Komplexe Differenzierbarkeit < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 12.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
| Aufgabe | | Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der Differenzierbarkeit, dass die Funktion [mm] f:\IC\to\IC [/mm] definiert durch f(z)=Re(z) in z=2+3i nicht komplex differenzierbar ist. |
Ich habe es auf 2 Unteschiedliche Wegen versucht:
1. [mm] \limes_{z\rightarrow\ z_0}\bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\limes_{z\rightarrow\ 2+3i}\bruch{Re(z)-f(2+3i)}{z-2+3i}
[/mm]
hier weiß ich dann leider nicht wie ich weiter machen kann, würde am liebsten L'Hospital anwenden, allerdings ist mir nicht ganz klar wie das hier funktioniert.
2. [mm] h:=h_x+ih_y
[/mm]
[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(2+3i+h)-f(2+3i)}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{2+h_x-2}{h_x+ih_y}
[/mm]
Jetzt mach ich eine Fallunterscheidung:
1. [mm] h_x=0, h_y\not=0, h_y\to [/mm] 0:
[mm] \limes_{h_y\rightarrow\ 0}\bruch{0}{ih_y}= [/mm] L'Hospital
[mm] \limes_{h_y\rightarrow\ 0}\bruch{0}{i}=0
[/mm]
2. [mm] h_x\not=0, h_x\to [/mm] 0, [mm] h_y=0:
[/mm]
[mm] \limes_{h_x\rightarrow\ 0}\bruch{2+h_x-2}{h_x}= [/mm] L'Hospital
=1
????
Was folger ich daraus, bzw wo ist der Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Sa 13.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hattet ihr nicht die Cauchy-riemannschen Dgl als Bed. für komplexe Differenzierbarkeit?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:01 Sa 13.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Mit Cauchy Riemann würde es ja so gehn:
f(x,y):=u(x,y)+iv(x,y)
=>f(x,y)=x
[mm] \bruch{\partial u(x)}{\partial x}=1\not=0=\bruch{\partial v(y)}{\partial y}
[/mm]
Jetzt weiß ich also, dass nirgends komplex diff'bar ist.
Ich habe es nur nicht so gemacht, da in der Angabe steht, man soll es mit Hilfe der Definition machen. Ist es dann so dennoch eine Lösung der Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo xtraxtra,
wenn Cauchy-Riemann bei euch zur Bestimmung der Differenzierbarkeit einer komplexen Funktion eingeführt wurde, so ist dies natürlich eine Lösung. Deine Grenzwertbetrachtung geht aber auch.
Viele Grüße,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Sa 13.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mit Hilfe der Definition der
> Differenzierbarkeit, dass die Funktion [mm]f:\IC\to\IC[/mm]
> definiert durch f(z)=Re(z) in z=2+3i nicht komplex
> differenzierbar ist.
> Ich habe es auf 2 Unteschiedliche Wegen versucht:
>
> 1. [mm]\limes_{z\rightarrow\ z_0}\bruch{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\limes_{z\rightarrow\ 2+3i}\bruch{Re(z)-f(2+3i)}{z-2+3i}[/mm]
>
> hier weiß ich dann leider nicht wie ich weiter machen
> kann, würde am liebsten L'Hospital anwenden, allerdings
> ist mir nicht ganz klar wie das hier funktioniert.
>
> 2. [mm]h:=h_x+ih_y[/mm]
> [mm]\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{f(2+3i+h)-f(2+3i)}{h}=\limes_{h\rightarrow\ 0}\bruch{2+h_x-2}{h_x+ih_y}[/mm]
>
> Jetzt mach ich eine Fallunterscheidung:
> 1. [mm]h_x=0, h_y\not=0, h_y\to[/mm] 0:
> [mm]\limes_{h_y\rightarrow\ 0}\bruch{0}{ih_y}=[/mm] L'Hospital
L'Hospital ist doch völlig übertrieben ! Der Ausdruck [mm] \bruch{0}{ih_y} [/mm] ist doch =0, also auch sein Grenzwert.
> [mm]\limes_{h_y\rightarrow\ 0}\bruch{0}{i}=0[/mm]
>
> 2. [mm]h_x\not=0, h_x\to[/mm] 0, [mm]h_y=0:[/mm]
>
> [mm]\limes_{h_x\rightarrow\ 0}\bruch{2+h_x-2}{h_x}=[/mm] L'Hospital
Auch hier ist L'Hospital völlig überflüssig ! Es ist [mm] \bruch{2+h_x-2}{h_x}=1, [/mm] also ist auch der Grenzwert =1.
> =1
> ????
> Was folger ich daraus,
....dass f in 2+3i nicht differenzierbar ist.
> bzw wo ist der Fehler?
Du hast keine Fehler gemacht. Bei den beiden Grenzwerten hast Du allerdings mit Kanonen auf Spatzen geschossen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Sa 13.07.2013 | | Autor: | xtraxtra |
Und warum ist es dann nicht differenzierbar? Die beiden Grenzwerte existieren. Aber müssen diese wohl auch gleich sein für Differenzierbarkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Sa 13.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sollte man wissen ! ja
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Sa 13.07.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Und warum ist es dann nicht differenzierbar? Die beiden
> Grenzwerte existieren. Aber müssen diese wohl auch gleich
> sein für Differenzierbarkeit?
wie Leduart schon sagte: Ja.
Mir stellt sich bei Deiner Frage aber schon die Frage, ob Du Dir über folgende
Sachverhalte generell bewusst bist (ich erwähne nicht alle
Voraussetzungen im Detail; im Folgenden sei [mm] $x_0$ [/mm] Häufungspunkt des
Definitionsbereichs von [mm] $f\,$):
[/mm]
1. Was bedeutet die Existenz von [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x_0 \not=x \to x_0}f(x)$ [/mm] per [mm] $\epsilon$-$\delta$-Definition?
[/mm]
2. Wie lautet eine entsprechende Charakterisierung mit Folgen?
3. Was bedeutet es dann, dass [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$ [/mm] nicht existiert?
4. Wenn es zwei Folgen [mm] ${(x^{(j)}_n)}_n$ [/mm] mit [mm] $x^{(j)}_n \not=x_n \to x_0$ [/mm] so gibt, dass [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x^{(j)}_n)$ [/mm] existieren
($j=1,2$), aber mit [mm] $\lim_{n \to \infty}f(x^{(1)}_n)\not=\lim_{n \to \infty}f(x^{(2)}_n):$ [/mm] Was bedeutet das für [mm] $\lim_{x \to x_0}f(x)$?
[/mm]
5. Gilt in 4. auch die Umkehrung?
Gruß,
Marcel
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