Kompl. Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. [Dateianhang nicht öffentlich]
2. [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich habe Probleme mit den obigen Aufgabenstellungen.
Bei 1. a) habe ich
z = [mm] \log\left(\bruch{1+i}{1-i}\right) [/mm] = Log(i).
[mm] \exp(i*\phi) [/mm] wird genau dann i, wenn [mm] \sin(\phi) [/mm] = 1 wird, also bei [mm] \phi=\bruch{\pi}{2}. [/mm] Somit wäre $z = [mm] \exp(i*\bruch{\pi}{2}) [/mm] die Lösung. Inwiefern soll ich das jetzt aber skizzieren?
Bei b) komme ich auf [mm] $e^{z} [/mm] = [mm] e^{i*\bruch{\pi}{2}+1} [/mm] = e*i$
Ich glaube aber, ich verstehe die Aufgabenstellung falsch. Wieso gibt es hier, wenn nach "alle Potenzen" gefragt wird, mehrere Lösungen? Wie kann ich sie berechnen?
---
Bei der zweiten Aufgabe muss ich ja die Definition der Differenzierbarkeit anwenden, d.h. f in z differenzierbar falls
[mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}\right)
[/mm]
existiert. Eine Frage, die sich mir hier schon aufdrängt, ist, ob [mm] h\in\IC [/mm] ist oder nur [mm] \in\IR [/mm] ? Im Folgenden ist das (meiner Meinung nach) auch wichtig.
Ich setze jetzt also bei a) die Funktion ein und erhalte
[mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{z+h}-\overline{z}}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{z}+\overline{h}-\overline{z}}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{h}}{h}\right)
[/mm]
Wie verfahre ich jetzt weiter? Soll ich h als x+iy darstellen? Wie ändert sich dann aber mein Grenzwert?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> 1. [Dateianhang nicht öffentlich]
> 2. [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
>
> Ich habe Probleme mit den obigen Aufgabenstellungen.
> Bei 1. a) habe ich
>
> z = [mm]\log\left(\bruch{1+i}{1-i}\right)[/mm] = Log(i).
> [mm]\exp(i*\phi)[/mm] wird genau dann i, wenn [mm]\sin(\phi)[/mm] = 1 wird,
> also bei [mm]\phi=\bruch{\pi}{2}.[/mm] Somit wäre $z =
> [mm]\exp(i*\bruch{\pi}{2})[/mm] die Lösung. Inwiefern soll ich das
> jetzt aber skizzieren?
Du hast alles richtig gemacht, falls Ihr mit Log den Hauptzweig des Log. bezeichnet.
>
> Bei b) komme ich auf [mm]e^{z} = e^{i*\bruch{\pi}{2}+1} = e*i[/mm]
>
> Ich glaube aber, ich verstehe die Aufgabenstellung falsch.
> Wieso gibt es hier, wenn nach "alle Potenzen" gefragt wird,
> mehrere Lösungen? Wie kann ich sie berechnen?
>
Die Aufgabenstellung ist nicht ganz klar. Möglicherweise sollt ihr die Potenzen
[mm] (e^{i\cdot{}\bruch{\pi}{2}+1})^k [/mm] mit k [mm] \in [/mm] ??
berechnen
> ---
>
> Bei der zweiten Aufgabe muss ich ja die Definition der
> Differenzierbarkeit anwenden, d.h. f in z differenzierbar
> falls
>
> [mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}\right)[/mm]
>
> existiert. Eine Frage, die sich mir hier schon aufdrängt,
> ist, ob [mm]h\in\IC[/mm] ist oder nur [mm]\in\IR[/mm] ? Im Folgenden ist das
> (meiner Meinung nach) auch wichtig.
