Kommutatorgruppe Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mo 15.04.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe. Definiere für [mm] a, b \in G [/mm]
[mm] [a,b]:= a^{-1} b^{-1} a b [/mm] (den Kommutator) und
[mm] a^{b}:= b^{-1} a b [/mm]
Zeigen Sie, dass folgendes gilt:
[mm] [[a,b^{-1}],c]^{b}[[b,c^{-1}],a]^{c}[[c,a^{-1}],b]^{a} [/mm] = 1
und folgern Sie:
[mm] [[A,B],C] \subset [[ B,C],A] [[C, A], B] [/mm] für Normalteiler A, B, C von G.
Wobei für zwei Untergruppen A und B von G [A,B] definiert ist als die von den Kommutatoren [a,b] erzeugte Untergruppe von G ist (wobei a A und b B durchläuft) |
Hallo,
also den ersten Teil hab ich nach einigen Anläufen hingekriegt, einfach nur einsetzen und wegstreichen, wobei man sich da leicht verschreiben kann. Für den zweiten Teil habe ich diese Identität ein wenig umgeformt:
[mm] [[a,b^{-1}],c]^{b}=([[b,c^{-1}],a]^{c}[[c,a^{-1}],b]^{a})^{-1}
[/mm]
Folgt die Aussage nun daraus, dass die linke Gruppe von Elementen dieser Form erzeugt wird (?) und diese offenbar in der rechten Seite enthalten sind?
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moin,
Das nennt sich "3-Untergruppen-Lemma".
Du musst noch begründen, dass deine rechte Seite in einem Normalteiler (!) N von G liegt. Das ist wichtig für (*).
[mm] [[a,b^{-1}],c]^{b}=([[b,c^{-1}],a]^{c}[[c,a^{-1}],b]^{a})^{-1} [/mm]
Also liegt auch deine linke Seite auch in N. Mit b noch konjugieren (*), bleibt also in N.
Und dann läuft es über das Argument und statt [mm] $b^{-1}$ [/mm] einfach [mm] $\hat{b}$ [/mm] oder $b'$ nach belieben schreiben.
> Folgt die Aussage nun daraus, dass die linke Gruppe von Elementen dieser Form erzeugt
> wird (?) und diese offenbar in der rechten Seite enthalten sind?
weiter.
gruß
wieschoo
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