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| Aufgabe | Aufgabe:
Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächst wird er mit Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch
z(x)= [mm] (x²-10x+24)e^{0,5x}. [/mm]
Dabei wird x in Tagen und z(x) in tausend Kubikmeter pro Tag angegeben. Betrachtet wird das Intervall [0;6,5], d.h.: 0 ≤ x ≤ 6,5.
Hinweis: Eine negative Zulaufrate bedeutet, dass Wasser adem Stausee herausläuft.
1. Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder ein- noch abfließt. Geben Sie die Zeitintervalle an, in denen Wasser zu- bzw. abläuft.
2. Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal ist.
3. Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 möglich sind.
4. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert.
5. In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt x = 0 befinden sich bereits 5000 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der Bakterien ist gegeben durch . Dabei wird x wieder in Tagen angegeben und w(x) in 10.000 Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach 3 Tagen. |
Hey,
ich muss leider sagen, dass ich mit dieser Aufgabe völlig überfordert bin.
Habe zwar schon mal die Ableitungen gebildet bzw. es versucht, weil man die ja meistens benötigt.
z ´(x)= [mm] (0,5x²-3x+2)e^{0,5x}
[/mm]
z ´´(x)= [mm] (0,25x²-0,5x-2)e^{0,5x}
[/mm]
z ´´´(x)= [mm] (0,125x²+0,25x-1,5)e^{0,5x}
[/mm]
Bei der Teilaufgabe 2. hatte ich an eine Extremwert Berechnung gedacht, aber ne Freundin meinte, das ginge nicht.
Und bei allen anderen Teilaufgaben habe ich leider nicht den blassesten Schimmer, wobei ich schon einiges ausprobiert habe, was leider nichts gebracht hat.
Kann mir einer von euch vielleicht für Blöde erklären, was ich da so rechnen muss?
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mi 16.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aufgabe:
> Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächst wird er mit
> Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch
> z(x)= [mm](x²-10x+24)e^{0,5x}.[/mm]
> Dabei wird x in Tagen und z(x) in tausend Kubikmeter pro
> Tag angegeben. Betrachtet wird das Intervall [0;6,5], d.h.:
> 0 ≤ x ≤ 6,5.
> Hinweis: Eine negative Zulaufrate bedeutet, dass Wasser
> adem Stausee herausläuft.
>
> 1. Berechnen Sie die Zeitpunkte, zu denen das Wasser weder
> ein- noch abfließt. Geben Sie die Zeitintervalle an, in
> denen Wasser zu- bzw. abläuft.
z(x) gibt ja die Zulaufrate an. Es soll kein Wasser aus und zufliessen. Das heisst, z(x)=0
>
> 2. Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im
> betrachteten Intervall maximal ist.
>
Hier suchst du den Hochpunkt von z(x)
> 3. Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der
> Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 möglich sind.
Du kannst z.B. Etwas über darüber sagen, ob Wasser zu- oder abläuft.
>
> 4. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate
> am stärksten ändert.
z'(x) gibt ja die Änderung der Zulaufrate an. Diese soll maximal werden, also suchst du den Hochpunkt von z'(x), was nicht anderes als der Wendepunkt von z(x) ist.
> 5. In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte
> eingelagert. Zum Zeitpunkt x = 0 befinden sich bereits 5000
> Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der
> Bakterien ist gegeben durch . Dabei wird x wieder in Tagen
> angegeben und w(x) in 10.000 Bakterien pro Tag. Ermitteln
> Sie die Anzahl der Bakterien nach 3 Tagen.
Hast du w(x) gegeben? Wenn nicht, musst du diese Funktion aufstellen.
Ich gehe mal davon aus, dass w(x) eine Funktion der Form [mm] w(x)=a*b^{x} [/mm] ist, somit bräuchtest du zwei Bedingungen, um w(x) zu ermitteln.
Eine kann ich deinen Angaben entnehmen, w(0)=5000, die zweite fehlt.
> Hey,
> ich muss leider sagen, dass ich mit dieser Aufgabe völlig
> überfordert bin.
> Habe zwar schon mal die Ableitungen gebildet bzw. es
> versucht, weil man die ja meistens benötigt.
>
> z ´(x)= [mm](0,5x²-3x+2)e^{0,5x}[/mm]
> z ´´(x)= [mm](0,25x²-0,5x-2)e^{0,5x}[/mm]
> z ´´´(x)= [mm](0,125x²+0,25x-1,5)e^{0,5x}[/mm]
>
Das ist meistens hilfreich.
