage hab ich ueberhaupt die Verknuepfung ⊗ richtig verstanden??
Neutrales Element:
a⊗b := [mm] \bruch{a+b}{1+ab}
[/mm]
a⊗0 = [mm] \bruch{a+0}{1+a*0} [/mm] = [mm] \bruch{a}{1} [/mm] = a
also 0 ist das neutrale Element
Inverses Element:
a⊗b := [mm] \bruch{a+b}{1+ab}
[/mm]
a⊗(-a) = [mm] \bruch{a+(-a)}{1+a*(-a)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1+a*(-a)}=0
[/mm]
also -a ist Inverses Element.
Die Gleichung kann ich leider nicht Loesen. Im Nenner bekomme ich irgendwie quadratische Gleichung und dann weiss ich net was ich machen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo melisa,
> Hallo Leute,
> ich habe eine Aufgabe und ich vermute , dass ich sie
> geloest habe und moechte, dass jemand ueberpruft ob ich das
> richtig getan habe
> Danke im Voraus.
>
> Man zeige: Das reelle Intervall ]−1, 1[, versehen mit der
> durch a⊗b := [mm]\bruch{a+b}{1+ab}[/mm] definierten
> Verknüpfung, bildet eine kommutative Gruppe. Man löse
> darin die Gleichung
> 0.5 ⊗ x
> ⊗ 0.7 = 0.3
> Meine Idee:
> Assoziativitaet:
> (a ⊗ b ) ⊗ c = [mm](\bruch{a+b}{1+ab})[/mm] ⊗ c =
> [mm]\bruch{\bruch{a+b}{1+ab}+c}{1+(\bruch{a+b}{1+ab})*c}...[/mm]
> also irgendwann kriege ich von dem geschachtelten bruch
> einen normalen Bruch.
>
>
> a ⊗ (b ⊗ c) = a ⊗ [mm](\bruch{b+c}{1+bc})[/mm] = [mm]\bruch{a+( \bruch{b+c}{1+bc} )}{1+a*( \bruch{b+c}{1+bc} )}[/mm]
> ... von dem kriege ich auch einen normalen Bruch und (a ⊗
> b ) ⊗ c =a ⊗ (b ⊗ c) => Assoziativitaet. Jetzt meine
> Frage hab ich ueberhaupt die Verknuepfung ⊗ richtig
> verstanden??
>
>
>
> Neutrales Element:
> a⊗b := [mm]\bruch{a+b}{1+ab}[/mm]
>
> a⊗0 = [mm]\bruch{a+0}{1+a*0}[/mm] = [mm]\bruch{a}{1}[/mm] = a
> also 0 ist das neutrale Element
>
>
> Inverses Element:
> a⊗b := [mm]\bruch{a+b}{1+ab}[/mm]
> a⊗(-a) = [mm]\bruch{a+(-a)}{1+a*(-a)}[/mm] =
> [mm]\bruch{0}{1+a*(-a)}=0[/mm]
> also -a ist Inverses Element.
Das sieht soweit doch ganz gut aus. (Du benutzt also, dass Ass., Ex. eines
rechtsneutralen Elementes und Ex. d. Rechtsinversen eine Gruppe
charakterisiert!)
Was aber fehlt:
[mm] $$\otimes:\;\; [/mm] ]-1,1[ [mm] \;\;\times \;\;]-1,1[\;\; \to \;\;]-1,1[$$
[/mm]
muss noch geprüft werden. D.h. es ist auch zu zeigen:
Für $a,b [mm] \in [/mm] ]-1,1[$ gilt $a [mm] \otimes [/mm] b [mm] \in ]-1,1[\,.$ [/mm] Insbesondere kann man
auch mal erwähnen, dass wegen $a,b [mm] \in [/mm] ]-1,1[$ sicher $1+ab [mm] \not=0$
[/mm]
gelten wird.
> Die Gleichung kann ich leider nicht Loesen. Im Nenner
> bekomme ich irgendwie quadratische Gleichung und dann weiss
> ich net was ich machen soll.
Warum benutzt Du nicht das folgende:
$$0.5 [mm] \otimes [/mm] x [mm] \otimes [/mm] 0.7=0.3$$
[mm] $$\gdw x=0.5^{-1} \otimes [/mm] 0.3 [mm] \otimes 0.7^{-1}\,.$$
[/mm]
Dabei ist natürlich keinesfalls [mm] $0.5^{-1}=2\,,$ [/mm] sondern es ist eben
[mm] $0.5^{-1}$ [/mm] bzgl. der Gruppe [mm] $(]-1,1[,\otimes)$ [/mm] gemeint:
Also [mm] $0.5^{-1}=-0.5$ [/mm] (rechterhand ist "die reelle Zahl [mm] $-0.5\,$" [/mm] gemeint).
