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| Aufgabe | Sei [mm] F:\Delta^{op}\to{Ab} [/mm] eine simpliziale abelsche Gruppe. Zeigen Sie, F definiert einen Komplex K(F) mit
[mm] K(F)_n=\begin{cases} F([n]), & \mbox{für } n\ge0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
und den Randabbildungen
[mm] \delta_n:K(F)_n\to{K(F)_{n-1}}, x\mapsto\sum_{j=0}^{n}(-1)^jF(\epsilon_n^j)(x) [/mm] |
Hallo ihr Algebraiker,
obige Aufgabe gilt es für mich zu lösen und so wollte ich zunächst Rücksprache nehmen:
Meiner Meinung nach ist lediglich zu zeigen, dass [mm] \delta_{n-1}\circ\delta_n=0 [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
Ist das soweit korrekt? Oder muss noch mehr gezeigt werden?
Über kurze (oder auch längere) Antwort freue ich mich.
Vielen Dank.
Liebe Grüße vom Richard.
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Hi Richie,
solange es nur um Algebra und Kategorientheorie und nicht um Topologie geht, kann ich zum Glück noch mein Senf dazugeben 
> Sei [mm]F:\Delta^{op}\to{Ab}[/mm] eine simpliziale abelsche Gruppe.
> Zeigen Sie, F definiert einen Komplex K(F) mit
>
> [mm]K(F)_n=\begin{cases} F([n]), & \mbox{für } n\ge0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> und den Randabbildungen
>
> [mm]\delta_n:K(F)_n\to{K(F)_{n-1}}, x\mapsto\sum_{j=0}^{n}(-1)^jF(\epsilon_n^j)(x)[/mm]
>
> Hallo ihr Algebraiker,
>
> obige Aufgabe gilt es für mich zu lösen und so wollte ich
> zunächst Rücksprache nehmen:
>
> Meiner Meinung nach ist lediglich zu zeigen, dass
> [mm]\delta_{n-1}\circ\delta_n=0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
Zunächst einmal ist hier das [mm] $\IN$ [/mm] natürlich durch ein [mm] $\IZ$ [/mm] zu ersetzen. Edit: Ok, in diesem Fall genügt natürlich [mm] $\IN$, [/mm] da das für negative Zahlen hier ziemlich trivial ist^^
> Ist das soweit korrekt? Oder muss noch mehr gezeigt
> werden?
Wenn es für dich nicht offensichtlich ist, musst du dir natürlich noch klarmachen, dass die [mm] $\delta_n$ [/mm] tatsächlich Homomorphismen abelscher Gruppen sind.
> Über kurze (oder auch längere) Antwort freue ich mich.
Übrigens handelt es sich hier um die so genannte ![[]](/images/popup.gif) Dold-Kan-Korrespondenz. Wenn du also eine Zusatzaufgabe brauchst, könntest du zeigen, dass dieses $K$ einen Funktor [mm] $\mathbf{Ab}^{\Delta^{\operatorname{op}}}\longrightarrow\mathbf{Ch}_+(\mathbf{Ab})$ [/mm] definiert 
> Vielen Dank.
> Liebe Grüße vom Richard.
Liebe Grüße vom
UniversellenObjekt
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Hallo universiellesObjekt,
mal wieder Danke für deine Antwort.
> Hi Richie,
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> solange es nur um Algebra und Kategorientheorie und nicht
> um Topologie geht, kann ich zum Glück noch mein Senf
> dazugeben
Da bin ich ja froh!
>
> > Sei [mm]F:\Delta^{op}\to{Ab}[/mm] eine simpliziale abelsche Gruppe.
> > Zeigen Sie, F definiert einen Komplex K(F) mit
> >
> > [mm]K(F)_n=\begin{cases} F([n]), & \mbox{für } n\ge0 \\ 0, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
>
> >
> > und den Randabbildungen
> >
> > [mm]\delta_n:K(F)_n\to{K(F)_{n-1}}, x\mapsto\sum_{j=0}^{n}(-1)^jF(\epsilon_n^j)(x)[/mm]
>
> >
> > Hallo ihr Algebraiker,
> >
> > obige Aufgabe gilt es für mich zu lösen und so wollte ich
> > zunächst Rücksprache nehmen:
> >
> > Meiner Meinung nach ist lediglich zu zeigen, dass
> > [mm]\delta_{n-1}\circ\delta_n=0[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt.
>
> Zunächst einmal ist hier das [mm]\IN[/mm] natürlich durch ein [mm]\IZ[/mm]
> zu ersetzen. Edit: Ok, in diesem Fall genügt natürlich
> [mm]\IN[/mm], da das für negative Zahlen hier ziemlich trivial
> ist^^
Ahjo, genau. Für negative ganze Zahlen ist die Summe Null und somit ist die Bedingung ja logischerweise erfüllt.
