Kompaktheit einer Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
| Aufgabe | Begründen Sie warum die Mengen kompakt sind.
[mm] M=\{(x,y) \in \IR ^2 \ : e^\(x^2+y^2\) = 2) \} [/mm]
[mm] S=\{(x,y) \in \IR ^2 \ : x^2+2*y^2=22) \} [/mm] |
Huch das war jetzt eine Sache mit diesem Latex :)
Nun ich möchte mal jemand fragen, wie man eine solche Aufgabe sauber und korrekt löst. Ich weiss, dass kompakt [mm][mm] \gdw [/mm] [/mm ] beschränkt und abgeschlossen. Aber weiss nicht recht wie ich da vorgehen muss. Wäre sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Gruss
Mat_
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Huhu,
> Nun ich möchte mal jemand fragen, wie man eine solche
> Aufgabe sauber und korrekt löst. Ich weiss, dass kompakt
> [mm][mm]\gdw[/mm] [/mm ] beschränkt und abgeschlossen.
In diesem Fall, ja 
> Aber weiss nicht recht wie ich da vorgehen muss.
Nunja, du musst eben jeweils zeigen, dass die Menge sowohl beschränkt als auch abgeschlossen ist
Dazu:
Was heisst, dass eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] beschränkt ist?
Was heisst, dass eine Teilmenge des [mm] $\IR^2$ [/mm] abgeschlossen ist?
Machen wir erstmal M:
Es gilt doch: $ [mm] M=\{(x,y) \in \IR ^2 \ : e^\(x^2+y^2\) = 2) \} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR ^2 \ : x^2+y^2 = \ln(2) \}$ [/mm]
Siehst du nun vielleicht besser, dass die Folge beschränkt ist?
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
Nunja, du musst eben jeweils zeigen, dass die Menge sowohl beschränkt als auch abgeschlossen ist - das war mir auch klar :)
Teilmenge $ M [mm] \subset \IR^2\ [/mm] $ heisst abgeschlossen in $ [mm] \IR^2\ \: \gdw\ [/mm] $ M komplement offen in [mm] $\IR^2\$ [/mm] - nun ja das hilft mir nicht viel...
M ist kompakt [mm] $\gdw$ [/mm] M folgenkompakt - das auch nicht..
Ich weiss ich beziehe mich nicht auf deine Fragen, doch leider finde ich nichts verwendbares in meinem Skript. das ist so das, was ich gefunden habe. es ist zum verzweifeln...
Mat_
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 So 13.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir hatten:
$ [mm] M=\{(x,y) \in \IR ^2 \ : e^\(x^2+y^2\) = 2) \} [/mm] = [mm] \{(x,y) \in \IR ^2 \ : x^2+y^2 = \ln(2) \} [/mm] $
Dann gilt doch: |x|, |y| [mm] \le \wurzel{ln(2)} [/mm] für (x,y) [mm] \in [/mm] M
Ist Dir nun klar, dass M beschränkt ist ?
Sicher hattet Ihr folgendes:
M ist abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] der Limes jeder konvergenten Folg in M gehört zu M
Zeige dies mal für obiges M
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
gut soweit klar.
Mhm..keine Ahnung wie das geht, ist alles noch Neuland für mich.
$ [mm] (k_n)_n\equiv((x_n,y_n))_n [/mm] $ eine Folge in M, die gegen ein k [mm] $\in [/mm] M$ konvergiert. da $ [mm] \|k_n-k\| \to [/mm] 0 $ , strebt $ [mm] x_n \to [/mm] x $ und $ [mm] y_n \to [/mm] y $
abr wie ich das allgemein für jede Folge zeige weiss ich nicht.
Mat_
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Huhu,
> abr wie ich das allgemein für jede Folge zeige weiss ich
> nicht.
das sollst du nicht für jede Folge zeigen, sondern das sind die Voraussetzungen für die konvergente Folge.
Du musst nun zeigen, dass k ebenfalls in M liegt.
Wann liegt k denn in M?
Um das zu zeigen, wirst du wohl ausnutzen müssen, dass [mm] $k_n \in [/mm] M$ für alle n gilt und dass die e-Funktion stetig ist.
