Komplement und Minimalpolynom < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Fr 01.07.2011 | | Autor: | muminek |
| Aufgabe | 1) Seien A [mm] \in M_{n,n}(K) [/mm] , A1 [mm] \in M_{n1,n1}(K) [/mm] , A2 [mm] \in M_{n2,n2}(K) [/mm] Matrizen über einem Körper K (n=n1+n2) wobei für A gilt: [mm] A= \begin{pmatrix}
A1 & 0 \\
0 & A2
\end{pmatrix} [/mm]
Beweise oder wiederlege:
a)[mm] m_A|m_{A1}*m_{A2} [/mm]
b)[mm] m_{A1}*m_{A2}|m_A [/mm]
c)[mm] m_A=m_{A1} [/mm] wenn A2=0
d)A2=A1 wenn [mm] m_A = m_{A1} [/mm]
e)[mm] m_A=P_A [/mm]
2) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter seinen [mm]U,W \subset V[/mm] Untervektorräume. Wir nehmen an, dass der Schnitt von U und W leer ist. Zeigen Sie, dass es dann ein Komplement W' von U gibt mit [mm]W \subset W'[/mm] . |
Also mein Problem liegt darin, dass ich über längere Zeit krank war weswegen mir jetzt ein großer Teil des Skripts fehlt und ich folglich nicht vorankomme :/ ( hab bisher nur verstanden was [mm]m_A[/mm] ist aber das wars auch) . Deswegen wollte ich fragen ob mir jemand paar Hintergrundinformationen geben könnte (bzw. mich auf eine entsprechende Seite verweisen) mit dennen ich dann die Aufgaben lösen könnte. 1 habe ich aber trotzdem versucht (stückweit) allein zu machen:
a) ja: damit A=0 ist muss selbes auch für A1 und A2 gelten, d.h. jede Nullstelle von A ist gleichzeitig eine Nullstelle von A1 und A2
b) nein: A1 und A2 müssen nicht die selben Nullstellen haben. Wenn also Z eine NS (Nullstelle) von A1 ist aber nicht von A2 so ist (x-Z) in [mm] m_{A1}*m_{A2} [/mm] enthalten aber es teilt nicht [mm]m_A [/mm]
c) ich glaube dass es stimmt kann es aber nicht zeigen
d) keine Idee
e) nein: wenn ich A1 und A2 so wähle, dass A eine 5x5 Einheitsmatrix ist so ist [mm] P_A=(1-x)^5 [/mm] aber [mm] m_A=(1-x) [/mm]
Danke schonmal für jede Art der Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Fr 01.07.2011 | | Autor: | muminek |
Ok.... ich hab jetzt etwas gefunden was mir bei der 2) hilft aber es hört sich für mich viel zu einfach an weswegen ich mir recht sicher bin, dass es falsch ist:
Wir betrachten V'=U+W. Da U und W UV`s ( Untervektorräume ) von V sind ist auch V' ein UV von V. Da der schnitt von U und W leer ist Besteht die Basis von V' aus allem Basisvektoren von U und allen Basisvektoren von W ( also ist z.b. Basis von U = (u1, u2 ) und von W = ( w1, w2 , w3) so ist die Basis von V' = (u1, u2, w1, w2, w3) ). Nach dem Basisergänzungssatz können wir die Basis von V' zu einer Basis von V ergänzen mit hilfe von weiteren lin. unabh. Vektoren n1, ... , ni ( [mm] i \in \IN[/mm] ). Wir wählen nun als Basis von W' : (w1, ... , wk, n1, ... , ni) wobei (w1, ... , wk) die Basis von W ist. Somit ergibt sich die Behauptung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok.... ich hab jetzt etwas gefunden was mir bei der 2)
> hilft aber es hört sich für mich viel zu einfach an
> weswegen ich mir recht sicher bin, dass es falsch ist:
Die Idee ist richtig. Nur die Ausformulierung ist nicht so ganz richtig.
> Wir betrachten V'=U+W. Da U und W UV's ( Untervektorräume
> ) von V sind ist auch V' ein UV von V. Da der schnitt von U
> und W leer ist
Der Schnitt ist nicht leer, er umfasst immer den Nullvektor. Das steht auch schon in der Aufgabenstellung falsch drin.
> Besteht die Basis von V' aus allem
$V'$ hat nicht nur eine Basis, sondern im Allgemeinen sehr viele Basen.
> Basisvektoren von U und allen Basisvektoren von W ( also
> ist z.b. Basis von U = (u1, u2 ) und von W = ( w1, w2 , w3)
> so ist die Basis von V' = (u1, u2, w1, w2, w3) ). Nach dem
Du musst zeigen, dass es eine solche Basis von $V'$ gibt. Nimm dazu doch eine Basis von $U$ und eine von $W$ und zeige, dass die Vereinigung der Basen eine Basis von $V'$ ist.
> Basisergänzungssatz können wir die Basis von V' zu einer
> Basis von V ergänzen mit hilfe von weiteren lin. unabh.
> Vektoren n1, ... , ni ( [mm]i \in \IN[/mm] ). Wir wählen nun als
> Basis von W' : (w1, ... , wk, n1, ... , ni) wobei (w1, ...
