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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
| Aufgabe | Man berechne die Potenzen UND stelle z sowohl in kartesischen Koordinaten als auch in Polarkoordinaten dar.:
a)
[mm] z^6 [/mm] = 2 ( cos 7/4 [mm] \pi [/mm] + i sin 7/4 [mm] \pi [/mm] )
b)
[mm] z^4 [/mm] = - [mm] \wurzel{3} [/mm] + i
[mm] z^3 [/mm] = e [mm] ^{i\pi/3}
[/mm]
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hallo
kann mir jemand hilfe leisten, ich komme bei den aufgaben echt nicht weiter
a)
[mm] z^6 [/mm] = 2 ( cos 7/4 [mm] \pi [/mm] + i sin 7/4 [mm] \pi [/mm] )
wie man sieht ist : arg (z) = 7/4 [mm] \pi [/mm] = [mm] \alpha [/mm] und r = 2
wende folgende formel an :
[mm] z^{n} [/mm] = [mm] r^{n} [/mm] [ cos (n * [mm] \alpha [/mm] ) + i sin ( n * [mm] \alpha) [/mm] ]
also
[mm] z^6 [/mm] = [mm] 2^6 [/mm] [( cos (6 * 7/4 [mm] \pi) [/mm] + i sin (6 * 7/4 [mm] \pi [/mm] )]
wie bringt man diese gleichung nun auf die form z = a + i * b
b)
[mm] z^4 [/mm] = - [mm] \wurzel{3} [/mm] + i
r ist ja klar: r= [mm] \wurzel{3 + 1} [/mm] = 2
und zu [mm] \alpha [/mm] : ( arctan !ist Frormel aus WIKIPEDIA liefert ) arctan [mm] \alpha= [/mm] arg (z) = arctan 1/ - [mm] \wurzel{3} [/mm] + [mm] \pi [/mm]
das Problem ist nun wie komme diesem krassem Ausdruck auf [mm] \alpha [/mm] , damit ich das ZB in die formel packen könnte?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 18.02.2009 | | Autor: | abakus |
> Man berechne die Potenzen UND stelle z sowohl in
> kartesischen Koordinaten als auch in Polarkoordinaten
> dar.:
>
> a)
> [mm]z^6[/mm] = 2 ( cos 7/4 [mm]\pi[/mm] + i sin 7/4 [mm]\pi[/mm] )
>
> b)
> [mm]z^4[/mm] = - [mm]\wurzel{3}[/mm] + i
>
> [mm]z^3[/mm] = e [mm]^{i\pi/3}[/mm]
>
>
>
>
> hallo
> kann mir jemand hilfe leisten, ich komme bei den aufgaben
> echt nicht weiter
> a)
>
> [mm]z^6[/mm] = 2 ( cos 7/4 [mm]\pi[/mm] + i sin 7/4 [mm]\pi[/mm] )
> wie man sieht ist : arg (z) = 7/4 [mm]\pi[/mm] = [mm]\alpha[/mm] und r =
> 2
>
> wende folgende formel an :
> [mm]z^{n}[/mm] = [mm]r^{n}[/mm] [ cos (n * [mm]\alpha[/mm] ) + i sin ( n * [mm]\alpha)[/mm] ]
>
> also
>
> [mm]z^6[/mm] = [mm]2^6[/mm] [( cos (6 * 7/4 [mm]\pi)[/mm] + i sin (6 * 7/4 [mm]\pi[/mm] )]
Nein. Aus [mm]z^6[/mm] = 2 ( cos 7/4 [mm]\pi[/mm] + i sin 7/4 [mm]\pi[/mm] folgt
[mm] z^6=\wurzel[6]{2}^6(cos 6*\bruch{7\pi}{24}+i [/mm] sin [mm] 6*\bruch{7\pi}{24})
[/mm]
Eine Lösung für z ist damit [mm] z=\wurzel[6]{2}(cos \bruch{7\pi}{24}+i [/mm] sin [mm] \bruch{7\pi}{24}),
[/mm]
bei den übrigen Lösungen muss zum Argument jeweils [mm] \bruch{2\pi}{6} [/mm] addiert werden (siehe Formel von Moivre).
Gruß Abakus
>
> wie bringt man diese gleichung nun auf die form z = a + i *
> b
>
> b)
> [mm]z^4[/mm] = - [mm]\wurzel{3}[/mm] + i
>
> r ist ja klar: r= [mm]\wurzel{3 + 1}[/mm] = 2
> und zu [mm]\alpha[/mm] : ( arctan !ist Frormel aus WIKIPEDIA liefert
> ) arctan [mm]\alpha=[/mm] arg (z) = arctan 1/ - [mm]\wurzel{3}[/mm] +
> [mm]\pi[/mm]
>
> das Problem ist nun wie komme diesem krassem Ausdruck auf
> [mm]\alpha[/mm] , damit ich das ZB in die formel packen könnte?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
Moivre-Formel
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $
$ [mm] z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n\cdot{}\left[\cos\left(n\cdot{}\varphi\right)+i\cdot{}\sin\left(n\cdot{}\varphi\right)\right] [/mm] $
mh versteh ich nicht sehr komplex das ganze , woher weiss man den welche formel benutzt werden muss und ausserdem du hast ja die erste Formel benutzt und diese [mm] 2\pi [/mm] / 6 da nicht hinzuaddiert wieso das denn ? das ist alles nicht sehr aufschlussreich
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
mit der Formel nach Moivre-Laplace kannst du die erste Aufgabe folgendermaßen lösen:
> Moivre-Formel
>
> [mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right][/mm]
Links stand bei dir [mm] z^6 [/mm] - also muss nun nach obiger Formel:
[mm] \wurzel[6]{z^6}=z [/mm] stehen.