Schauen wir also nun einmal die natürlichen Zahlen an:
[mm] \delta_{n-1}\circ\delta_n(x)=\sum_{j=0}^{n-1}(-1)^jF(\epsilon_{n-1}^j)\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^jF(\epsilon_n^j)\right)
[/mm]
Nun weiß ich nicht so genau, inwieweit ist hier umformen darf.
Daher noch einmal eine Rückfrage:
Was genau ist solch ein [mm] \epsilon [/mm] ? Sind die Strukturen hier linear, sodass ich die Summe aus dem Argument herausziehen kann?
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> > Ist das soweit korrekt? Oder muss noch mehr gezeigt
> > werden?
>
> Wenn es für dich nicht offensichtlich ist, musst du dir
> natürlich noch klarmachen, dass die [mm]\delta_n[/mm] tatsächlich
> Homomorphismen abelscher Gruppen sind.
Ok, darüber könnte ich mir dann nochmal Gedanken machen.
>
> > Über kurze (oder auch längere) Antwort freue ich mich.
>
> Übrigens handelt es sich hier um die so genannte
> Dold-Kan-Korrespondenz.
> Wenn du also eine Zusatzaufgabe brauchst, könntest du
> zeigen, dass dieses [mm]K[/mm] einen Funktor
> [mm]\mathbf{Ab}^{\Delta^{\operatorname{op}}}\longrightarrow\mathbf{Ch}_+(\mathbf{Ab})[/mm]
> definiert
Haha, ähm, lass mal lieber ;) Das endet nur im Chaos
>
> > Vielen Dank.
> > Liebe Grüße vom Richard.
>
> Liebe Grüße vom
> UniversellenObjekt
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> Ahjo, genau. Für negative ganze Zahlen ist die Summe Null
> und somit ist die Bedingung ja logischerweise erfüllt.
>
> Schauen wir also nun einmal die natürlichen Zahlen an:
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> [mm]\delta_{n-1}\circ\delta_n(x)=\sum_{j=0}^{n-1}(-1)^jF(\epsilon_{n-1}^j)\left(\sum_{j=0}^{n}(-1)^jF(\epsilon_n^j)\right)[/mm]
Auf alle Fälle fehlt hier noch ein $x$ in der inneren Summe, aber das ist vermutlich klar.
> Nun weiß ich nicht so genau, inwieweit ist hier umformen
> darf.
> Daher noch einmal eine Rückfrage:
>
> Was genau ist solch ein [mm]\epsilon[/mm] ? Sind die Strukturen hier
> linear, sodass ich die Summe aus dem Argument herausziehen
> kann?
Diese Bezeichnung ist mir leider nicht bekannt. Ich würde jedoch vermuten, dass [mm] $\varepsilon_n^j$ [/mm] die eindeutig bestimmte streng wachsende Funktion [mm] $[n-1]\xrightarrow{\ \varepsilon_n^j\ }[n]$ [/mm] mit [mm] $j\notin\operatorname{im}\varepsilon_n^j$ [/mm] ist. Dann ist [mm] $F\varepsilon_n^j$ [/mm] das Bild [mm] $F[n]\xrightarrow{F\varepsilon_n^j}F[n-1]$ [/mm] unter dem Funktor $F$.
Siehe auch hier den Abschnitt "Face and degeneracy maps". Ich kann mir allerdings nicht vorstellen, dass ihr das nicht irgendwo eingeführt habt und du solltest prüfen, ob sich das wirklich mit deinen Vorlesungsnotizen deckt.
[mm] $F\varepsilon_n^j$ [/mm] wäre somit per Definition für jedes $j$ ein Homomorphismus abelscher Gruppen [mm] $F[n]\longrightarrow [/mm] F[n-1]$. Bekanntermaßen bildet auch [mm] $\operatorname{Hom}_\mathbf{Ab}(F[n],F[n-1])$ [/mm] eine abelsche Gruppe mit komponentenweiser Addition/Subtraktion und somit ist [mm] $\delta_n$ [/mm] als Summe von Homomorphismen [mm] $F[n]\longrightarrow [/mm] F[n-1]$ selbst ein Homomorphismus, womit dieser Punkt abgehakt wäre.
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> > > Ist das soweit korrekt? Oder muss noch mehr gezeigt
> > > werden?
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> > Wenn es für dich nicht offensichtlich ist, musst du dir
> > natürlich noch klarmachen, dass die [mm]\delta_n[/mm] tatsächlich
> > Homomorphismen abelscher Gruppen sind.
>
> Ok, darüber könnte ich mir dann nochmal Gedanken machen.
S.o.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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