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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Tommylee |
Hallo zusammen ,
hier hab ich zunächst mal 2 unterräume von [mm] \IR^3
[/mm]
U1 = { a * (1,0,1) + b * (0,1,-1) : a,b [mm] \in \IR [/mm] }
U2 = { a * (1,0,-1) + b * (0,1,1) : a,b [mm] \in \IR [/mm] }
zunächst mal sollen wir U1 + U2 bilden
da habe ich einfach das gemacht :
U1 + U2 = { a * (1,0,1) + b * (0,1,-1) + c * (1,0,-1) + d * (0,1,1)
: a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] }
kommt mir irgendwie zu einfach vor .
Jetzt aber das schwierigere :
Wir sollen zu U1 und U2 je ein Komplement bestimmen
Was ich erkannt habe:
in U1 ist x1 - x2 - x3 immer null
also U1 ist auch : { ( x1 , x2 , x3 ) : x1 - x2 - x3 = 0 }
der zu U1 komlementäre Unterraum wäre ja jetzt derjenige in dem alle Vektoren von [mm] \IR^3 [/mm] liegen für die nicht gilt : x1-x2-x3 = 0
ich denke soweit leige ich richtig???
ich komm nicht drauf wie ?
Hant Dank für Rat
bis dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 Sa 18.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine beiden Unterräume sind beide offensichtlich 2-dimensional, also ein Komplement wäre jeweils ein eindimensionaler Unterraum, der die vorhandenen nur im Nullpunkt schneidet.
Du musst also jeweils nur einen dritten Vektor finden, der zu den beiden gegebenen linear unabhängig ist !
(du kannst hier sogar den gleichen zu beiden durch scharfes hinsehen finden)
für [mm] U_1+U_2 [/mm] musst du bei deiner gewählten darstellung aber eine Basis angeben - ich denke, dies ist auch mit "bilden" gemeint.
Dafür schau mal HIER
(falls du schon weißt, wie man mit Gauß rechnet, ist in dem thread auch ein weiterer Link angegeben, wie es damit schnell geht)
viele grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Tommylee |
Hallo ,
Danke schonmal ,
Der Stoff ist totales Neuland für mich und ich habe es noch nicht richtig verstanden.
ich nehme jetzt zum beispiel den Vektor [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
Der ist zu beiden in U1 angegebenen linear unabhängig
Wäre mein komplementärer unterraum also jetzt folgender ?? :
Uk :0 { a * ( 1 , -1 , -1 ) : a [mm] \in \IR [/mm] } ??
danke
bis dann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Sa 18.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ja, wenn der zu den beiden anderen Vektoren linear unabhängig ist, bildet der Raum ,den du angegeben hast ein Komplement, denn zusammen haben sie 3 linear unabhängige Vektoren (also dimension 3 , also der ganze raum) und als Schnitt nur den Nullvektor.
(ein einfacherer Vektor wäre (0,0,1) gewesen)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:05 Mo 20.11.2006 | | Autor: | ramok |
Wie könnte ich den nun den schnitt von U1 und U2 berechnen?
Ist es die Basis(1,1,0) wenn ja warum??
Welche "Kriterien" bzgl. Linearer (un)abhängigkeit sind zu beachten??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Mo 20.11.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
vom Dimensionssatz weißt du, dass der Schnitt die Dimension 1 haben muss.
Also reicht es einen Vektor zu finden, der sowohl im erzeugnis von U1 als auch im Erzeugnis von U2 liegt.
(also der sowohl zu den Vektoren in U1 linear abhängig ist als auch zu denen in U2)
Den Vektor, den du angegeben hast, ist richtig - man muss jetzt eben nur noch schnell lineare abhängigkeit zeigen.
(oder: wie man den Vektor aus den beiden anderen jeweils darstellen kann)
viele Grüße
DaMenge
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