Rechts stand: [mm] \red{2}*\left[\cos\left(\blue{\bruch{7*\pi}{4}}\right)+i*\sin\left(\blue{\bruch{7*\pi}{4}}\right)\right]
[/mm]
Damit hast du schon [mm] \red{r}=2 [/mm] und [mm] \blue{\varphi}=\bruch{7*\pi}{4}
[/mm]
Das alles ergibt mit obiger Formel:
[mm] z=\wurzel[6]{2}*\left[\cos\left(\bruch{7*\pi}{4*6}+\bruch{k*2\pi}{6}\right)+i*\sin\left(\bruch{7*\pi}{4*6}+\bruch{k*2\pi}{6}\right)\right]
[/mm]
oder auf den gemeinsamen Nenner gebracht:
[mm] z=\wurzel[6]{2}*\left[\cos\left(\bruch{7*\pi+k*12\pi}{24}\right)+i*\sin\left(\bruch{7*\pi+k*12\pi}{24}\right)\right]
[/mm]
Nun fehlt dir ja nur noch das k. Der Hauptwert ergibt sich für k=0 (das ist deine erste Wurzel). Fehlen noch die anderen fünf - die erhältst du für k=1 ... k=5.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
das ist echt aufwendig. angenommen man soll nur DIE potenz ausrechnen also [mm] z^6 [/mm] und dann das Ergebniss in die fomr z= a+ib bringen . soll man dann k= 0 nehmen und das ergebniss umformen auf z= a+ib ?
werde gleich mal die ganzen potenzen nachrechnen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Armada!
Wenn ein $z \ = \ ...$ gegeben ist, und Du [mm] $z^6$ [/mm] berechnen sollst, musst Du folgende Formel ( Moivre-Formel) verwenden:
[mm] $$z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi)+i*\sin(n*\varphi)\right]$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
ja aber grade wurde erläutert das es auch mit dieser form der Formel geht:
ext $ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $
oder seh ich grad schwarz ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> ja aber grade wurde erläutert das es auch mit dieser form
> der Formel geht:
>
>
>
> ext [mm] \wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right][/mm]
>
> oder seh ich grad schwarz ?
Für deine Aufgaben brauchst du diese Formel!
Loddar sagte, dass wenn ein z gegeben ist und du brauchst [mm] z^n, [/mm] dann greift die Formel: [mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] r^n\cdot{}\left[\cos\left(n\cdot{}\varphi\right)+i\cdot{}\sin\left(n\cdot{}\varphi\right)\right]$
[/mm]
Bei dir ist aber [mm] z^n [/mm] gegeben und du brauchst z. Also genau andersherum und dafür nimmt man diese Formel: $ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $
Nun klar?
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
jawohl, leuchtet nun etwas mehr ein
bei aufgabe jedoch bin ich kurz davor am Rad zu drehn da ich auf teufel komm raus nicht auf [mm] \alpha [/mm] komme. wie lässt sich dieser am besten ermitteln ?
[mm] z^{4} [/mm] = - [mm] \wurzel{3} [/mm] + i
danke im vorraus
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> jawohl, leuchtet nun etwas mehr ein
>
>
> bei aufgabe jedoch bin ich kurz davor am Rad zu drehn da
> ich auf teufel komm raus nicht auf [mm]\alpha[/mm] komme. wie
> lässt sich dieser am besten ermitteln ?
> [mm]z^{4}[/mm] = - [mm]\wurzel{3}[/mm] + i
> danke im vorraus
Um dies zu durchschauen, empfehle ich dir,
den Punkt w für die Zahl [mm] w=z^4=-\wurzel{3}+i [/mm] in
der komplexen Ebene einzuzeichnen. Überlege
dir trigonometrisch, welcher Polarwinkel zu
diesem Punkt gehört.
Wenn du den durch 4 teilst, hast du den Polar-
winkel einer ersten Lösung [mm] z_1 [/mm] der 4 Lösungen
[mm] z_k [/mm] der Gleichung [mm] z^4=w.
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
Um dies zu durchschauen, empfehle ich dir,
den Punkt w für die Zahl $ [mm] w=z^4=-\wurzel{3}+i [/mm] $ in
der komplexen Ebene einzuzeichnen. Überlege
dir trigonometrisch, welcher Polarwinkel zu
diesem Punkt gehört.
