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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 So 17.04.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei B die Menge der Belegungen(Belegungen sind definiert als Funktionen [mm] \beta: [/mm] Var [mm] \rightarrow \{0,1\}, [/mm] wobei [mm] X_0,X_1, X_2,.. [/mm] die Variaben sind).
Die Mengen und ,
wobei eine endliche partielle Belegung ist, bilden die Basis einer Topologie auf B.
Ich will überprüfen, dass die definierte Topologie kompakt ist.
Zur Definition der partiellen Belegung:
Sei V [mm] \subseteq [/mm] Var und [mm] \beta [/mm] eine Belegung. Dann ist
[mm] \beta|_V [/mm] := [mm] \{(X, \beta(X))|X \in V \} [/mm]
die Einschränkung von [mm] \beta [/mm] auf V. Das ist eine Funktion von V nach [mm] \{0,1\}. [/mm] Solche Funktionen heißen partielle Belegungen. |
Topologie auf B, wobei Basis für ist und eindeutig mit der Eigenschaft. (Nach Satz in Topologie-VO)
ZZ.: ist kompakt.
Sei eine offene Überdeckung von , d.h. mit passend für
Wieso sollen ausreichen um die Menge der Belegungen zu überdecken?
Ich habe die Frage bereits vor Wochen bei http://www.matheplanet.com/ unter "Aussagenlogik, Kompaktheitssatz, Topologie" gestellt, aber außer der Antwort, dass es leicht ist nichts zurückbekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 So 17.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
> Sei B die Menge der Belegungen(Belegungen sind definiert
> als Funktionen [mm]\beta:[/mm] Var [mm]\rightarrow \{0,1\},[/mm] wobei
> [mm]X_0,X_1, X_2,..[/mm] die Variaben sind).
Ist die Menge Var bei euch abzählbar unendlich, wie deine Notation suggeriert?
> Die Mengen und ,
>
> wobei eine endliche partielle Belegung ist, bilden
> die Basis einer Topologie auf B.
> Ich will überprüfen, dass die definierte Topologie
> kompakt ist.
Denke dir die Menge [mm] $\{0,1\}$ [/mm] mit der diskreten Topologie ausgestattet.
Dann ist die Topologie, deren Kompaktheit du zeigen möchtest, nichts anderes als die Produkttopologie auf [mm] $\{0,1\}^{\operatorname{Var}}$.
[/mm]
Nach dem Satz von Tychonoff aus der Topologie ist sie kompakt.
Ich glaube nicht, dass sich die Kompaktheit ohne Verwendung dieses Satzes "ganz leicht" beweisen lässt, wie im anderen Forum behauptet wurde. Ich lasse mich aber gerne eines besseren belehren und lasse diese Frage daher als nur teilweise beantwortet markiert.
(Wir brauchen den Satz von Tychonoff nicht in voller Allgemeinheit. Im Falle der Abzählbarkeit von Var lässt sich der benötigte Spezialfall ohne große Theorie (und ohne Auswahlaxiom) per Widerspruchsbeweis zeigen. Dafür benötigt man unter anderem eine rekursive Konstruktion einer Belegung. Als "ganz leicht" würde ich diesen Beweis jedoch nicht bezeichnen.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 17.04.2016 | | Autor: | sissile |
Hallo,
danke für deine Antwort!
> Ist die Menge Var bei euch abzählbar unendlich, wie deine Notation suggeriert?
Ja wir haben definiert [mm] V_a:= \{v_i| i \in \mathbb{N}\} [/mm] die Menge der Variablen.
> Dann ist die Topologie, deren Kompaktheit du zeigen möchtest, nichts anderes als die Produkttopologie auf $ [mm] \{0,1\}^{\operatorname{Var}} [/mm] $.
Den Zusammenhang verstehe ich noch nicht.
Produktopologie wird durch die Basis B:= [mm] \{ \produkt_{i \in I} U_i | \exists J \subseteq I, J \mobox{ endlich } : U_i \subseteq P(\{0,1\}) \mbox{ für } i \in J, U_i=\{0,1\} \mbox{ für } i \in I \setminus J\} [/mm] beschrieben.
Mit [mm] P(\{0,1\})=\{\{0\},\{1\},\{\emptyset\},\{0,1\}\} [/mm] meine ich die Potenzmenge der Menge [mm] \{0,1\}.
[/mm]
I=|Var|
Wo kommen in der Form die endliche partiellen belegung [mm] \alpha [/mm] vor?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 So 17.04.2016 | | Autor: | tobit09 |
> > Dann ist die Topologie, deren Kompaktheit du zeigen
> möchtest, nichts anderes als die Produkttopologie auf
> [mm]\{0,1\}^{\operatorname{Var}} [/mm].
