Komplexe Einheitswurzel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien n nat"urliche Zahlen und [mm] k\in\{0,1,...,n-1\}.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f"ur die komplexe Einheitswurzel [mm] \rho=exp(2\pi [/mm] i/n) und eine ganze Zahl j gilt:
[mm] \frac{1}{n}\cdot \sum_{v=0}^{n-1} \rho^{(j-k)v} =\begin{cases}
1,&j=k(\text{ mod } n)\\
0, & \text{sonst }
\end{cases} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Habe folgende Aufgabe als Übung erhalten und verstehe erstmal die folgende Gleichung nicht:
[mm] \frac{1}{n}\cdot \sum_{v=0}^{n-1} \rho^{(j-k)v} =\begin{cases}
1,&j=k(\text{ mod } n)\\
0, & \text{sonst }
\end{cases}
[/mm]
Das hab ich mal gemacht:
[mm] \frac{1}{n}\cdot \sum_{v=0}^{n-1}\exp{\left(\frac{2\pi i}{n}\right)}^{(j-k)v}
[/mm]
und dann an einem Beispiel ausprobiert:
F"ur die zweite Einheitswurzel ergibt sich mit n=2 und [mm] k\in\{0,1\} [/mm] und
[mm] \frac{1}{2}\cdot \sum_{v=0}^{1}exp{\left(\frac{2\pi i}{2}\right)}^{(j-k)v} &=\frac{1}{2}\left(exp{\left(\frac{2\pi i}{2}\right)}^{0}+exp{\left(\frac{2\pi i}{2}\right)} ^{(j-k)}\right)\\
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot\left(1+exp{\left(\pi i\right)} ^{(j-k)}\right)
[/mm]
F"ur die dritte Einheitswurzel ergibt sich mit n=3 und [mm] k\in\{0,1,2\}
[/mm]
[mm] \frac{1}{3}\cdot \sum_{v=0}^{2}exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)}^{(j-k)v} &=\frac{1}{3}\left(exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)} ^{0}+exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)}^{(j-k)}+exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)} ^{2\cdot(j-k)}\right)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{3}\cdot\left(1+exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)}^{(j-k)}+exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)} ^{2\cdot(j-k)}\right)
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht so recht, was ich mit diesem j und diesem k anfangen soll und wie ich das mit
[mm] \begin{cases}
1,&j=k(\text{ mod } n)\\
0, & \text{sonst }
\end{cases}
[/mm]
in Verbindung bringen kann. Kann mir das jemand erklären? Vielleicht sogar an einem Beispiel?
Vielen vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 So 19.12.2010 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
wenn du in deinen beispielen j=k einsetzt kommt 1 raus. bei n=2 kann j-k mod 2 nur 0 oder 1 sein, wenn es 1 ist hast du e^{i\pi}=-1 also das ganze 0
bei n=3 hast du j-k=0,1,2mod 3
für 0 wieder 1 für 1
$ &=\frac{1}{3}\cdot\left(1+exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)}}+exp{\left(\frac{4\pi i}{3}\right)} ) $
dabei ist \frac{4\pi i}{3}-2\pi=\frac{-2\pi i}{3}
also wieder insgesamt 0
ich würde das am einheitskreis auftragen um zu sehen, was passiert.
du schreibst statt
exp{\left(\frac{2\pi i}{2}\right)}^{j-k} besser
exp{\left(\frac{2\pi i*(j-k)}{2}\right)}
Gruss leduart
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Hallo!
vielen Dank für eure schnellen Antworten. hab natürlich noch weitere Fragen...
