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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es seien $S, [mm] T\colon \mathbb{A} \to \mathbb{A}$ [/mm] zwei Parallelverschiebungen des Raumes (d.h. Vektoren). $S$ und $T$ heißen parallel, wenn für einen Punkt [mm] $A\in \mathbb{A}$ [/mm] die Punkte $A, T(A), S(A)$ auf einer Geraden liegen. In der Vorlesung wurde gezeigt, dass
[mm] $T\circ S=S\circ [/mm] T, [mm] \qquad [/mm] (1)$
wenn $S$ und $T$ nicht parallel sind.
Es seien jetzt $S$ und $T$ parallel. Man wähle eine Translation $U$, die zu $S$ und $T$ nicht parallel ist. Man beweise, dass
[mm] $U\circ T\circ S=U\circ S\circ [/mm] T$
und folgere, dass $(1)$ gilt. |
Hallo zusammen! Ich glaube, ich bräuchte mal einen Tipp zu dieser Aufgabe. In der Vorlesung wurde (1) im Grunde genommen nur dadurch bewiesen/"bewiesen" (?), dass eine Zeichung eines Punktes $A$ angefertigt wurde, woran dann zwei nicht parallele Vektoren ($T$ und $S$) angehängt wurden. Das wurde dann zu einem Parallelogramm ergänzt, und das war dann mehr oder weniger der Beweis. Ich versuche mal zu zitieren, was außer der Zeichnung noch angeschrieben wurde:
$X = [mm] T(S(A))=T\circ [/mm] S(A)$ ($X$ ist der Punkt, auf den $A$ verschoben wird)
--- Zeichnung ---
Ergänze das zu einem Parallelogramm.
[mm] $\Rightarrow S\circ [/mm] T(A) = S(T(A)) =X$
[mm] $S\circ [/mm] T = [mm] \overrightarrow{AX}, \quad T\circS [/mm] = [mm] \overrightarrow{AX}$ [/mm]
Und das war dann der Beweis. Müsste ich das auch so machen, oder irgendwie damit argumentieren, dass [mm] $T\circ [/mm] S$ ein Vektor ist? Ist das oben überhaupt ein Beweis? Für mich sieht das eher nach einer Skizze aus, um einen Beweis zu verstehen. Das ist doch, als würde man beweisen wollen, dass eine Funktion stetig ist, indem man sie mit einem Stift zeichnet ohne ihn vom Blatt abzuheben. Aus der Analysis bin ich sowas beim besten willen nicht gewöhnt...
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> Es seien [mm]S, T\colon \mathbb{A} \to \mathbb{A}[/mm] zwei
> Parallelverschiebungen des Raumes (d.h. Vektoren). [mm]S[/mm] und [mm]T[/mm]
> heißen parallel, wenn für einen Punkt [mm]A\in \mathbb{A}[/mm] die
> Punkte [mm]A, T(A), S(A)[/mm] auf einer Geraden liegen. In der
> Vorlesung wurde gezeigt, dass
>
> [mm]T\circ S=S\circ T, \qquad (1)[/mm]
>
> wenn [mm]S[/mm] und [mm]T[/mm] nicht parallel sind.
> Es seien jetzt [mm]S[/mm] und [mm]T[/mm] parallel. Man wähle eine
> Translation [mm]U[/mm], die zu [mm]S[/mm] und [mm]T[/mm] nicht parallel ist. Man
> beweise, dass
>
> [mm]U\circ T\circ S=U\circ S\circ T[/mm]
>
> und folgere, dass [mm](1)[/mm] gilt.
> Hallo zusammen! Ich glaube, ich bräuchte mal einen Tipp
> zu dieser Aufgabe. In der Vorlesung wurde (1) im Grunde
> genommen nur dadurch bewiesen/"bewiesen" (?), dass eine
> Zeichung eines Punktes [mm]A[/mm] angefertigt wurde, woran dann zwei
> nicht parallele Vektoren ([mm]T[/mm] und [mm]S[/mm]) angehängt wurden. Das
> wurde dann zu einem Parallelogramm ergänzt, und das war
> dann mehr oder weniger der Beweis. Ich versuche mal zu
> zitieren, was außer der Zeichnung noch angeschrieben
> wurde:
>
> [mm]X = T(S(A))=T\circ S(A)[/mm] ([mm]X[/mm] ist der Punkt, auf den [mm]A[/mm]
> verschoben wird)
>
> --- Zeichnung ---
>
> Ergänze das zu einem Parallelogramm.
