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| Aufgabe | | Sei A [mm] \subset [/mm] R hoch n eine Menge mit der folgenden Eigenschaft: Jede Folge (xk) k [mm] \in [/mm] N von Elementen aus A besitzt eine konvergente Teilfolge (xkl) l [mm] \in [/mm] N mit [mm] \limes_{l\rightarrow\infty} [/mm] xkl [mm] \in [/mm] A. Zeigen Sie, dass A kompakt ist. |
Hallo,
in meiner Klausurvorbereitung bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen. Ich würde das gerne mit Heine-Borel beweisen, kann ich einfach aus der Teilffolgenkonvergenz schließen, dass der Grenzwert wieder in A drinliegt? Wie ich daraus die Beschränktheit ableiten soll, weiß ich auch nicht.... Danke schonmal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Disap |
Hi.
> Sei A [mm]\subset[/mm] R hoch n eine Menge mit der folgenden
> Eigenschaft: Jede Folge (xk) k [mm]\in[/mm] N von Elementen aus A
> besitzt eine konvergente Teilfolge (xkl) l [mm]\in[/mm] N mit
> [mm]\limes_{l\rightarrow\infty}[/mm] xkl [mm]\in[/mm] A. Zeigen Sie, dass A
> kompakt ist.
In der Aufgabe steht ja, dass A folgenkompakt ist.
Ich nehme an, du weißt nicht, dass im [mm] \IR^n [/mm] gilt:
A kompakt <=> A folgenkompakt
> Ich würde das gerne mit Heine-Borel beweisen
Ich weiß leider nicht, was Heine-Borel sich dazu ausgedacht haben.
MfG!
Disap
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Heine Borel hat gesagt, dass eine Menge im R hoch n genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Disap |
Moin
> Sei A $ [mm] \subset [/mm] $ R hoch n eine Menge mit der folgenden Eigenschaft: Jede Folge (xk) k $ [mm] \in [/mm] $ N von Elementen aus A besitzt eine konvergente Teilfolge (xkl) l $ [mm] \in [/mm] $ N mit $ [mm] \limes_{l\rightarrow\infty} [/mm] $ xkl $ [mm] \in [/mm] $ A. Zeigen Sie, dass A kompakt ist.
Danke für deinen Nachtrag
> Heine Borel hat gesagt, dass eine Menge im R hoch n genau
> dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt
> ist.
Na dann ist doch alles klar 
In der Aufgabenstellung steht, dass A folgenkompakt ist.
Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass dann A abgeschlossen und beschränkt ist.
Denn nach Heine Borel ist das der Fall, genau dann wenn A kompakt ist.
Widerspruchsbeweis:
Sei A nicht abgeschlossen
[mm] \Rightarrow \exists (x_k) \in [/mm] A : [mm] x_k \to [/mm] x [mm] \notin [/mm] A
[mm] \Rightarrow [/mm] für die Teilfolgen läge in diesem Fall der Grenzwert auch außerhalb von A
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist abgeschlossen.
Sei A nicht beschränkt
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] b [mm] \in [/mm] X [mm] \eixsts (x_k) \in [/mm] A : [mm] d(x_k, [/mm] b) > k.
[mm] \Rightarrow [/mm] für [mm] (x_k) [/mm] existiert keine konvergente Teilfolge
[mm] \Rightarrow [/mm] A muss beschränkt sein.
Viele Grüße
Disap
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Gerade hab ich mir das auch so gedacht ;) super, danke.
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