Komplex differenzierbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | Sei
[mm] $f:\IC\rightarrow\IC$ [/mm] mit [mm] $f(z)=\begin{cases}\left|z\right|^{-2}\cdot\mathrm{Im}(z^2) &\text{, }z\neq 0\\ 0 &\text{, }z=0\end{cases}$
[/mm]
(1): Betrachte die Cauchy-Riemannschen DGL'en im Punkt $z=0$.
(2): Ist die Funktion im Punkt 0 komplex differenzierbar? |
Hallo an alle,
irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht ganz klar. Die Cauchy-Riemannschen DGL'en sollten im Punkt $z=0$ erfüllt sein, richtig? Aber was ist die Antwort auf Frage (2)?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Mo 13.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei u:= Re(f) und v:= Im(f)
Dann ist u(x,y) = 0
und v(x,y) = [mm] \bruch{2xy}{x^2+y^2} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0), v(0,0) = 0
Jetzt siehst Du leicht, dass in (0,0) die Cauchy-Riemannschen DGL erfüllt sind.
f ist in z=0 nicht komplex differenzierbar, da v in (0,0) nicht reell dif.-bar ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Fred,
> Sei u:= Re(f) und v:= Im(f)
>
> Dann ist u(x,y) = 0
>
>
> und v(x,y) = [mm]\bruch{2xy}{x^2+y^2}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0),
> v(0,0) = 0
Ist das richtig so? Denn mit u:= Re(f) und v:= Im(f) gilt doch v(x,y)=0 und
[mm] $u(x,y)=\begin{cases}\frac{2xy}{x^2+y^2} &\text{, }(x,y)\neq(0,0)\\0 &\text{, }(x,y)=(0,0)\end{cases}$
[/mm]
D.h. die Imaginärteilfunktion ist konstant 0.
> Jetzt siehst Du leicht, dass in (0,0) die
> Cauchy-Riemannschen DGL erfüllt sind.
Da bin ich mit Dir einer Meinung.
> f ist in z=0 nicht komplex differenzierbar, da v in (0,0)
> nicht reell dif.-bar ist.
Das war auch meine Vermutung. Aber jetzt eine ganz blöde Frage: Wie zeige ich das nochmal?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mo 13.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast recht, ich habe versehentlich u und v vertauscht
u ist in (0,0) nicht einmall stetig !!!
Betrachte für x>0 mal die Funktionen
h(x) = u(x,0) und g(x) = u(x,x)
Was treiben die für x [mm] \to [/mm] 0?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Du hast recht, ich habe versehentlich u und v vertauscht
> u ist in (0,0) nicht einmall stetig !!!
>
> Betrachte für x>0 mal die Funktionen
>
> h(x) = u(x,0) und g(x) = u(x,x)
>
> Was treiben die für x [mm]\to[/mm] 0?
[mm] $\lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}u(x,x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{2x^2}=\lim_{x\to 0}1=1$
[/mm]
[mm] $\lim_{x\to 0}h(x)=\lim_{x\to 0}u(x,0)=\lim_{x\to 0}\frac{0}{x^2}=\lim_{x\to 0}0=0$
[/mm]
Damit ist der Grenzwert nicht eindeutig und existiert daher nicht. Daraus folgt, dass $u$ im Punkt $(0,0)$ nicht stetig ist, also insbesondere nicht reell differenzierbar. Ist das richtig so?
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Du hast recht, ich habe versehentlich u und v vertauscht
>
> > u ist in (0,0) nicht einmall stetig !!!
> >
> > Betrachte für x>0 mal die Funktionen
> >
> > h(x) = u(x,0) und g(x) = u(x,x)
> >
> > Was treiben die für x [mm]\to[/mm] 0?
>
> [mm]\lim_{x\to 0}g(x)=\lim_{x\to 0}u(x,x)=\lim_{x\to 0}\frac{2x^2}{2x^2}=\lim_{x\to 0}1=1[/mm]
>
> [mm]\lim_{x\to 0}h(x)=\lim_{x\to 0}u(x,0)=\lim_{x\to 0}\frac{0}{x^2}=\lim_{x\to 0}0=0[/mm]
>
> Damit ist der Grenzwert nicht eindeutig und existiert daher
> nicht. Daraus folgt, dass [mm]u[/mm] im Punkt [mm](0,0)[/mm] nicht stetig
> ist, also insbesondere nicht reell differenzierbar. Ist das
> richtig so?
>
Genau so ist es !
FRED
> Danke und Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 28.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Sorry, ich muss doch noch einmal fragen.
Was kann ich denn nun ueber die Cauchy-Riemannschen DGL'en im Nullpunkt aussagen? Da die Funktion $u$ in $(0,0)$ nicht stetig ist, folgt, dass sie dort auch nicht differenzierbar ist. Damit sind die Cauchy-Riemannschen-DGL'en dort nicht definiert, oder vertue ich mich?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Mi 29.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir haben:
1. Die Funktionen u und v sind überall partiell differenzierbar
2. Die Cauchy-Riemannschen DGLen sind in (0,0) erfüllt
3. u ist in (0,0) nicht stetig, also dort nicht (total) differebnzierbar.
Wegen 3. ist f in z=0 nicht komplex differenzierbar
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Danke, das hat mir nun auch die letzten Wissensluecken geschlossen.
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