>
> [mm]\Rightarrow S\circ T(A) = S(T(A)) =X[/mm]
>
> [mm]S\circ T = \overrightarrow{AX}, \quad T\circS = \overrightarrow{AX}[/mm]
>
> Und das war dann der Beweis. Müsste ich das auch so
> machen, oder irgendwie damit argumentieren, dass [mm]T\circ S[/mm]
> ein Vektor ist? Ist das oben überhaupt ein Beweis? Für
> mich sieht das eher nach einer Skizze aus, um einen Beweis
> zu verstehen. Das ist doch, als würde man beweisen wollen,
> dass eine Funktion stetig ist, indem man sie mit einem
> Stift zeichnet ohne ihn vom Blatt abzuheben. Aus der
> Analysis bin ich sowas beim besten willen nicht gewöhnt...
Hallo Lustique,
so wie du dies schilderst, habe ich auch erhebliche Zweifel
an dem angeblichen "Beweis" für die Kommutativität nicht
paralleler Translationen. Um dies exakt beurteilen zu können,
müsste ich aber das exakte Vorlesungsskript sehen.
Insbesondere kommt es darauf an, wie der zugrundeliegende
Raum definiert wurde. Ist etwa [mm] \IR^2 [/mm] oder [mm] \IR^3 [/mm] gemeint und wurde
die Vektoraddition komponentenweise definiert, so folgt
die Kommutativität der Vektoraddition aus der Kommutativität
der Addition in [mm] \IR [/mm] . Sollte aber ein rein geometrischer Zugang
gemeint sein, dann fehlen mir entsprechende Rückgriffe z.B.
auf euklidische Axiome.
Um klar zu machen, dass die Kommutativität jedenfalls nicht
"selbstverständlich" ist, kann man Gegenbeispiele wie etwa
dieses benützen:
Von einem Startpunkt P (z.B. auf dem Äquator) aus wandere
man zuerst 1000 km genau nach Osten (also dem Äquator
entlang) zum Punkt Q und dann von dort aus 1000 km weit
genau nach Norden (dem Meridian entlang) und erreicht so
einen Punkt R.
Ein zweiter Wanderer startet auch in P, geht aber zuerst
1000 km nach Norden zum Punkt S und dann 1000 km weit
genau nach Osten (dem Breitenkreis von S entlang) und
erreicht einen Zielpunkt T.
Frage: ist R=T ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
>
> so wie du dies schilderst, habe ich auch erhebliche
> Zweifel
> an dem angeblichen "Beweis" für die Kommutativität
> nicht
> paralleler Translationen. Um dies exakt beurteilen zu
> können,
> müsste ich aber das exakte Vorlesungsskript sehen.
> Insbesondere kommt es darauf an, wie der zugrundeliegende
> Raum definiert wurde. Ist etwa [mm]\IR^2[/mm] oder [mm]\IR^3[/mm] gemeint
> und wurde
> die Vektoraddition komponentenweise definiert, so folgt
> die Kommutativität der Vektoraddition aus der
> Kommutativität
> der Addition in [mm]\IR[/mm] . Sollte aber ein rein geometrischer
> Zugang
> gemeint sein, dann fehlen mir entsprechende Rückgriffe
> z.B.
> auf euklidische Axiome.
>
> Um klar zu machen, dass die Kommutativität jedenfalls
> nicht
> "selbstverständlich" ist, kann man Gegenbeispiele wie
> etwa
> dieses benützen:
> Von einem Startpunkt P (z.B. auf dem Äquator) aus
> wandere
> man zuerst 1000 km genau nach Osten (also dem Äquator
> entlang) zum Punkt Q und dann von dort aus 1000 km weit
> genau nach Norden (dem Meridian entlang) und erreicht so
> einen Punkt R.
> Ein zweiter Wanderer startet auch in P, geht aber zuerst
> 1000 km nach Norden zum Punkt S und dann 1000 km weit
> genau nach Osten (dem Breitenkreis von S entlang) und
> erreicht einen Zielpunkt T.
> Frage: ist R=T ?
>
> LG Al-Chw.
