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| Aufgabe | Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Menge M nicht-leer und kompakt ist.
[mm] M=({x\in \IR ^2 | -e^{x_{1}} + x_{2} ^2\le 0}) [/mm] |
Also ich muss ja 3 Sachen zeigen:
1. M muss nicht-leer sein
2. M muss beschränkt sein
3. M muss abgeschlossen sein
Zu 1: Hier einfach einen Punkt x wählen, der die Gleichung erfüllt --> z.b. x =[1,1]
Bei 2 und 3 weiß ich nicht wirklich wie ich da vorgehen soll.
Idee zu 2: Ich muss ja zeigen, dass es eine "Kugel" mit R>0 gibt, so dass alle x aus M [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le [/mm] R ist (wobei die Wahl der Norm hierbei egal ist, da ja alle Normen im [mm] \IR^n [/mm] äquivalent sind)
Zu 3: Abgeschlossenheit bedeutet doch nur, dass der Rand zu der Menge M gehören muss. Und das tut er ja offensichtlich, da bei Beschreibung der Menge M:... [mm] \le [/mm] 0 verwendet wird anstatt < 0 .
Aber wie kann ich das korrekt begründen?
Es wäre echt nett, wenn mir jemand vlt. den einen oder anderen Tipp geben kann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Entscheiden und begründen Sie, ob die folgenden Menge M
> nicht-leer und kompakt ist.
> [mm]M=({x\in \IR ^2 | -e^{x_{1}} + x_{2} ^2\le 0})[/mm]
> Also ich
> muss ja 3 Sachen zeigen:
> 1. M muss nicht-leer sein
> 2. M muss beschränkt sein
> 3. M muss abgeschlossen sein
>
> Zu 1: Hier einfach einen Punkt x wählen, der die Gleichung
> erfüllt --> z.b. x =[1,1]
>
> Bei 2 und 3 weiß ich nicht wirklich wie ich da vorgehen
> soll.
> Idee zu 2: Ich muss ja zeigen, dass es eine "Kugel" mit
> R>0 gibt, so dass alle x aus M [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel \le[/mm] R
> ist (wobei die Wahl der Norm hierbei egal ist, da ja alle
> Normen im [mm]\IR^n[/mm] äquivalent sind)
>
In der Aufgabe steht "Entscheiden Sie, ob..." und nicht "Beweisen Sie, dass..."
Wenn du also die Beschränktheit nicht hinkriegst, könnte es also sein, dass die Menge gar nicht beschränkt ist.
Dann musst du zeigen, dass es zu jedem R Elemente x gibt mit [mm] \|x\|>R.
[/mm]
> Zu 3: Abgeschlossenheit bedeutet doch nur, dass der Rand zu
> der Menge M gehören muss. Und das tut er ja
> offensichtlich, da bei Beschreibung der Menge M:... [mm]\le[/mm] 0
> verwendet wird anstatt < 0 .
> Aber wie kann ich das korrekt begründen?
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> Es wäre echt nett, wenn mir jemand vlt. den einen oder
> anderen Tipp geben kann
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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Hallo,
Ersteinmal vielen Dank für die Antwort. Ich denke, dass die Menge gar nicht beschränkt ist, da man ja [mm] x_{1} [/mm] beliebig groß werden lassen kann.
Jetzt muss ich ja zeigen, dass es zu jedem R ein x gibt mit
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \ge [/mm] R .
Wie kann man das denn allgemein für jedes R zeigen?
Etwa. durch einen Widerspruchsbeweis? Man nimmt an, dass es ein R gibt, so dass für alle Punkte aus M gilt [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le [/mm] R und es müsste dann rauskommen, dass das R nur [mm] \infty [/mm] sein kann. Kann das so funktionieren?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 30.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Mach Dir klar, dass [mm] (x_1,0) \in [/mm] M ist für jedes [mm] x_1 \in \IR.
[/mm]
FRED
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Reicht es einfach zu argumentieren, dass
[mm] (x_{1}, [/mm] 0) [mm] \in [/mm] M ist für jedes [mm] x_{1}, [/mm] also auch für [mm] x_{1} \to \infty [/mm] . Reicht das um zu zeigen, dass M nicht abschlossen sein kann, da man ja jetzt kein R finden kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Reicht es einfach zu argumentieren, dass
> [mm](x_{1},[/mm] 0) [mm]\in[/mm] M ist für jedes [mm]x_{1},[/mm] also auch für
> [mm]x_{1} \to \infty[/mm] . Reicht das um zu zeigen, dass M nicht
> abschlossen sein kann
Wir waren bei der Beschränktheit oder Nichtbeschränktheit von M !!!!
Nimm an, M wäre beschränkt, dann gibt es ein R>0 mit : ||x|| [mm] \le [/mm] R für alle x [mm] \in [/mm] M
Wegen [mm](x_{1},[/mm] 0) [mm]\in[/mm] M für jedes [mm]x_{1},[/mm] , hätten wir dann:
[mm] |x_1|=||(x_1,0)|| \le [/mm] R für jedes [mm] x_1 \in \IR.
[/mm]
Das ist aber Quatsch
FRED
> , da man ja jetzt kein R finden kann?
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