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| Aufgabe | Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgenden Mengen kompakt sind:
a) A:= [mm] \bigcup_{n\in\IN} B_{2^{-n}}((2\*2^{-n},0)) [/mm] in [mm] \IR^{2}
[/mm]
b) B:= [mm] \{x\in\IR^{n}: x^{2}+a\*x+b=0\} [/mm] in [mm] \IR^{n}, [/mm] für bel. vorgegebene [mm] a\in\IR^{n}, b\in\IR [/mm] |
Hallöchen,
ich habe mir folgende Definition zur Lösung der Aufgabe herausgesucht:
In [mm] \IR^{n} [/mm] ist eine Menge genau dann kompakt, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist.
Dann habe ich mir mal die Menge von a) angeschaut.
Die Menge ist ja wie folgt definiert:
A:= [mm] \bigcup_{n\in\IN} B_{2^{-n}}((2\*2^{-n},0)) [/mm] in [mm] \IR^{2}=\bigcup_{n\in\IN} \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}}\in\IR^{n}: | \vektor{x_{1} \\ x_{2}} - \vektor{3\*2^{-n} \\ 0}|\le 2^{-n}}
[/mm]
Also habe ich gesagt, dass die Menge durch [mm] 0\leA\le2^{-n} [/mm] beschränkt ist, wegen der Definition und [mm] 2^{-n} [/mm] als Maximum [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und als Infimum 0 hat.
Definition Abgeschlossenheit: Sei X ein metrischer Raum. Eine Teilmenge [mm] A\subseteqX [/mm] ist abgeschlossen, genau dann, wenn für jede Folge [mm] (x_{n})_{n\in\IN} [/mm] in A, die in X konvergiert, der Grenzwert auch in A liegt.
Nun habe ich jedoch Probleme, da ich keine Folgen habe, sondern eine Menge. Nun muss ich quasi alle Folgen der Menge abdecken, oder?
Ich habe mir das vielleicht etwas einfach gemacht und habe einfach gesagt, dass nach Quetschlemma
[mm] 0\le|x_{1}-3\*2^{-n}|\le2^{-n}\to0 [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] und
[mm] 0\le|x_{2}-0|\le2^{-n}\to [/mm] 0 für [mm] n\to\infty [/mm]
die Folgen der Menge gegen 0 konvergieren und da 0 nicht in A liegt, wäre die Menga dann nicht kompakt.
Jedoch befürchte ich, dass meine Fantasie da etwas zu weit mit mir durchgegangen ist und ich das alles nicht so einfach machen darf, kann mir da jemand sagen, wie soetwas aussehen soll?
Oder darf ich einfach die Definition Die Menge A heißt abgeschlossen, wenn die Menge gleich dem Abschluss der Menge ist, wenn also A alle seine Randpunkte enthält.
Dann wäre
Rand: [mm] \bigcup_{n\in\IN} \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}}\in\IR^{n}: | \vektor{x_{1} \\ x_{2}} - \vektor{3\*2^{-n} \\ 0}|= 2^{-n}}
[/mm]
Abschluss: [mm] \bigcup_{n\in\IN} \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}}\in\IR^{n}: | \vektor{x_{1} \\ x_{2}} - \vektor{3\*2^{-n} \\ 0}|\le 2^{-n}}
[/mm]
Also der Abschluss = der Menge und dann wäre die Menge abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
Liebe Grüße, Jana.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Di 04.06.2013 | | Autor: | hippias |
> Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgenden Mengen
> kompakt sind:
>
> a) A:= [mm]\bigcup_{n\in\IN} B_{2^{-n}}((2\*2^{-n},0))[/mm] in
> [mm]\IR^{2}[/mm]
>
> b) B:= [mm]\{x\in\IR^{n}: x^{2}+a\*x+b=0\}[/mm] in [mm]\IR^{n},[/mm] für
> bel. vorgegebene [mm]a\in\IR^{n}, b\in\IR[/mm]
>
>
>
> Hallöchen,
>
> ich habe mir folgende Definition zur Lösung der Aufgabe
> herausgesucht:
> In [mm]\IR^{n}[/mm] ist eine Menge genau dann kompakt, wenn sie
> beschränkt und abgeschlossen ist.