Hallo Al-Chw., ich habe mal den entsprechende Teil der Vorlesung hier hochgeladen (als ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") PDF). Das ist ein Teil des Vorlesungsskripts von der ersten und zweiten Vorlesung Lineare Algebra I (ich hoffe mal, man kann alles lesen, trotz meiner Sauklaue...).
Der Raum wurde nur am Anfang eingeführt als [mm] "$\mathbb{A}$, [/mm] der Euklidische Raum, aufgefasst als eine Menge von Punkten" (ich glaube es wurde nie wirklich gesagt, ob wir im [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] oder [mm] $\mathbb{R}^3$ [/mm] sind, sondern nur irgendwann etwas nach dem Motto "ich mal das jetzt mal 2-dimensional; an der Tafel geht's ja nicht anders", oder so), und danach gabs dann ein bisschen was zu Abbildungen und Mengenlehre, und daraufhin dann die Parallelverschiebung. Ansonsten wurden bis jetzt noch nicht mal Komponenten definiert, sozusagen.
Das Ganze ist wohl als "Vorgeplänkel" gedacht, da es ein Skript zur Vorlesung gibt, in dem das erste Thema "Gruppen" ist, was am Ende der zweiten Vorlesung eingeführt wurde. Irgendwelche Axiome wurden eigentlich auch nicht eingeführt. Die ersten Sachen, die meiner Meinung nach sauber definiert wurden, waren In- und Surjektivität, und das kam nach dieser Vektor-Geschichte.
Zu deinem Beispiel: [mm] $R\neq [/mm] T$, denn wenn man die Erde an einem Breitenkreis entlangläuft, kommt man natürlich umso schneller einmal rum, je weiter man sich vom Äquator entfernt, oder? Würde man das Ganze platt drücken, liefe man ja quasi im Kreis, und nicht geradeaus. Hat das irgendwas damit zu tun, inwiefern sich eine Sphäre auf eine Ebene projezieren lässt, oder eben nicht, oder sowas in der Art?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 13.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lustique,
solche Aufgaben zur "Motivation" können einen schon zur Verzweiflung bringen, weil man nie so genau weiß, was man voraussetzen darf. Ich würde mal sagen, Du kannst alles voraussetzen, was Du über die Geometrie der Ebene und des Raumes weißt. Befriedigend wird Dein Beweis, wenn Du die benutzten Eigenschaften von Punkt, Gerade, Ebene und Raum auch noch angibst, statt Bilder zu malen.
Beachte dabei, daß die Ebene [mm] $\IE$ [/mm] nicht [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, sondern das, was Du aus der Schule als Ebene kennst.
liebe Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 So 14.10.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
>
> solche Aufgaben zur "Motivation" können einen schon zur
> Verzweiflung bringen, weil man nie so genau weiß, was man
> voraussetzen darf. Ich würde mal sagen, Du kannst alles
> voraussetzen, was Du über die Geometrie der Ebene und des
> Raumes weißt. Befriedigend wird Dein Beweis, wenn Du die
> benutzten Eigenschaften von Punkt, Gerade, Ebene und Raum
> auch noch angibst, statt Bilder zu malen.
>
> Beachte dabei, daß die Ebene [mm]\IE[/mm] nicht [mm]\IR^2[/mm] ist, sondern
> das, was Du aus der Schule als Ebene kennst.
>
> liebe Grüße,
> Wolfgang
Hallo Wolfgang, beziehst du dich jetzt gerade auf die Frage von Al-Chw. (die Geschichte mit der Erde), oder auf meine ursprüngliche Frage (oder beides)? :)
Zu meiner ursprünglichen Frage:
Ich hatte folgende Idee:
Seien [mm] $T\parallel [/mm] S$ und [mm] $U\not\parallel [/mm] T$ drei Vektoren. Dann gilt mit (1), dem Assoziativgesetz und der Tatsache, dass [mm] $(T\circ [/mm] S) = T+S$ ein Vektor ist mit [mm] $U\not\parallel (T\circ [/mm] S)$, bzw. [mm] $(U\circ T)\not\parallel [/mm] S$ (darf ich das voraussetzen?):
$ [mm] U\circ T\circ [/mm] S = [mm] (U\circ T)\circ [/mm] S [mm] \overset{(1)}{=} S\circ (U\circ [/mm] T) = [mm] S\circ U\circ [/mm] T = [mm] (S\circ U)\circ [/mm] T [mm] \overset{(1)}{=} (U\circ S)\circ [/mm] T = [mm] U\circ S\circ [/mm] T $
Geht das so? Falls ja, wie folgere ich dann, dass (1) auch für parallele Vektoren gilt? Bekomme ich $U$ aus $ [mm] U\circ T\circ S=U\circ S\circ [/mm] T $ wieder raus? $-U$ auf beiden Seiten addieren darf ich bestimmt nicht, da so etwas wie $-U$ nie erwähnt wurde, oder?