Warum sonst hast Du denn [mm] $\underbrace{a^{-1}}_{\text{Inverses zu }a \text{ bzgl. }\otimes}=\underbrace{-a}_{\in \IR}$ [/mm] gezeigt?
Natürlich kannst Du auch den umständlichen Weg gehen und alleine mit der
Definition von [mm] $\otimes$ [/mm] rechnen. Ich rechne das mal nachher durch...
Aber das [mm] $x\,$ [/mm] am Ende sollte das gleiche sein.
Nebenbei: Bei der Feststellung [mm] $a^{-1}=-a\,$ [/mm] sollte man auch
dazuschreiben, dass man beachtet, dass aus $-1 < a < [mm] 1\,$ [/mm] auch $-1 < -a < [mm] 1\,$
[/mm]
folgt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Hallo Marcel,
danke dir fuer deine Antwort:
ich habe fast alles verstanden ausser dies:
$ [mm] \otimes:\;\; [/mm] ]-1,1[ [mm] \;\;\times \;\;]-1,1[\;\; \to \;\;]-1,1[ [/mm] $
muss noch geprüft werden. D.h. es ist auch zu zeigen:
Für $ a,b [mm] \in [/mm] ]-1,1[ $ gilt $ a [mm] \otimes [/mm] b [mm] \in ]-1,1[\,. [/mm] $ Insbesondere kann man
auch mal erwähnen, dass wegen $ a,b [mm] \in [/mm] ]-1,1[ $ sicher $ 1+ab [mm] \not=0 [/mm] $ gelten wird. |
Das hab ich nicht richtig verstanden. wie soll ich zeigen dass a [mm] \otimes [/mm] b element von dem Intervall ist?
Und noch eine Frage :
$ [mm] \gdw x=0.5^{-1} \otimes [/mm] 0.3 [mm] \otimes 0.7^{-1}\,. [/mm] $ id diesem Fall ist 0.7 hoch -1 auch -0.7 oder??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo melisa,
> Hallo Marcel,
> danke dir fuer deine Antwort:
> ich habe fast alles verstanden ausser dies:
> [mm]\otimes:\;\; ]-1,1[ \;\;\times \;\;]-1,1[\;\; \to \;\;]-1,1[[/mm]
>
> muss noch geprüft werden. D.h. es ist auch zu zeigen:
> Für [mm]a,b \in ]-1,1[[/mm] gilt [mm]a \otimes b \in ]-1,1[\,.[/mm]
> Insbesondere kann man
> auch mal erwähnen, dass wegen [mm]a,b \in ]-1,1[[/mm] sicher [mm]1+ab \not=0[/mm]
> gelten wird.
> Das hab ich nicht richtig verstanden. wie soll ich zeigen
> dass a [mm]\otimes[/mm] b element von dem Intervall ist?
na, nach Voraussetzung gilt $-1 < a,b < [mm] 1\,.$ [/mm] Zu zeigen ist, dass dann
auch $-1 < (a+b)/(1+ab) < [mm] 1\,$ [/mm] erfüllt ist.
Zu zeigen sind also zwei Folgerungen:
1.) Aus $-1< a,b < [mm] 1\,$ [/mm] folgt auch $-1 < [mm] (a+b)/(1+ab)\,.$
[/mm]
UND
2.) Aus $-1< a,b < [mm] 1\,$ [/mm] folgt auch $(a+b)/(1+ab) < [mm] 1\,.$
[/mm]
Ich zeige Dir mal 1.):
Wegen $-1 < a,b < [mm] 1\,$ [/mm] gilt $ab > [mm] -1\,.$ [/mm] Also ist $1+ab > 0$ und daher gilt
$$-1 < (a+b)/(1+ab) [mm] \gdw [/mm] -1-ab < [mm] a+b\,.$$
[/mm]
Um $-1 -ab < a+b$ zu beweisen, zeigen wir $a+b+ab > [mm] -1\,$ [/mm] (denn es
gilt $a+b+ab > -1 [mm] \Rightarrow [/mm] -1-ab < a+b$):
Nehmen wir an, es wäre $a+b+ab [mm] \le -1\,.$ [/mm] Dann folgte
$$a+b+ab [mm] \le [/mm] -1$$
[mm] $$\gdw [/mm] a*(1+b) [mm] \le -(1+b)\,.$$
[/mm]
Wegen $b > [mm] -1\,$ [/mm] ist aber $1+b > [mm] 0\,,$ [/mm] es folgte also nach Division durch
[mm] $(1+b)\,$ [/mm] sodann
$$a [mm] \le -(1+b)/(1+b)=-1\,.$$
[/mm]
Widerspruch zu $a > [mm] -1\,.$
[/mm]
Und jetzt beweise Du mal 2.) !
