Komplexe Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:09 So 04.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix [mm] A=\pmat{ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 }.
[/mm]
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. |
Hallo,
ich komme mal wieder nicht weiter.
Die Eigenwerte habe ich mit 0, [mm] \bruch{1}{2}+\wurzel{7/4} [/mm] bzw. [mm] \bruch{1}{2}-\wurzel{7/4} [/mm] berechnet und auch den Eigenvektor zum EW 0 bestimmt.
Aber bei den komplexen Zahlen komme ich nicht weiter. Beide Male bekomme ich jeweils nur den Nullvektor raus und das kann ja nicht stimmen. Wie berechnet man komplexe Eigenvektoren?
Danke, Katrin
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Hallo katrin,
eigentlich genau wie im reellen...
schreibe doch mal deine rechnung hier auf, dann werden wir den fehler schon finden.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 So 04.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Alles klar, danke erst mal. Dann schreibe ich mal auf, was ich gemacht habe:
Für den [mm] EW=\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{7}{4}}i:
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] 1 -1 0
0 [mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] -1 0
1 1 [mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] 0
_________________________________________________________
[mm] \bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] 1 -1 0
1 1 [mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] 0 [mm] |Z2*(\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i)-Z1
[/mm]
0 [mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] -1 0
__________________________________________________________
[mm] \bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] 1 -1 0
0 [mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] -11/4 0
0 [mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] -1 0 |Z3-Z2
__________________________________________________________
[mm] \bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] 1 -1 0
0 [mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i [/mm] -11/4 0
0 0 [mm] \bruch{-15}{4} [/mm] 0
Ich hoffe mal, mit dem Formatieren ist nichts schiefgelaufen.
Damit hätte ich doch dann in der letzten Zeile stehen:
[mm] \bruch{-15}{4}*x_{3}=0, [/mm] also ist [mm] x_{3}=0
[/mm]
Dann wäre
[mm] \bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i*x_{2}=0, [/mm] also auch [mm] x_{2}=0 [/mm] und damit letztendlich auch [mm] x_{1}=0. [/mm] Wo liegt denn mein Fehler? Schon im Gleichungssystem oder denke ich am Ende falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 So 04.06.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Katrin,
> Alles klar, danke erst mal. Dann schreibe ich mal auf, was
> ich gemacht habe:
>
> Für den [mm]EW=\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{7}{4}}i:[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] 1 -1
> 0
> 0 [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] -1
> 0
> 1 1 [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm]
> 0
> _________________________________________________________
> [mm]\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] 1 -1
> 0
> 1 1 [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm]
> 0 [mm]|Z2*(\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i)-Z1[/mm]
> 0 [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] -1
> 0
>
> __________________________________________________________
> [mm]\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] 1 -1
> 0
> 0 [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] -11/4
> 0
> 0 [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] -1
> 0 |Z3-Z2
>
An der Stelle hab ich in Zeile 2 Spalte 3 was anderes raus. Es ist doch
[mm] (-\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i)\cdot (+\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i) = (-\bruch{1}{4}-\bruch{7}{4}) = -\bruch{8}{4} = -2[/mm]. Dann kommt noch +1 dazu, weil du ja die erste Zeile abziehst und dann müsste da m.E. -1 stehen. Dann fällt auch die letzte Zeile komplett weg und Du kriegst einen nicht-trivialen Eigenvektor.
> __________________________________________________________
> [mm]\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] 1 -1
> 0
> 0 [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i[/mm] -11/4
> 0
> 0 0 [mm]\bruch{-15}{4}[/mm] 0
>
> Ich hoffe mal, mit dem Formatieren ist nichts
> schiefgelaufen.
> Damit hätte ich doch dann in der letzten Zeile stehen:
> [mm]\bruch{-15}{4}*x_{3}=0,[/mm] also ist [mm]x_{3}=0[/mm]
>
> Dann wäre
> [mm]\bruch{-1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}}i*x_{2}=0,[/mm] also auch
> [mm]x_{2}=0[/mm] und damit letztendlich auch [mm]x_{1}=0.[/mm] Wo liegt denn
> mein Fehler? Schon im Gleichungssystem oder denke ich am
> Ende falsch?
Also lags wohl nur an einem kleinen Rechenfehler im Gleichungssystem, das Prinzip passt schon so!
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Mo 05.06.2006 | | Autor: | Katrin85 |
Hallo nochmal,
schon blöd, wenn man zu doof ist, um 1/2 mal 1/2 zu rechnen... Danke, damit ist der Fehler klar.
Trotzdem bin ich anscheinend zu doof, um irgendwelche grundlegenden Rechenoperationen auszuführen.
Nach dem letzten Schritt habe ich jetzt da stehen, dass ich [mm] x_{3} [/mm] beliebig wähle. D.h. meine nächste Zeile heißt
[mm] (\bruch{-1}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{7}{4}i})x_{2}-x_{3}=0, [/mm] also
[mm] (\bruch{-1}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{7}{4}i})x_{2}=x_{3}
[/mm]
Damit wäre [mm] x_{2}=(1/(\bruch{-1}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{7}{4}i}))x_{3} [/mm] und da bin ich anscheinend zu doof, das auf irgendeine normale Form umzuformen. Kann mir da jemand noch mal rechnerisch unter die Arme greifen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mo 05.06.2006 | | Autor: | piet.t |
> Damit wäre [mm]x_{2}=(1/(\bruch{-1}{2}[/mm] -
> [mm]\wurzel{\bruch{7}{4}i}))x_{3}[/mm] und da bin ich anscheinend zu
> doof, das auf irgendeine normale Form umzuformen. Kann mir
> da jemand noch mal rechnerisch unter die Arme greifen?
>
> Danke!
Was ist irgendeine normale Form? irgendetwas mit x+iy?
Dazu eleminiert man am besten im Nenner alle Imaginären Anteile, indem man mit dem konjugiert komplexen des Nenners erweitert.
Reicht das schon?
Gruß
piet
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Hallo noch mal,
erst mal danke, das hat wirklich weiter geholfen. Nach langem Hin und Her bin ich jetzt auf folgende Lösungen gekommen:
für [mm] \lambda=\bruch{1}{2}+\wurzel{\bruch{7}{4}i}:
[/mm]
[mm] EV=\mu*\vektor{ \bruch{3}{4}+\bruch{1}{4}*\wurzel{7}i \\ \bruch{-1}{4}+\bruch{1}{4}\wurzel{7}i \\ 1}
[/mm]
für [mm] \lambda=\bruch{1}{2}-\wurzel{\bruch{7}{4}i}:
[/mm]
[mm] EV=\mu*\vektor{ \bruch{3}{4}-\bruch{1}{4}*\wurzel{7}i \\ \bruch{-1}{4}-\bruch{1}{4}\wurzel{7}i \\ 1}
[/mm]
Da es anscheinend mit den Formelgrafiken Probleme gibt, noch mal so:
für lamda=1/2+sqrt(7/4)i:
EV=mü*( 3/4+1/4*sqrt(7)i; -1/4+1/4*sqrt(7)i; 1)
für lamda=1/2-sqrt(7/4)i:
EV=mü*( 3/4-1/4*sqrt(7)i; -1/4-1/4*sqrt(7)i; 1)
Kann das stimmen? Bitte, bitte, bitte. Und mein [mm] \mu [/mm] ist dann [mm] \in \IC, [/mm] oder?
Wäre super, wenn das noch mal jemand kontrollieren könnte!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 09.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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