Zur Frage von Al-Chw.: Könnte man da irgendwie mit der stereographischen Projektion argumentieren oder so was? Ich habe was "Geometrie" angeht bis jetzt an der Uni nur ein paar Sachen im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten in der Analysis-Vorlesung gelernt, und davon habe ich, glaube ich, schon wieder einiges verdrängt (ich hatte da teilweise arge Verständnisschwierigkeiten, wenn ich ehrlich bin).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 So 14.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Lustique,
> Zu meiner ursprünglichen Frage:
>
> Ich hatte folgende Idee:
>
> Seien [mm]T\parallel S[/mm] und [mm]U\not\parallel T[/mm] drei Vektoren. Dann
> gilt mit (1), dem Assoziativgesetz und der Tatsache, dass
> [mm](T\circ S) = T+S[/mm] ein Vektor ist mit [mm]U\not\parallel (T\circ S)[/mm],
> bzw. [mm](U\circ T)\not\parallel S[/mm] (darf ich das
> voraussetzen?):
Es wäre vielleicht auch möglich, dies aus [mm] $S\parallel [/mm] T$ und [mm] $U\not\parallel [/mm] T$ zu folgern? Mit elementaren Eigenschaften von Punkten und Geraden, wie: "Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade". Wir zeigen [mm] $T\parallel S\circ T\;.$Beachte, [/mm] daß wegen [mm] $U\not\parallel [/mm] S, [mm] U\not\parallel [/mm] T$ die Vektoren $T$ und $S$ vom Nullvektor verschieden sind. Wegen [mm] $S\parallel [/mm] T$ gibt es einen Punkt $A$ so daß $A, S(A), T(A)$ auf einer Geraden $g$ liegen. Da $T$ eine Parallelverschiebung ist, ist $T(g)$ eine Gerade $h$, die parallel zu $g$ liegt. Weil $h$ und $g$ sich im Punkt $T(A)$ schneiden, ist $g=h$. Auf $h$ liegen $A$, $T(A)$ und [mm] $(T\circ [/mm] S)(A)$. Also ist [mm] $T\parallel S\circ T\;.$ [/mm] Mit [mm] $U\not\parallel [/mm] T$ folgt [mm] $U\not\parallel S\circ [/mm] T$.
> [mm]U\circ T\circ S = (U\circ T)\circ S \overset{(1)}{=} S\circ (U\circ T) = S\circ U\circ T = (S\circ U)\circ T \overset{(1)}{=} (U\circ S)\circ T = U\circ S\circ T[/mm]
Dies ist richtig! Wenn Du jetzt noch [mm] $U\circ T\not\parallel [/mm] S$ zeigst, ist es perfekt!
>
> Geht das so? Falls ja, wie folgere ich dann, dass (1) auch
> für parallele Vektoren gilt? Bekomme ich [mm]U[/mm] aus [mm]U\circ T\circ S=U\circ S\circ T[/mm]
> wieder raus? [mm]-U[/mm] auf beiden Seiten addieren darf ich
> bestimmt nicht, da so etwas wie [mm]-U[/mm] nie erwähnt wurde,
> oder?
Das lieber nicht. Aber beachte, daß $U$ als Parallelverschiebung injektiv ist. Nimm zum Widerspruchsbeweis [mm] $S\circ T\ne T\circ [/mm] S$ an. Dann gibt es einen Punkt $A$ mit [mm] $S\circ [/mm] T(A) [mm] \ne T\circ [/mm] S(A)$. Jetzt mach Du weiter.
>
> Zur Frage von Al-Chw.: Könnte man da irgendwie mit der
> stereographischen Projektion argumentieren oder so was? Ich
> habe was "Geometrie" angeht bis jetzt an der Uni nur ein
> paar Sachen im Zusammenhang mit Mannigfaltigkeiten in der
> Analysis-Vorlesung gelernt, und davon habe ich, glaube ich,
> schon wieder einiges verdrängt (ich hatte da teilweise
> arge Verständnisschwierigkeiten, wenn ich ehrlich bin).
