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| Aufgabe | | Es seien (X, d) ein metrischer Raum und K ⊂ X kompakt. Zeigen Sie, dass es zu jedem a [mm] \in [/mm] X zwei Elemente [mm] kmin\in [/mm] K , [mm] kmax\in [/mm] K gibt, sodass d(kmin , a) = inf {d(k, a) [mm] k\in [/mm] K} und d(kmax , a) = sup{d(k, a) [mm] k\in [/mm] K }. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich denke dass es bei dieser Aufgabe um den minimalsten/maximalsten Abstand einer Menge zu einem Punkt in der Obermenge (hier X) geht. Stimmt das?
Aber wie soll ich dies beweisen?(Ich vermute dass ich einige Eigenschaften kompakter Mengen benutzen muss.)
Könnt ihr mir helfen?
Spooky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:23 Fr 27.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Es seien (X, d) ein metrischer Raum und K ⊂ X kompakt.
> Zeigen Sie, dass es zu jedem a [mm]\in[/mm] X zwei Elemente [mm]kmin\in[/mm]
> K , [mm]kmax\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K gibt, sodass d(kmin , a) = inf {d(k, a) [mm]k\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> K} und d(kmax , a) = sup{d(k, a) [mm]k\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K }.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo.
> Ich denke dass es bei dieser Aufgabe um den
> minimalsten/maximalsten
Man lernt nicht aus ! minimal, minimaler, noch kleiner und gannz, ganz am minimalsten !
> Abstand einer Menge zu einem Punkt
> in der Obermenge (hier X) geht. Stimmt das?
> Aber wie soll ich dies beweisen?
> (Ich vermute dass ich
> einige Eigenschaften kompakter Mengen benutzen muss.)
Wie kommst Du auf diese überaus abwegige Idee ???
> Könnt ihr mir helfen?
Wir setzen: $S:= sup ~ \{d(x,a): x \in K\}$. Dann gibt es eine Folge (x_n) in K mit
$S= \limes_{n\rightarrow\infty}d(x_n,a)$
K ist kompakt, also enthält (x_n) eine konvergente Teilfolge, deren Limes zu K gehört.
So, nun überlege Dir, was dieser Limes leistet.
FRED
> Spooky
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