Mit meinen Hinweisen versuch dich mal an der Aufgabe
Marius
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Also ich habe die Aufgabe jetzt mal versucht zu lösen, weiß nicht ob sie richtig ist und habe noch ein paar Fragen.
zu1. Meinst du mit z(x)=0 das ich die Nullstelle berechnen muss?
zu2. notw. Bed.:z ´(x)= 0
[mm] (\bruch{1}{2}x^{2}-3x+2)e^{\bruch{1}{2}x}= [/mm] 0
[mm] \bruch{1}{2}x^{2}-3x+2 [/mm] = 0
x [mm] (\bruch{1}{2}x-3+2) [/mm] =0
x=0 oder [mm] \bruch{1}{2}x-1=0
[/mm]
x=2
hinr. Bed.: z ´(x)= 0 und z ´´ [mm] (x)\not=0
[/mm]
z´´(0)= -2 und z´´(2)= -5,44
Hochpunkte: (0/24) und (2/21,75)
Sind jetzt beide Hochpunkte Lösung der Aufgabe oder welchen muss ich nehmen?
zu3. Ist schon klar, dass ich so eine Aussage treffen muss, aber muss ich das auch irgendwie berechnen? Kann ja keine Aussage ohne Beweis treffen oder?
zu4. notw. Bed.: z´´(x)=0
[mm] (\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2)e^{\bruch{1}{2}x}= [/mm] 0
[mm] \bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2=0
[/mm]
x [mm] (\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{2}-2=0
[/mm]
x=0 oder [mm] \bruch{1}{4}x-2,5=0
[/mm]
[mm] x=\bruch{5}{8}
[/mm]
hinr.Bed.: z´´(x)=0 und [mm] z´´´(x)\not=0
[/mm]
z´´´(0)= -1,5 und [mm] z´´´(\bruch{5}{8})=-1,77
[/mm]
Wendepunkte: (0/24) und [mm] (\bruch{5}{8}/24,8)
[/mm]
Wie kann einWendepunkt auch ein Hochpunkt sein? Oder habe ich was falsch gerechnet?
zu5. Die Funktion w(x) ist angegeben. w(x)= [mm] x^3-12x^2+35x
[/mm]
Was muss ich denn bei der Aufgabe machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Do 17.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also ich habe die Aufgabe jetzt mal versucht zu lösen, weiß
> nicht ob sie richtig ist und habe noch ein paar Fragen.
>
> zu1. Meinst du mit z(x)=0 das ich die Nullstelle berechnen
> muss?
Yep
>
> zu2. notw. Bed.:z ´(x)= 0
> [mm](\bruch{1}{2}x^{2}-3x+2)e^{\bruch{1}{2}x}=[/mm] 0
> [mm]\bruch{1}{2}x^{2}-3x+2[/mm] = 0
Bis hierher okay, aber du kannst hier nicht ausklammern. Du musst dierekt auf de  p-q-Formel zurückgreifen
> x [mm](\bruch{1}{2}x-3+2)[/mm] =0
> x=0 oder [mm]\bruch{1}{2}x-1=0[/mm]
> x=2
>
> hinr. Bed.: z ´(x)= 0 und z ´´ [mm](x)\not=0[/mm]
> z´´(0)= -2 und z´´(2)= -5,44
>
> Hochpunkte: (0/24) und (2/21,75)
> Sind jetzt beide Hochpunkte Lösung der Aufgabe oder
> welchen muss ich nehmen?
Nein, du erhältst nur einen, wenn du dich nicht verrechnet hättest.
>
> zu3. Ist schon klar, dass ich so eine Aussage treffen muss,
> aber muss ich das auch irgendwie berechnen? Kann ja keine
> Aussage ohne Beweis treffen oder?
Klar. Am besten berechne mal f(5), f'(5) und f''(5) und überlege, was dir die Werte dann sagen
>
> zu4. notw. Bed.: z´´(x)=0
>
> [mm](\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2)e^{\bruch{1}{2}x}=[/mm] 0
> [mm]\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2=0[/mm]
> x [mm](\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{2}-2=0[/mm]
Hier machst du denselben Fehler wie oben.
Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt (ein Produkt ist dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist) kannst du nur, wenn du kein Absolutglied, also keinen Term ohne x hast.
> x=0 oder [mm]\bruch{1}{4}x-2,5=0[/mm]
> [mm]x=\bruch{5}{8}[/mm]
>
> hinr.Bed.: z´´(x)=0 und [mm]z´´´(x)\not=0[/mm]
> z´´´(0)= -1,5 und [mm]z´´´(\bruch{5}{8})=-1,77[/mm]
>
> Wendepunkte: (0/24) und [mm](\bruch{5}{8}/24,8)[/mm]
> Wie kann einWendepunkt auch ein Hochpunkt sein? Oder habe
> ich was falsch gerechnet?