> Ich setze jetzt also bei a) die Funktion ein und erhalte
>
> [mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}\right)[/mm]
>
> = [mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{z+h}-\overline{z}}{h}\right)[/mm]
>
> = [mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{z}+\overline{h}-\overline{z}}{h}\right)[/mm]
>
> = [mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{h}}{h}\right)[/mm]
1.Nimm h [mm] \in \IR [/mm] und berechene
[mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{h}}{h}\right)[/mm]
2.Nimm h [mm] \in i\IR [/mm] und berechene
[mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{h}}{h}\right)[/mm]
Was stellst Du fest ?
FRED
>
> Wie verfahre ich jetzt weiter? Soll ich h als x+iy
> darstellen? Wie ändert sich dann aber mein Grenzwert?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Stefan.
|
|
|
| |
|
> Die Aufgabenstellung ist nicht ganz klar. Möglicherweise
> sollt ihr die Potenzen
>
> [mm](e^{i\cdot{}\bruch{\pi}{2}+1})^k[/mm] mit k [mm]\in[/mm] ??
>
> berechnen
Hallo und danke für deine Antwort!
Angenommen, das wäre so, dann wäre (mit [mm] k\in\IN)
[/mm]
[mm] ${e^{i*\bruch{\pi}{2}+1}}^{1} [/mm] = e*i$
[mm] ${e^{i*\bruch{\pi}{2}+1}}^{2} [/mm] = [mm] e^{2}*(-1)$
[/mm]
[mm] ${e^{i*\bruch{\pi}{2}+1}}^{3} [/mm] = [mm] e^{3}*(-i)$
[/mm]
[mm] ${e^{i*\bruch{\pi}{2}+1}}^{3} [/mm] = [mm] e^{4}*1$
[/mm]
...
Aber das ist ja relativ einfach. Vielleicht sind doch die pos. reellen Zahlen gemeint als Exponenten. Das wird ja dann so eine Art Spirale, die bei (1,0) in der Gaußschen Zahlenebene beginnt, oder?
> 1.Nimm h [mm]\in \IR[/mm] und berechene
>
> [mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{h}}{h}\right)[/mm]
>
> 2.Nimm h [mm]\in i\IR[/mm] und berechene
>
> [mm]\lim_{h\to 0}\left(\bruch{\overline{h}}{h}\right)[/mm]
>
>
> Was stellst Du fest ?
Dass einmal der Grenzwert -1 und einmal +1 wird. Ich vermute, ich soll daraus folgern, dass der Grenzwert nie existiert, die Funktion also nirgendwo differenzierbar ist. Wieso darf ich aber einfach irgendwelche h's mir zusammenbasteln? Oder geht es hier nur um die Problematik, dass ja "jedes h aus [mm] \IC [/mm] gegen 0 konvergiert"?
Die Berechnung des zweiten Limes würde dann ja so beginnen: [mm] (\Im [/mm] soll Imaginärteil sein)
[mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{f(z+h)-f(z)}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{(z+h)*\Im(z+h)-z*\Im(z)}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{z*\Im(z+h) + h*\im(z+h)-z*\Im(z)}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{z*\Im(z) + z*\Im(h) + h*\im(z+h)-z*\Im(z)}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(\bruch{z*\Im(h) + h*\Im(z+h)}{h}\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(z*\bruch{\Im(h)}{h} + \Im(z+h)\right)
[/mm]
= [mm] \lim_{h\to 0}\left(z*\bruch{\Im(h)}{h}\right) [/mm] + [mm] \Im(z)
[/mm]
Nun wäre also (wenn all meine Umformungen bisher legitim waren) wieder die Frage, was mit [mm] \bruch{\Im(h)}{h} [/mm] passiert. Wenn ich hier h reell annehme, ist der Wert ja ohnehin 0. Wenn ich h aber imaginär annehme, d.h. [mm] h\in i\IR, [/mm] wäre der Grenzwert ja eher 1 oder so. Existiert er dann wieder nicht?
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Mo 20.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast alles richtig gemacht und die richtigen Schlüsse gezogen
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo fred97, danke für deine Antwort!
Grüße, Stefan.
|
|
|
|