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 So 13.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Abgeschlossenheit geht für solche Mengen ganz einfach, indem du einfach zeigst, dass sie das Urbild einer abgeschlossenen Menge unter einer stetigen Funktion sind, zum Beispiel:
[mm]M=f^{-1}(\{0\})=f^{-1}(0)[/mm] für die stetige Funktion [mm]f:\IR^2\ni(x,y)\mapsto e^{x^2\red{+}y^2}-2\in\IR[/mm]
Nun um Beschränktheit zu zeigen, kann ich ja Beschränktheit bzgl. irgendeiner Norm zeigen, da im [mm]\IR^2[/mm], allgemeiner [mm]\IR^n[/mm] alle Normen äquivalent sind. Beachte diesen Punkt: Wir dürfen uns eine Norm aussuchen, das kann je nach Situation die Rechnungen erheblich vereinfachen. Da bei unseren Mengen Terme der Art [mm]x^2+y^2[/mm] eine Rolle spielen, probieren wir doch mal die Euklidische Norm [mm]\|(x,y)\|^2=x^2+y^2[/mm] und schauen uns [mm]p=(x,y)\in S[/mm] an, dann ist
[mm]\|p\|^2=x^2+y^2\le x^2+2y^2=22[/mm]
Damit ist also [mm]S[/mm] beschränkt. Genauso zeigst du, dass [mm]S[/mm] abgeschlossen und [mm]M[/mm] beschränkt ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
Danke für deine Anwort! Der zweite Teil habe ich verstanden.
"Das Urbild der Menge M unter der Funktion f ist die Menge der Elemente, die in f eingesetzt, ein Element aus M ergeben."
Beim ersten Teil habe noch nicht ganz alles mitbekommen.
müsste f nicht so sein: $ [mm] f:\IR^2\ni(x,y)\mapsto e^{x^2-y^2}-2 [/mm] =\ 0$
$ [mm] M=f^{-1}(\{0\})=f^{-1}(0) [/mm] $ die Beschränktheit ist nun da versteckt, dass f nicht für beliebige x,y auf Null abbildet?
Gruss, Mat
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 13.02.2011 | | Autor: | pelzig |
> "Das Urbild der Menge M unter der Funktion f ist die Menge
> der Elemente, die in f eingesetzt, ein Element aus M
> ergeben."
Genau, das ist die Definition von "Urbild der Menge M unter [mm]f[/mm]".
> Beim ersten Teil habe noch nicht ganz alles mitbekommen.
> müsste f nicht so sein: [mm]f:\IR^2\ni(x,y)\mapsto e^{x^2-y^2}-2 =\ 0[/mm]
Nein, die Funktion [mm]f[/mm] ist erstmal einfach irgend eine Abbildung von [mm]\IR^2[/mm] in [mm]\IR[/mm], nämlich [mm]f(x,y)=e^{x^2+y^2}-2[/mm]. Die Funktion habe ich aber genau so definiert, dass [mm]x\in M\gdw f(x)=0\gdw x\in f^{-1}(\{0\})[/mm] ist, d.h. [mm]M=f^{-1}(\{0\})[/mm]. An dieser Darstellung sieht man nämlich sofort, dass [mm]M[/mm] abgeschlossen ist, denn [mm]M[/mm] ist das Urbild einer abgeschlossenen Menge (nämlich [mm]\{0\}\subset\IR[/mm]) unter einer stetigen Funktion (nämlich [mm]f[/mm]).
> [mm]M=f^{-1}(\{0\})=f^{-1}(0)[/mm] die Beschränktheit ist nun da
> versteckt, dass f nicht für beliebige x,y auf Null
> abbildet?
Naja das ist ziemlich schwammig was du da sagst. Du musst schon genau zeigen, dass es eine Zahl [mm]C>0[/mm] gibt, sodass für alle [mm]p\in M[/mm] gilt [mm]\|p\|\le C[/mm]. Das ist ja genau das, was ich im zweiten Teil meiner Antwort für die Menge [mm]S[/mm] gezeigt habe.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:26 So 13.02.2011 | | Autor: | Mat_ |
Danke Robert.
> Nein, die Funktion [mm]f[/mm] ist erstmal einfach irgend eine
> Abbildung von [mm]\IR^2[/mm] in [mm]\IR[/mm], nämlich [mm]f(x,y)=e^{x^2+y^2}-2[/mm].
> Die Funktion habe ich aber genau so definiert, dass [mm]x\in M\gdw f(x)=0\gdw x\in f^{-1}(\{0\})[/mm]
> ist, d.h. [mm]M=f^{-1}(\{0\})[/mm]. An dieser Darstellung sieht man
> nämlich sofort, dass [mm]M[/mm] abgeschlossen ist, denn [mm]M[/mm] ist das
> Urbild einer abgeschlossenen Menge (nämlich
> [mm]\{0\}\subset\IR[/mm]) unter einer stetigen Funktion (nämlich
> [mm]f[/mm]).
Dies hat mir extrem geholfen! ich habe es nun auf diese Weise begriffen. Als Physiker brauch ich das nachher eh nicht mehr :D
Gruss
Mat
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 So 13.02.2011 | | Autor: | pelzig |
> [...] Als Physiker brauch ich das nachher eh nicht mehr :D
Als schlechter Physiker vielleicht nicht...
Gruß, Robert
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