Komplemente < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Do 02.01.2014 | | Autor: | kRAITOS |
| Aufgabe | Es seien V ein K-Vektorraum und U [mm] \subseteq [/mm] V ein linearer Teilraum.
Ein linearer Teilraum U′ [mm] \subseteq [/mm] V ist ein lineares Komplement zu U in V, wenn gilt:
V = U [mm] \oplus [/mm] U′.
a) Beweisen Sie: Es seien V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum,U [mm] \subseteq [/mm] V ein linearer Teilraum und U′ [mm] \subseteq [/mm] V ein lineares Komplement zu U. Dann gilt:
DimK(V) = DimK(U) + DimK(U′).
b) Zeigen Sie: Es seien V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum und U [mm] \subseteq [/mm] V ein linearer Teilraum. Dann existiert ein lineares Komplement U′ [mm] \subseteq [/mm] V zu U.
c) Zu beweisen ist: Es seien V, W zwei K-Vektorräume, f :V [mm] \to [/mm] W eine lineare Abbildung, und U′ [mm] \subseteq [/mm] V ein lineares Komplement zu Ker(f). Dann ist
[mm] f_|_U′ [/mm] :U′ [mm] \to [/mm] Bild(f) , u′ [mm] \mapsto [/mm] f (u′)
ein linearer Isomorphismus. |
zu a)
V = U [mm] \oplus [/mm] U′ heißt:
V = U + U´= [mm] \{u + u´ | u \in U, u´ \in U´ \} [/mm] und U [mm] \cap [/mm] U´= {0}
Das heißt, dass sich V dann als direkte Summe der Vektoren aus U und U´darstellen lässt. Also habe ich bspw U = { [mm] \vektor{x \\ y \\ 0}|x,y\in \IR [/mm] } und U´= { [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ z}|z \in \IR [/mm] } wäre das eine direkte Summe.
Und die Dim(V) = U + U´
Aber wie bekomme ich das in einen formalen Beweis? Hat jemand einen Denkanstoß?
b) Da habe ich leider gerade keine Ahnung. Ist hier gefordert, eine direkte Summe zu bilden?
c) Hier muss ich ja einmal Injektivität und einmal Surjektivität beweisen.
Injektiv ist f, wenn Ker(f) = {0}. Doch wie zeige ich das?
Für Surjektivität würde ich das so angehen:
Sei [mm] w\in [/mm] Bild(f), dann gibt es v [mm] \in [/mm] V mit f(v) = w. Seien ebenso u und [mm] u´\in [/mm] Kern(f).
w = f(v) = f(u + u´) = f(u) + f(u´) = f(u´) = [mm] f_|_U_´(u´)
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Do 02.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Es seien V ein K-Vektorraum und U [mm]\subseteq[/mm] V ein linearer
> Teilraum.
> Ein linearer Teilraum U′ [mm]\subseteq[/mm] V ist ein lineares
> Komplement zu U in V, wenn gilt:
> V = U [mm]\oplus[/mm] U′.
>
> a) Beweisen Sie: Es seien V ein endlichdimensionaler
> K-Vektorraum,U [mm]\subseteq[/mm] V ein linearer Teilraum und U′
> [mm]\subseteq[/mm] V ein lineares Komplement zu U. Dann gilt:
> DimK(V) = DimK(U) + DimK(U′).
>
> b) Zeigen Sie: Es seien V ein endlichdimensionaler
> K-Vektorraum und U [mm]\subseteq[/mm] V ein linearer Teilraum. Dann
> existiert ein lineares Komplement U′ [mm]\subseteq[/mm] V zu U.
>
> c) Zu beweisen ist: Es seien V, W zwei K-Vektorräume, f :V
> [mm]\to[/mm] W eine lineare Abbildung, und U′ [mm]\subseteq[/mm] V ein
> lineares Komplement zu Ker(f). Dann ist
> [mm]f_|_U′[/mm] :U′ [mm]\to[/mm] Bild(f) , u′ [mm]\mapsto[/mm] f (u′)
> ein linearer Isomorphismus.
> zu a)
>
> V = U [mm]\oplus[/mm] U′ heißt:
>
> V = U + U´= [mm]\{u + u´ | u \in U, u´ \in U´ \}[/mm] und U [mm]\cap[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> U´= {0}
>
> Das heißt, dass sich V dann als direkte Summe der Vektoren
> aus U und U´darstellen lässt. Also habe ich bspw U = {
> [mm]\vektor{x \\ y \\ 0}|x,y\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} und U´= { [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ z}|z \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } wäre das eine direkte Summe.
> Und die Dim(V) = U + U´
> Aber wie bekomme ich das in einen formalen Beweis? Hat
> jemand einen Denkanstoß?
Die bekannte Dimensionsformel fuer die Summe von linearen Raeumen.
>
> b) Da habe ich leider gerade keine Ahnung. Ist hier
> gefordert, eine direkte Summe zu bilden?
So wie es geschrieben wurde: Beweise zu $U$ die Existenz eines $U'$ so, dass $V= U\oplus U'$ gilt. Als Tip: Steinitz'scher Austauschsatz; anderenfalls Induktion nach z.B. $dim_{K}V/U$.
>
>
> c) Hier muss ich ja einmal Injektivität und einmal
> Surjektivität beweisen.
Richtig.
>
> Injektiv ist f, wenn Ker(f) = {0}. Doch wie zeige ich das?
>
> Für Surjektivität würde ich das so angehen:
>
> Sei [mm]w\in[/mm] Bild(f), dann gibt es v [mm]\in[/mm] V mit f(v) = w. Seien
> ebenso u und [mm]u´\in[/mm] Kern(f).
>
> w = f(v) = f(u + u´) = f(u) + f(u´) = f(u´) =
> [mm]f_|_U_´(u´)[/mm]
Verstehe ich nicht. Was ist $u$? Wieso "ebenso"? Ich bin mir sicher Du meinst es sicher richtig, aber so weigere ich mich das zu akzeptieren.
Was ist mit der Injektivitaet? Sei [mm] $u'\in Kern(f_{\vert U'})$, [/mm] also [mm] $u'\in [/mm] U'$ mit $f(u')= 0$. Wieso folgt nun $u'=0$?
|
|
|
|