>
> Dann habe ich mir mal die Menge von a) angeschaut.
> Die Menge ist ja wie folgt definiert:
> A:= [mm]\bigcup_{n\in\IN} B_{2^{-n}}((2\*2^{-n},0))[/mm] in
> [mm]\IR^{2}=\bigcup_{n\in\IN} \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}}\in\IR^{n}: | \vektor{x_{1} \\ x_{2}} - \vektor{3\*2^{-n} \\ 0}|\le 2^{-n}}[/mm]
Steht hier wirklich [mm] $\leq 2^{-n}$ [/mm] oder soll dort [mm] $<2^{-n}$ [/mm] stehen. Das kann sehr wichtig sein.
>
> Also habe ich gesagt, dass die Menge durch [mm]0\leA\le2^{-n}[/mm]
> beschränkt ist, wegen der Definition und [mm]2^{-n}[/mm] als
> Maximum [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und als Infimum 0 hat.
Diesen Satz verstehe ich nicht. Gib einfach eine Kugel mit Mittelpunkt und Radius an, die die Menge $A$ enthaelt; beweise gegebenenfalls, dass diese Kugel die Menge $A$ wirklich enthaelt.
>
> Definition Abgeschlossenheit: Sei X ein metrischer Raum.
> Eine Teilmenge [mm]A\subseteqX[/mm] ist abgeschlossen, genau dann,
> wenn für jede Folge [mm](x_{n})_{n\in\IN}[/mm] in A, die in X
> konvergiert, der Grenzwert auch in A liegt.
>
> Nun habe ich jedoch Probleme, da ich keine Folgen habe,
> sondern eine Menge. Nun muss ich quasi alle Folgen der
> Menge abdecken, oder?
Nein: alle Folgen, deren Folgeglieder Elemente aus $A$ sind.
> Ich habe mir das vielleicht etwas einfach gemacht und habe
> einfach gesagt, dass nach Quetschlemma
>
> [mm]0\le|x_{1}-3\*2^{-n}|\le2^{-n}\to0[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] und
> [mm]0\le|x_{2}-0|\le2^{-n}\to[/mm] 0 für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> die Folgen der Menge gegen 0 konvergieren und da 0 nicht in
> A liegt, wäre die Menga dann nicht kompakt.
Das stimmt zwar so nicht, denn es gibt sehr wohl Folgen in $A$, die keine Nullfolgen sind, aber das ist trotzdem sehr nuetzlich, denn dies sollte doch zeigen, dass es eine Folge in $A$ gibt, die gegen $0$ konvergiert, und da [mm] $0\not\in [/mm] A$ waere damit bewiesen, dass $A$ nicht abgeschlossen ist. Eine solche Nullfolge solltetst Du am Besten explizit durch ihre Folgeglieder angeben.
>
> Jedoch befürchte ich, dass meine Fantasie da etwas zu weit
> mit mir durchgegangen ist und ich das alles nicht so
> einfach machen darf, kann mir da jemand sagen, wie soetwas
> aussehen soll?
>
> Oder darf ich einfach die Definition Die Menge A heißt
> abgeschlossen, wenn die Menge gleich dem Abschluss der
> Menge ist, wenn also A alle seine Randpunkte enthält.
>
> Dann wäre
> Rand: [mm]\bigcup_{n\in\IN} \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}}\in\IR^{n}: | \vektor{x_{1} \\ x_{2}} - \vektor{3\*2^{-n} \\ 0}|= 2^{-n}}[/mm]
>
> Abschluss: [mm]\bigcup_{n\in\IN} \{ \vektor{x_{1} \\ x_{2}}\in\IR^{n}: | \vektor{x_{1} \\ x_{2}} - \vektor{3\*2^{-n} \\ 0}|\le 2^{-n}}[/mm]
>
Wegen dem [mm] $\leq$ [/mm] siehe oben. Leider ist die Vereinigung der Raender nicht immer gleich dem Rand der Vereinigung.
> Also der Abschluss = der Menge und dann wäre die Menge
> abgeschlossen und beschränkt, also kompakt.
>
> Liebe Grüße, Jana.
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