Komplementärer Unterraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei U := {x [mm] \in \IR^{4} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + 2 [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 3x_{4} [/mm] = 0 }. Man gebe eine Basis des Unterraums an und bestimme den komplementären Unterraum von [mm] \IR^{4}. [/mm] |
Komme hier leider nicht weiter. Wie ergänze ich den die Teilmenge zu einer Basis? Und weiter: wie erstelle ich den den komplementären Unterraum. Sind dies alles Elemente aus [mm] \IR^{4} [/mm] die die Gleichung nicht erfüllen.
Vielen Dank im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Di 09.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Heini (sachichmal)!
> Sei U := {x [mm] \in \IR^{4} [/mm] | [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] - [mm] 3*x_{4} [/mm] = 0}. Man gebe eine Basis des Unterraums an...
Setz mal [mm] x_{1} [/mm] = 1, [mm] x_{2} [/mm] = 0, [mm] x_{3} [/mm] = 0
und [mm] x_{1} [/mm] = 0, [mm] x_{2} [/mm] = 1, [mm] x_{3} [/mm] = 0
und [mm] x_{1} [/mm] = 0, [mm] x_{2} [/mm] = 0, [mm] x_{3} [/mm] = 1
und rechne jeweils das [mm] x_{4} [/mm] aus.
Wenn das funktioniert, hast du eine Basis (Frage an dich: Warum?)
> und
> bestimme den komplementären Unterraum von [mm]\IR^{4}.[/mm]
Der steht fast schon da! Er wird vom 'Koeffizientenvektor' (1|2|-1|-3) erzeugt. Gleiche Frage: Warum?
> Komme hier leider nicht weiter. Wie ergänze ich den die
> Teilmenge zu einer Basis? Und weiter: wie erstelle ich den
> den komplementären Unterraum. Sind dies alles Elemente aus
> [mm]\IR^{4}[/mm] die die Gleichung nicht erfüllen.
Nein! Stell es dir im [mm] \IR^{3} [/mm] vor: Die Gleichung ergibt eine Ebene durch den Ursprung, und das Komplement ist die darauf senkrechte Gerade durch den Ursprung.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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