Wenn du den durch 4 teilst, hast du den Polar-
winkel einer ersten Lösung $ [mm] z_1 [/mm] $ der 4 Lösungen
$ [mm] z_k [/mm] $ der Gleichung $ [mm] z^4=w. [/mm] $
LG
der Winkel müsste im 2 Quadranten liegen bzw. der Punkt w
da ja Re = [mm] -\wurzel{3} [/mm] und Im = +1 *i ist. also müsste der winkel zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] / 2 liegen oder ?. jedoch sagt mir das nichts konkret, da ich keinen konkreten wert dadurch bekomme mit dem ich dann rechnen kann
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
der Winkel müsste im 2 Quadranten liegen bzw. der Punkt w
da ja Re = [mm] -\wurzel{3} [/mm] und Im = +1 *i ist. also müsste der winkel zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] / 2 liegen oder ?. jedoch sagt mir das nichts konkret, da ich keinen konkreten wert dadurch bekomme mit dem ich dann rechnen kann
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> der Winkel müsste im 2 Quadranten liegen bzw. der Punkt w
> da ja Re = [mm]-\wurzel{3}[/mm] und Im = +1 *i ist.
Der Imaginärteil von w ist die reelle Zahl +1 !
> also müsste der winkel zwischen [mm]\pi[/mm] und [mm]\pi[/mm] / 2 liegen oder
> ?. jedoch sagt mir das nichts konkret, da ich keinen
> konkreten wert dadurch bekomme mit dem ich dann rechnen
> kann
Falls dir zum Beispiel die Definition
[mm] Tangens=\bruch{Gegenkathete}{Ankathete}
[/mm]
nicht fremd sein sollte, kannst du die doch auf
ein geeignet gewähltes rechtwinkliges Dreieck
anwenden ...
Auch wenn du bei den komplexen Zahlen die
Gleichung
[mm] z=x+i*y=|z|*(cos(\varphi)+i*sin(\varphi))
[/mm]
benützt, solltest du dir klar machen, was dies
ganz konkret trigonometrisch bedeutet. Das
sind doch nicht bloss irgendwelche Formeln,
mit denen man blindlings herumjonglieren
sollte.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Mi 18.02.2009 | | Autor: | Armada86 |
danke ich habs nun endlich begriffen
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> danke ich habs nun endlich begriffen
das ist schön ! ![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
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[mm]\wurzel[n]{z} \ = \ \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right][/mm]
Eigentlich ist diese Formel nicht ganz stubenrein,
ganz analog wie die "Gleichung"
[mm] $\huge{\wurzel{4}=\pm 2}$
[/mm]
Siehe Wurzel : Wurzeln im Komplexen
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:42 Do 19.02.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Al,
ich habe nun "lange" bezüglich deines Hinweises philosophiert, kann mir aber keinen Reim drauf machen - was genau stört dich. Wenn ich dich recht verstehe, dann geht es dir um r - das ist aber immer positiv! Meintest du das?
Lg
Herby
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> Hallo Al,
>
> ich habe nun "lange" bezüglich deines Hinweises
> philosophiert, kann mir aber keinen Reim drauf machen - was
> genau stört dich. Wenn ich dich recht verstehe, dann geht
> es dir um r - das ist aber immer positiv! Meintest du das?
nein, um das r geht's nicht
> Lg
> Herby
Hallo Herby,
ich hoffe, dass du diesen Hinweis nicht als Kritik an deinem
Beitrag aufgefasst hast. Eigentlich nahm ich damit Bezug
auf frühere Diskussionen zum Wurzelbegriff. Zum Beispiel:
https://matheraum.de/read?i=443161
Ich weiß sehr wohl, dass diese Formel
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $
noch in vielen Büchern zu finden ist. Wenn man die Bedeu-
tung des Gleichheitszeichens ernst nimmt und für k belie-
bige ganze Zahlen zulässt (bzw. die Werte 1, 2, .... , n),
so kann man nicht mehr von einer Wurzel-Funktion
sprechen, welche eindeutig sein müsste.
Studierende, denen in der Schule eingebleut (oder heisst
das jetzt "eingebläut" ? ... aber körperliche Gewaltanwendung
war ja in Schulen schon vor den Rechtschreibreformen tabu  )
wurde, dass die Schreibweise [mm] \wurzel{4}=\pm [/mm] 2 falsch ist, sollten
eigentlich vehement reklamieren, wenn man ihnen dann an der
Uni weismachen will , dass genau eine solche Doppel- oder
Mehrdeutigkeit dann bei den komplexen Zahlen wieder richtig
sein soll.
Doch vielleicht ist es ja sogar in Mathe ebenso illusorisch wie
in der Rächtschreibung (*), zu einer einheitlichen Regelung zu
kommen
(*) "Recht" kommt doch eigentlich von "Rache" - oder nicht ?
LG Al
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