> Und noch eine Frage :
> [mm]\gdw x=0.5^{-1} \otimes 0.3 \otimes 0.7^{-1}\,.[/mm] id
> diesem Fall ist 0.7 hoch -1 auch -0.7 oder??
Genau. Ich habe Dir zur Kontrolle übrigens das [mm] $x\,$ [/mm] ausgerechnet,
allerdings mit "stupiden" Rechnen in [mm] $\IR$ [/mm] - ohne Ausnutzung
Deiner Ergebnisse bzgl. [mm] $(]-1,1[,\;\otimes)\,.$ [/mm] (Ich hab's für mich aber
auch zuvor mit [mm] $0.5^{-1}=-0.5$ [/mm] und [mm] $0.7^{-1}=-0.7$ [/mm] (die hoch -1 jeweils
bzgl. [mm] $\otimes$) [/mm] gerechnet - und wunderbar: Da kam' das gleiche
Ergebnis raus!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
zur Kontrolle:
Auf beiden Wegen ergibt sich die Lösung [mm] $x=-59/66\,.$
[/mm]
Du rechnest bitte den "Weg mit den Inversen bzgl. [mm] $\otimes$" [/mm] mal selbst.
Ich rechne Dir den "umständlichen" soweit vor, dass Du den Rest dann
vielleicht alleine gelöst bekommst (der "umständliche" ist eigentlich der
Weg, wie man es NICHT machen sollte - aber mal rein zur Kontrolle ist
der dann doch nicht so schlecht):
$$0.5 [mm] \otimes [/mm] x [mm] \otimes [/mm] 0.7=0.3$$
[mm] $$\gdw \frac{0.5+x}{1+0.5*x} \otimes [/mm] 0.7=0.3$$
[mm] $$\gdw \frac{ \frac{0.5+x}{1+0.5*x}+0.7}{1+ \frac{0.5+x}{1+0.5*x}*0.7}=0.3$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \frac{0.5+x}{1+0.5*x}+0.7=0.3*\left(1+ \frac{0.5+x}{1+0.5*x}*0.7\right)\,.$$
[/mm]
Für den Rest: Multiplizier rechts aus. Danach multiplizier beide Seiten
der Gleichung mit dem Hauptnenner [mm] $1+0.5*x\,.$ [/mm] Das Sortieren der
Terme mit [mm] $x\,$ [/mm] auf die eine Seite und den Rest auf die andere Seite etc.
pp. schaffst Du dann sicher auch alleine!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:34 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Melisa |
Vielen Dank,
hab ich alles verstanden, danke dir.
LG.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:43 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo melisa,
> Vielen Dank,
> hab ich alles verstanden, danke dir.
schön zu hören. Übrigens vielleicht ein kleiner Tipp:
Kennzeichne Inverse bzgl. [mm] $\otimes$ [/mm] vielleicht anders. Man könnte, weil
hier ja auch keine Verwechslungsgefahr mit Elementen aus [mm] $\IC$ [/mm] besteht,
etwa anstatt
[mm] $$0.5^{-1}=-0.5$$
[/mm]
vielleicht schreiben
[mm] $$\overline{0.5}=-0.5$$
[/mm]
(d.h. [mm] $\overline{a}$ [/mm] wäre das Inverse zu [mm] $a\,$ [/mm] bzgl. [mm] $\otimes$)
[/mm]
oder
[mm] $$0.5^\*=-0.5$$
[/mm]
oder
[mm] $$0.5^\text{inv}=-0.5$$
[/mm]
oder
[mm] $$0.5^{\stackrel{\otimes}{-}1}=-0.5$$
[/mm]
oder
[mm] $$0.5^{\stackrel{\otimes}{\text{inv}}}=-0.5\,.$$
[/mm]
Oder lass' Dir halt irgendwas einfallen. Denn in zwei Monaten guckst Du
Dir den Thread an und fragst Dich: Warum steht denn da
[mm] $0.5^{-1}=-0.5$?
[/mm]
Es ist doch [mm] $1/0.5=2\,$... [/mm] und das wirst Du dann erst wieder verstehen,
wenn Du meine Antwort genau liest oder alles nochmal durcharbeitest.
Gruß,
Marcel
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