Yep, hast du
>
> zu5. Die Funktion w(x) ist angegeben. w(x)= [mm]x^3-12x^2+35x[/mm]
> Was muss ich denn bei der Aufgabe machen?
Die Anzahl der Bakterien am Tag n, nennen wir sie A(n) kannst du mit dem Integral berechnen.
[mm] A(n)=\integral_{0}^{n}w(x)dx
[/mm]
Also hier: n=3
Marius
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Hallo, ich habe jetzt nochmal alles berechnet und bin optimistisch, dass es richtig ist *freu*
> > zu1. Meinst du mit z(x)=0 das ich die Nullstelle berechnen
> > muss?
>
> Yep
Also ich habe da jetzt n1(6/0) und n2 (4/0) raus.
> >
> > zu2. notw. Bed.:z ´(x)= 0
> > [mm](\bruch{1}{2}x^{2}-3x+2)e^{\bruch{1}{2}x}=[/mm] 0
> > [mm]\bruch{1}{2}x^{2}-3x+2[/mm] = 0
>
> Bis hierher okay, aber du kannst hier nicht ausklammern. Du
> musst dierekt auf de p-q-Formel zurückgreifen
>
> > x [mm](\bruch{1}{2}x-3+2)[/mm] =0
> > x=0 oder [mm]\bruch{1}{2}x-1=0[/mm]
> > x=2
> >
> > hinr. Bed.: z ´(x)= 0 und z ´´ [mm](x)\not=0[/mm]
> > z´´(0)= -2 und z´´(2)= -5,44
> >
> > Hochpunkte: (0/24) und (2/21,75)
> > Sind jetzt beide Hochpunkte Lösung der Aufgabe oder
> > welchen muss ich nehmen?
>
> Nein, du erhältst nur einen, wenn du dich nicht verrechnet
> hättest.
>
Ich habe jetzt nur einen raus *freu* H(1.27/20,31) Hört sich aber irgendwie unwahrscheinlich an!
> >
> > zu3. Ist schon klar, dass ich so eine Aussage treffen muss,
> > aber muss ich das auch irgendwie berechnen? Kann ja keine
> > Aussage ohne Beweis treffen oder?
>
> Klar. Am besten berechne mal f(5), f'(5) und f''(5) und
> überlege, was dir die Werte dann sagen
>
Habe da f(5)= -12,18 f'(5)=21,32 und f''(5)= 35,05 raus. Heißt das, dass das wasser erst abläuft und dann wieder mehr wasser einfließt ? (wegen -/+ Vorzeichenwechsel)
> >
> > zu4. notw. Bed.: z´´(x)=0
> >
> > [mm](\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2)e^{\bruch{1}{2}x}=[/mm] 0
> > [mm]\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2=0[/mm]
> > x [mm](\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{2}-2=0[/mm]
>
> Hier machst du denselben Fehler wie oben.
>
> Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt (ein Produkt ist
> dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist) kannst
> du nur, wenn du kein Absolutglied, also keinen Term ohne x
> hast.
>
> > x=0 oder [mm]\bruch{1}{4}x-2,5=0[/mm]
> > [mm]x=\bruch{5}{8}[/mm]
> >
> > hinr.Bed.: z´´(x)=0 und [mm]z´´´(x)\not=0[/mm]
> > z´´´(0)= -1,5 und [mm]z´´´(\bruch{5}{8})=-1,77[/mm]
> >
> > Wendepunkte: (0/24) und [mm](\bruch{5}{8}/24,8)[/mm]
> > Wie kann einWendepunkt auch ein Hochpunkt sein? Oder
> habe
> > ich was falsch gerechnet?
>
> Yep, hast du
>
Jetzt habe ich w(2/21,75) und w(-4/10,83)
> >
> > zu5. Die Funktion w(x) ist angegeben. w(x)= [mm]x^3-12x^2+35x[/mm]
> > Was muss ich denn bei der Aufgabe machen?
>
> Die Anzahl der Bakterien am Tag n, nennen wir sie A(n)
> kannst du mit dem Integral berechnen.
>
> [mm]A(n)=\integral_{0}^{n}w(x)dx[/mm]
>
> Also hier: n=3
>
Habe das nun auch mal geschafft... Habe auch etwas raus 69,75, aber irgendwie erscheint mir das reichlich wenig!
Sind meine Ergebnisse Richte oder wo stimmt noch etwas nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 Fr 18.01.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo, ich habe jetzt nochmal alles berechnet und bin
> optimistisch, dass es richtig ist *freu*
>
> > > zu1. Meinst du mit z(x)=0 das ich die Nullstelle berechnen
> > > muss?