> , wk) die Basis von W ist. Somit ergibt sich die
> Behauptung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1) Seien A [mm]\in M_{n,n}(K)[/mm] , A1 [mm]\in M_{n1,n1}(K)[/mm] , A2 [mm]\in M_{n2,n2}(K)[/mm]
> Matrizen über einem Körper K (n=n1+n2) wobei für A gilt:
> [mm]A= \begin{pmatrix}
A1 & 0 \\
0 & A2
\end{pmatrix}[/mm]
> Beweise oder
> wiederlege:
> a)[mm] m_A|m_{A1}*m_{A2}[/mm]
> b)[mm] m_{A1}*m_{A2}|m_A[/mm]
> c)[mm] m_A=m_{A1}[/mm]
> wenn A2=0
> d)A2=A1 wenn [mm]m_A = m_{A1}[/mm]
> e)[mm] m_A=P_A[/mm]
>
> 2) Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Weiter
> seinen [mm]U,W \subset V[/mm] Untervektorräume. Wir nehmen an,
> dass der Schnitt von U und W leer ist. Zeigen Sie, dass es
> dann ein Komplement W' von U gibt mit [mm]W \subset W'[/mm] .
> Also mein Problem liegt darin, dass ich über längere
> Zeit krank war weswegen mir jetzt ein großer Teil des
> Skripts fehlt und ich folglich nicht vorankomme :/ ( hab
> bisher nur verstanden was [mm]m_A[/mm] ist aber das wars auch) .
> Deswegen wollte ich fragen ob mir jemand paar
> Hintergrundinformationen geben könnte (bzw. mich auf eine
> entsprechende Seite verweisen) mit dennen ich dann die
> Aufgaben lösen könnte. 1 habe ich aber trotzdem versucht
> (stückweit) allein zu machen:
>
> a) ja: damit A=0 ist muss selbes auch für A1 und A2
> gelten,
Das meinst du nicht.
> d.h. jede Nullstelle von A ist gleichzeitig eine
> Nullstelle von A1 und A2
$A$ ist eine Matrix und hat keine Nullstelle. Du beziehst dich wohl auf das Minimalpolynom.
Du musst allerdings beachten, dass nicht nur die Nullstellen, sondern auch die alg. Vielfachheiten der Nullstellen wichtig sind!
(Hier brauchst du ein Gegenbeispiel. Diagonalmatrizen reichen hier aus.)
> b) nein: A1 und A2 müssen nicht die selben Nullstellen
> haben. Wenn also Z eine NS (Nullstelle) von A1 ist aber
> nicht von A2 so ist (x-Z) in [mm]m_{A1}*m_{A2}[/mm] enthalten aber
> es teilt nicht [mm]m_A[/mm]
Aussage b) stimmt nicht, das hast du richtig. Allerdings ist deine Begruendung Murks.
> c) ich glaube dass es stimmt kann es aber nicht zeigen
Es stimmt auch.
Es stimmt nicht.
> d) keine Idee
Suche nach einem Gegenbeispiel. Etwa mit Diagonalmatrizen.
> e) nein: wenn ich A1 und A2 so wähle, dass A eine 5x5
> Einheitsmatrix ist so ist [mm]P_A=(1-x)^5[/mm] aber [mm]m_A=(1-x)[/mm]
Fuer a)-d) geh wie folgt vor: ueberlege dir zuerst, dass [mm] $f(\pmat{ A_1 & 0 \\ 0 & A_2 }) [/mm] = [mm] \pmat{ f(A_1) & 0 \\ 0 & f(A_2) }$ [/mm] ist. Dann beachte die Definition des Minimalpolynoms: es ist das (normierte) Polynom kleinsten Grades, welches die Matrix als Nullstelle hat, und es teilt jedes andere solche Polynom.
Damit solltest du die Aufgabe hinbekommen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Fr 01.07.2011 | | Autor: | muminek |
Ok, mit den Tips komm ich jetzt wirklich etwas weiter, danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ok, mit den Tips komm ich jetzt wirklich etwas weiter,
> danke :)
bitte und viel Erfolg :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 02.07.2011 | | Autor: | muminek |
kurze Frage zu der c). Kann es sein, dass die doch Falsch ist? ich meine wenn ich für A1 die Einheitsmatrix einsetze ist der Min.pol von A1 (1-x). der Min.pol. von A ist aber (1-x)(x) weil (1-A) mach auf der Diagonalen von A die 1 zu 0 und die 0 zu -1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Sa 02.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> kurze Frage zu der c). Kann es sein, dass die doch Falsch
> ist? ich meine wenn ich für A1 die Einheitsmatrix einsetze
> ist der Min.pol von A1 (1-x). der Min.pol. von A ist aber
> (1-x)(x) weil (1-A) mach auf der Diagonalen von A die 1 zu
> 0 und die 0 zu -1
Ja, das hast du gut bemerkt :)
c) stimmt nur, falls [mm] $m_{A_1}(0) [/mm] = 0$ ist. Andernfalls ist [mm] $m_A [/mm] = [mm] m_{A_1} \cdot [/mm] x$.
LG Felix
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