Kompl. Wegintegral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Ich habe ein Frage zu obiger Aufgabe.
Eine Parametrisierung wäre ja [mm] $\gamma(t) [/mm] = 1+t*i$.
-An welcher Stelle soll ich jetzt aber den [mm] \cosh(z) [/mm] durch [mm] $\frac{1}{2}*(e^{z}+e^{-z})$ [/mm] ersetzen? Gleich am Anfang?
-Ab welcher Stelle darf ich integrieren, ab der wo eine vollständige Aufspaltung des Integrals in Real- und Imaginärteil erfolgt ist, oder auch schon früher?
Ich würde die Aufgabe jetzt so lösen (mit der Parametrisierung):
[mm] $\int_{\gamma}^{}{\cosh(z)\ dz}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}*\int_{\gamma}^{}{e^{z} + e^{-z}\ dz}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{e^{1+t*i} + e^{-1-t*i}\ dz}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{e*e^{t*i} + e^{-1}*e^{-t*i}\ dz}$
[/mm]
- Und nun [mm] e^{...} [/mm] integrieren oder erst noch umschreiben in [mm] \sin \cos [/mm] - Schreibweise?
Danke für Eure Hilfe
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo!
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> Ich habe ein Frage zu obiger Aufgabe.
> Eine Parametrisierung wäre ja [mm]\gamma(t) = 1+t*i[/mm].
>
> -An welcher Stelle soll ich jetzt aber den [mm]\cosh(z)[/mm] durch
> [mm]\frac{1}{2}*(e^{z}+e^{-z})[/mm] ersetzen? Gleich am Anfang?
>
> -Ab welcher Stelle darf ich integrieren, ab der wo eine
> vollständige Aufspaltung des Integrals in Real- und
> Imaginärteil erfolgt ist, oder auch schon früher?
>
> Ich würde die Aufgabe jetzt so lösen (mit der
> Parametrisierung):
>
> [mm]\int_{\gamma}^{}{\cosh(z)\ dz}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}*\int_{\gamma}^{}{e^{z} + e^{-z}\ dz}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{e^{1+t*i} + e^{-1-t*i}\ dz}[/mm]
Hier fehlt noch [mm] \gamma' [/mm] (und schreibe $dt$ statt$dz$. Also:
[mm]= \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{(e^{1+t*i} + e^{-1-t*i})i \ dt}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{e*e^{t*i} + e^{-1}*e^{-t*i}\ dz}[/mm]
>
Wie oben:
[mm]= \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{(e*e^{t*i} + e^{-1}*e^{-t*i})i \ dt}[/mm]
> - Und nun [mm]e^{...}[/mm] integrieren oder erst noch umschreiben in
> [mm]\sin \cos[/mm] - Schreibweise?
Beides kannst Du machen. Bei der 1. Möglichkeit kommst Du aber viel schneller zum Ziel
FRED
>
> Danke für Eure Hilfe
> Viele Grüße, Stefan.
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Hallo!
Danke Fred für deine Antwort!
> [mm]= \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{(e*e^{t*i} + e^{-1}*e^{-t*i})i \ dt}[/mm]
Also jetzt:
$= [mm] \frac{1}{2}*i*\left[e*i*e^{t*i} - i*e^{-1}*e^{-t*i}\right]_{0}^{1}$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}*i*\left((e*i*e^{i} - i*e^{-1}*e^{-i})-(e*i*1 - i*e^{-1}*1)\right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2}*\left(-e*e^{i} + e^{-1}*e^{-i}+ e - e^{-1})\right)$.
[/mm]
Ist das richtig?
Dann zur zweiten Teilaufgabe, wo man das Integral mit Hilfe einer Stammfunktion berechnen soll: Ich vermute, mann darf nicht einfach sagen dass [mm] \sinh [/mm] die Stammfunktion ist, weil wir uns ja im Komplexen bewegen, also so (?):
[mm] $\integral_{1}^{1+i}{\cosh(z)\ dz}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{2}*\integral_{1}^{1+i}{(e^{z} + e^{-z}\ dz}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{2}*\left[(e^{z} - e^{-z}\right]_{1}^{1+i}$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{2}*\left((e^{1+i} - e^{-1-i})-(e - e^{-1})\right)$
[/mm]
$= [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^{1+i} - e^{-1-i}-e + e^{-1}\right)$
[/mm]
Ist das so richtig oder muss ich anders vorgehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mo 27.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
>
> Danke Fred für deine Antwort!
>
> > [mm]= \frac{1}{2}*\int_{0}^{1}{(e*e^{t*i} + e^{-1}*e^{-t*i})i \ dt}[/mm]
>
> Also jetzt:
>
> [mm]= \frac{1}{2}*i*\left[e*i*e^{t*i} - i*e^{-1}*e^{-t*i}\right]_{0}^{1}[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}*i*\left((e*i*e^{i} - i*e^{-1}*e^{-i})-(e*i*1 - i*e^{-1}*1)\right)[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2}*\left(-e*e^{i} + e^{-1}*e^{-i}+ e - e^{-1})\right)[/mm].
>
> Ist das richtig?
Nein. Eine Stammfunktion von [mm] e^{it} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{i}e^{it}
[/mm]
>
> Dann zur zweiten Teilaufgabe, wo man das Integral mit Hilfe
> einer Stammfunktion berechnen soll: Ich vermute, mann darf
> nicht einfach sagen dass [mm]\sinh[/mm] die Stammfunktion ist, weil
> wir uns ja im Komplexen bewegen, also so (?):
>
> [mm]\integral_{1}^{1+i}{\cosh(z)\ dz}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\integral_{1}^{1+i}{(e^{z} + e^{-z}\ dz}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left[(e^{z} - e^{-z}\right]_{1}^{1+i}[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left((e^{1+i} - e^{-1-i})-(e - e^{-1})\right)[/mm]
>
> [mm]= \bruch{1}{2}*\left(e^{1+i} - e^{-1-i}-e + e^{-1}\right)[/mm]
>
> Ist das so richtig
Ja
FRED
> oder muss ich anders vorgehen?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Ok, danke Fred!
Grüße, Stefan.
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> Dann zur zweiten Teilaufgabe, wo man das Integral mit Hilfe
> einer Stammfunktion berechnen soll: Ich vermute, man darf
> nicht einfach sagen dass [mm]\sinh[/mm] die Stammfunktion ist, weil
> wir uns ja im Komplexen bewegen.....
Das dürfte man im vorliegenden Fall sehr wohl, da die
hyperbolischen Funktionen auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph sind.
LG Al
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Ok, danke Al-Chwarizmi für deine Antwort!
Ich weiß eben nur nicht ob wir das benutzen dürfen, deswegen bin ich mir etwas unsicher.
Viele Grüße, Stefan.
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