> >
> > Yep
>
> Also ich habe da jetzt n1(6/0) und n2 (4/0) raus.
>
Korrekt
> > >
> > > zu2. notw. Bed.:z ´(x)= 0
> > > [mm](\bruch{1}{2}x^{2}-3x+2)e^{\bruch{1}{2}x}=[/mm] 0
> > > [mm]\bruch{1}{2}x^{2}-3x+2[/mm] = 0
> >
> > Bis hierher okay, aber du kannst hier nicht ausklammern. Du
> > musst dierekt auf de p-q-Formel zurückgreifen
> >
> > > x [mm](\bruch{1}{2}x-3+2)[/mm] =0
> > > x=0 oder [mm]\bruch{1}{2}x-1=0[/mm]
> > > x=2
> > >
> > > hinr. Bed.: z ´(x)= 0 und z ´´ [mm](x)\not=0[/mm]
> > > z´´(0)= -2 und z´´(2)= -5,44
> > >
> > > Hochpunkte: (0/24) und (2/21,75)
> > > Sind jetzt beide Hochpunkte Lösung der Aufgabe oder
> > > welchen muss ich nehmen?
> >
> > Nein, du erhältst nur einen, wenn du dich nicht verrechnet
> > hättest.
> >
> Ich habe jetzt nur einen raus *freu* H(1.27/20,31) Hört
> sich aber irgendwie unwahrscheinlich an!
>
Fast, der y-Wert ist falsch
> > >
> > > zu3. Ist schon klar, dass ich so eine Aussage treffen muss,
> > > aber muss ich das auch irgendwie berechnen? Kann ja keine
> > > Aussage ohne Beweis treffen oder?
> >
> > Klar. Am besten berechne mal f(5), f'(5) und f''(5) und
> > überlege, was dir die Werte dann sagen
> >
> Habe da f(5)= -12,18 f'(5)=21,32 und f''(5)= 35,05 raus.
> Heißt das, dass das wasser erst abläuft und dann wieder
> mehr wasser einfließt ? (wegen -/+ Vorzeichenwechsel)
Nein. f(5)<0, also fliest Wasser Ab, und zwar relativ schnell f'(5)
>
> > >
> > > zu4. notw. Bed.: z´´(x)=0
> > >
> > > [mm](\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2)e^{\bruch{1}{2}x}=[/mm] 0
> > > [mm]\bruch{1}{4}x^{2}-\bruch{1}{2}x-2=0[/mm]
> > > x [mm](\bruch{1}{4}x-\bruch{1}{2}-2=0[/mm]
> >
> > Hier machst du denselben Fehler wie oben.
> >
> > Ausklammern und den Satz vom Nullprodukt (ein Produkt ist
> > dann gleich Null, wenn einer der Faktoren Null ist) kannst
> > du nur, wenn du kein Absolutglied, also keinen Term ohne x
> > hast.
> >
> > > x=0 oder [mm]\bruch{1}{4}x-2,5=0[/mm]
> > > [mm]x=\bruch{5}{8}[/mm]
> > >
> > > hinr.Bed.: z´´(x)=0 und [mm]z´´´(x)\not=0[/mm]
> > > z´´´(0)= -1,5 und [mm]z´´´(\bruch{5}{8})=-1,77[/mm]
> > >
> > > Wendepunkte: (0/24) und [mm](\bruch{5}{8}/24,8)[/mm]
> > > Wie kann einWendepunkt auch ein Hochpunkt sein? Oder
> > habe
> > > ich was falsch gerechnet?
> >
> > Yep, hast du
> >
> Jetzt habe ich w(2/21,75) und w(-4/10,83)
>
Das passt, ausser die y-Koordinate von W(2/___)
> > >
> > > zu5. Die Funktion w(x) ist angegeben. w(x)= [mm]x^3-12x^2+35x[/mm]
> > > Was muss ich denn bei der Aufgabe machen?
> >
> > Die Anzahl der Bakterien am Tag n, nennen wir sie A(n)
> > kannst du mit dem Integral berechnen.
> >
> > [mm]A(n)=\integral_{0}^{n}w(x)dx[/mm]
> >
> > Also hier: n=3
> >
> Habe das nun auch mal geschafft... Habe auch etwas raus
> 69,75, aber irgendwie erscheint mir das reichlich wenig!
>
Naja, w war in 10.000 Bakterien angegeben, also bedeutet eine Fläche von 69,75 im Endeffekt 69,75*10.000=697.500 Bakterien
> Sind meine Ergebnisse Richte oder wo stimmt noch etwas
> nicht?
>
>
>
[Dateianhang nicht öffentlich]
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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