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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Mi 25.04.2007 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | | Nach dem Satz von Heine-Borel ist das halboffene Intervall (0,1] nicht kompakt. Geben Sie eine offene Überdeckung dieses Intervalls an,zu der keine endliche Teilüberdeckung existiert. |
Schönen guten Abend.
Ich muss mal wieder hier reinschreiben, weil das solche Aufgaben sind, die mir schon etwas zu komisch sind.
Ich habe auch leider keine Idee oder einen Lösungsansatz dazu, weil für mich die Definition von Kompaktheit voll unlogisch erscheint.
Nochmal zum Wiederholen:
Eine Teilmenge M eines topologischen Raums heißt kompakt, wenn jede offene Überdeckung [mm] M\subseteq\bigcup_{i=1}U_{i} [/mm] eine endliche Teilüberdeckung mit [mm] M\subseteq U_{i_{1}}\cup...\cupU_{i_{n}} [/mm] besitzt.
Für mich wäre nach dieser Definition eine offene Menge auch Kompakt. Oder kann mir das jemand erklären.
Bin echt für jede Hilfe dankbar.
Gruß
Max
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Hi max,
> Nach dem Satz von Heine-Borel ist das halboffene Intervall
> (0,1] nicht kompakt. Geben Sie eine offene Überdeckung
> dieses Intervalls an,zu der keine endliche Teilüberdeckung
> existiert.
> Schönen guten Abend.
>
> Ich muss mal wieder hier reinschreiben, weil das solche
> Aufgaben sind, die mir schon etwas zu komisch sind.
>
> Ich habe auch leider keine Idee oder einen Lösungsansatz
> dazu, weil für mich die Definition von Kompaktheit voll
> unlogisch erscheint.
>
> Nochmal zum Wiederholen:
> Eine Teilmenge M eines topologischen Raums heißt kompakt,
> wenn jede offene Überdeckung [mm]M\subseteq\bigcup_{i=1}U_{i}[/mm]
> eine endliche Teilüberdeckung mit [mm]M\subseteq U_{i_{1}}\cup...\cupU_{i_{n}}[/mm]
> besitzt.
>
> Für mich wäre nach dieser Definition eine offene Menge auch
> Kompakt. Oder kann mir das jemand erklären.
>
> Bin echt für jede Hilfe dankbar.
schau dir doch mal die Menge von Intervallen
[mm] $U_i=(\frac1i,1+\frac1i)$
[/mm]
an. Ist das eine ueberdeckung von $(0,1]$? ist sie offen? gibt es eine endliche teilueberdeckung?
VG
Matthias
>
> Gruß
> Max
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