Hier brauchst Du nur elementarste Geometrie.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 So 21.10.2012 | | Autor: | Lustique |
> Hallo Lustique,
> > Zu meiner ursprünglichen Frage:
> >
> > Ich hatte folgende Idee:
> >
> > Seien [mm]T\parallel S[/mm] und [mm]U\not\parallel T[/mm] drei Vektoren. Dann
> > gilt mit (1), dem Assoziativgesetz und der Tatsache, dass
> > [mm](T\circ S) = T+S[/mm] ein Vektor ist mit [mm]U\not\parallel (T\circ S)[/mm],
> > bzw. [mm](U\circ T)\not\parallel S[/mm] (darf ich das
> > voraussetzen?):
>
> Es wäre vielleicht auch möglich, dies aus [mm]S\parallel T[/mm]
> und [mm]U\not\parallel T[/mm] zu folgern? Mit elementaren
> Eigenschaften von Punkten und Geraden, wie: "Durch zwei
> verschiedene Punkte geht genau eine Gerade". Wir zeigen
> [mm]T\parallel S\circ T\;.[/mm]Beachte, daß wegen [mm]U\not\parallel S, U\not\parallel T[/mm]
> die Vektoren [mm]T[/mm] und [mm]S[/mm] vom Nullvektor verschieden sind. Wegen
> [mm]S\parallel T[/mm] gibt es einen Punkt [mm]A[/mm] so daß [mm]A, S(A), T(A)[/mm]
> auf einer Geraden [mm]g[/mm] liegen. Da [mm]T[/mm] eine Parallelverschiebung
> ist, ist [mm]T(g)[/mm] eine Gerade [mm]h[/mm], die parallel zu [mm]g[/mm] liegt. Weil
> [mm]h[/mm] und [mm]g[/mm] sich im Punkt [mm]T(A)[/mm] schneiden, ist [mm]g=h[/mm]. Auf [mm]h[/mm] liegen
> [mm]A[/mm], [mm]T(A)[/mm] und [mm](T\circ S)(A)[/mm]. Also ist [mm]T\parallel S\circ T\;.[/mm]
> Mit [mm]U\not\parallel T[/mm] folgt [mm]U\not\parallel S\circ T[/mm].
>
> > [mm]U\circ T\circ S = (U\circ T)\circ S \overset{(1)}{=} S\circ (U\circ T) = S\circ U\circ T = (S\circ U)\circ T \overset{(1)}{=} (U\circ S)\circ T = U\circ S\circ T[/mm]
>
> Dies ist richtig! Wenn Du jetzt noch [mm]U\circ T\not\parallel S[/mm]
> zeigst, ist es perfekt!
>
> >
> > Geht das so? Falls ja, wie folgere ich dann, dass (1) auch
> > für parallele Vektoren gilt? Bekomme ich [mm]U[/mm] aus [mm]U\circ T\circ S=U\circ S\circ T[/mm]
> > wieder raus? [mm]-U[/mm] auf beiden Seiten addieren darf ich
> > bestimmt nicht, da so etwas wie [mm]-U[/mm] nie erwähnt wurde,
> > oder?
>
> Das lieber nicht. Aber beachte, daß [mm]U[/mm] als
> Parallelverschiebung injektiv ist. Nimm zum
> Widerspruchsbeweis [mm]S\circ T\ne T\circ S[/mm] an. Dann gibt es
> einen Punkt [mm]A[/mm] mit [mm]S\circ T(A) \ne T\circ S(A)[/mm]. Jetzt mach
> Du weiter.
Alles klar, danke nochmal! Mit dem Tipp war dieser letzte Teil kein Problem. Zu zeigen, dass [mm]U\circ T\not\parallel S[/mm] habe ich aber wahrscheinlich nicht sonderlich gut hinbekommen (sehr "schwammig", glaube ich; ich hatte ziemliche Probleme deinen Beweis für [mm]T\parallel S\circ T[/mm] zu übertragen). Ich sollte mir vielleicht nochmal irgendein Buch zu Geometrie angucken... Ich habe zu der Aufgabe auch nochmal Tutoren befragt, und die wussten auch nicht so viel damit anzufangen...
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