> Den Zusammenhang verstehe ich noch nicht.
> Produktopologie wird durch die Basis B:= [mm]\{ \produkt_{i \in I} U_i | \exists J \subseteq I, J \mbox{ endlich } : U_i \red\subseteq P(\{0,1\}) \mbox{ für } i \in J, U_i=\{0,1\} \mbox{ für } i \in I \setminus J\}[/mm]
> beschrieben.
An der von mir rot markierten Stelle muss es [mm] $\in$ [/mm] statt [mm] $\subseteq$ [/mm] heißen.
> Mit [mm]P(\{0,1\})=\{\{0\},\{1\},\{\emptyset\},\{0,1\}\}[/mm] meine
> ich die Potenzmenge der Menge [mm]\{0,1\}.[/mm]
> I=|Var|
(I=Var, nicht I=|Var| meinst du.)
Ja. Gut dass du eure Definition der Produkttopologie angibst.
Die Topologie, deren Kompaktheit wir zeigen wollen, bezeichne ich mit [mm] $\mathcal{O}$; [/mm] die von mir eingeführte Produkttopologie mit [mm] $\mathcal{O}'$.
[/mm]
Wir wollen [mm] $\mathcal{O}=\mathcal{O'}$ [/mm] zeigen.
Die betrachteten Basen von [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] (aus der Aufgabenstellung) und von [mm] $\mathcal{O}'$ [/mm] (die du gerade angegeben hast) bezeichne ich mit [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] bzw. [mm] $\mathcal{B'}$ [/mm] (du verwendest $B$ anstelle von [mm] $\mathcal{B}'$, [/mm] aber der Buchstabe B ist schon für die Menge [mm] $\{0,1\}^\operatorname{Var}$ [/mm] aller Belegungen vergeben).
Um [mm] $\mathcal{O}=\mathcal{O'}$ [/mm] zu zeigen, zeigen wir beide Inklusionen.
Für [mm] $\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O'}$ [/mm] genügt es, [mm] $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O'}$ [/mm] zu zeigen.
Für [mm] $\mathcal{O}\supseteq\mathcal{O'}$ [/mm] genügt es, [mm] $\mathcal{O}\supseteq\mathcal{B'}$ [/mm] zu zeigen
> Wo kommen in der Form die endliche partiellen belegung
> [mm]\alpha[/mm] vor?
Ich verwende zunächst mal "passendere" Buchstaben:
[mm] $\mathcal{B'}=\{ \produkt_{X \in Var} U_X | \exists V \subseteq Var, V \mbox{ endlich } : U_X \subseteq \{0,1\} \mbox{ für } X \in V, U_X=\{0,1\} \mbox{ für } X \in Var \setminus V\}$.
[/mm]
Skizze des Nachweises von [mm] $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{O'}$:
[/mm]
Sei [mm] $U\in\mathcal{B}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $U\in\mathcal{O'}$.
[/mm]
Nach Definition von [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] gilt [mm] $U=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $U=B_\alpha$ [/mm] für ein [mm] $V\subseteq [/mm] Var$ endlich und eine partielle Belegung [mm] $\alpha\colon V\to\{0,1\}$.
[/mm]
Im erstgenannten Fall ist natürlich [mm] $U=\emptyset\in\mathcal{O'}$.
[/mm]
Im Falle [mm] $U=B_\alpha$ [/mm] gilt [mm] $U=\produkt_{X\in Var}U_X\in\mathcal{B'}\subseteq\mathcal{O'}$ [/mm] mit [mm] $U_X:=\{\alpha(X)\}$ [/mm] für [mm] $X\in [/mm] V$ und [mm] $U_X=\{0,1\}$ [/mm] für [mm] $X\in Var\setminus [/mm] V$.
Skizze des Nachweises von [mm] $\mathcal{O}\supseteq\mathcal{B'}$:
[/mm]
Sei [mm] $U\in\mathcal{B'}$, [/mm] d.h. es existiert [mm] $V\subseteq [/mm] Var$ endlich und Teilmengen [mm] $U_X\subseteq\{0,1\}$ [/mm] mit [mm] $U=\produkt_{X\in Var}U_X$, [/mm] wobei [mm] $U_X:=\{0,1\}$ [/mm] für [mm] $X\in Var\setminus [/mm] V$.
Zu zeigen ist [mm] $U\in\mathcal{O}$.
[/mm]
Dies folgt aus [mm] $U=\bigcup_{\alpha\in\produkt_{X\in V}U_X}B_\alpha$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 19.04.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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