Eingesetzt ergibt sich
[mm] \frac{1}{n}\cdot \sum_{v=0}^{n-1}\exp{\left(\frac{2\pi i}{n}\right)}^{(j-k)v}
[/mm]
F"ur die zweite Einheitswurzel ergibt sich mit $n=2$ und [mm] $k\in\{0,1\}$
[/mm]
[mm] \frac{1}{2}\cdot \sum_{v=0}^{1}exp{\left(\frac{2\pi i}{2}\right)}^{(j-k)v} &=\begin{cases}
1,&j=k(\text{ mod } 2)\\
0, & \text{sonst }
\end{cases}
[/mm]
j=0=k [mm] \text{ mod(2)} \rightarrow& \text{ Rest von 0 geteilt durch 2 ergibt 0.}
[/mm]
j=1=k [mm] \text{ mod(2)} \rightarrow& \text{ Rest von 1 geteilt durch 2 ergibt 1.}
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{2}\left(exp{\left(\frac{2\pi i}{2}\right)}^{0}+exp{\left(\frac{2\pi i}{2}\right)}^{1}\right)
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{2}\left(exp{\left(\frac{2\pi i\cdot 0}{2}\right)} +exp{\left(\frac{2\pi i\cdot 1}{2}\right)} \right)
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{2}\cdot\left(1-1 \right) [/mm] =0
F"ur die dritte Einheitswurzel ergibt sich mit $n=3$ und [mm] $k\in\{0,1,2\}$
[/mm]
[mm] \frac{1}{3}\cdot \sum_{v=0}^{2}exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)}^{(j-k)v} &=\begin{cases}
1,&j=k(\text{ mod } 3)\\
0, & \text{sonst }
\end{cases}
[/mm]
j=0=k [mm] \text{ mod(3)} \rightarrow& \text{ Rest von 0 geteilt durch 3 ergibt 0.}
[/mm]
j=1=k [mm] \text{ mod(3)} \rightarrow& \text{ Rest von 1 geteilt durch 2 ergibt 1.}
[/mm]
j=2=k [mm] \text{ mod(3)} \rightarrow& \text{ Rest von 2 geteilt durch 3 ergibt 2.}
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{3}\left(exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)} ^{0}+exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)} ^{1}+exp{\left(\frac{2\pi i}{3}\right)} ^{2}\right)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{3}\left(exp{\left(\frac{2\pi i\cdot 0}{3}\right)} +exp{\left(\frac{2\pi i\cdot 1}{3}\right)} +exp{\left(\frac{2\pi i\cdot 2}{3}\right)}\right)\\
[/mm]
[mm] &=\frac{1}{3}\cdot\left(1-1\right)=0\\
[/mm]
Ist das so richtig?
Das habe ich so in wikipedia gefunden:
Im K"orper $C$ der komplexen Zahlen sind
[mm] \exp\left({2\pi \mathrm i k\over n}\right),\quad k=0,1,\ldots,n-1
[/mm]
die n-ten Einheitswurzeln.
mein k ist hierbei aber j-k oder?
Setzt man
[mm] \rho_n [/mm] = [mm] \exp\left({2\pi \mathrm i \over n}\right),
[/mm]
so ist [mm] $\rho_n$ [/mm] primitiv (Eine n-te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung
n besitzt.), und diese Zahlen bekommen (in der gleichen Reihenfolge) die einfache Gestalt
1, [mm] \rho_n, \rho_n^2, \dots, \rho_n^{n-1}.
[/mm]
Ist [mm] $\rho$ [/mm] eine n-te Einheitswurzel, so gilt
[mm] 1+\rho_n+\rho_n^2+\dots, \rho_n^{n-1}&=\begin{cases} n & \mathrm{,falls}\ \rho = 1 \\ 0 & \mathrm{sonst}. \end{cases}\\\\
[/mm]
[mm] \text{z.B. } n&=3\\
[/mm]
[mm] 1+\rho_n+\rho_n^2&=\begin{cases}3 & \mathrm{falls}\ \rho = 1 \\ 0 & \mathrm{,sonst}. \end{cases}\\\\
[/mm]
Wie komme ich hier jetzt noch auf meine Darstellung?
[mm] \frac{1}{n}\cdot \sum_{v=0}^{n-1} \rho^{(j-k)v} =\begin{cases}
1,&j=k(\text{ mod } n)\\
0, & \text{sonst }
\end{cases}
[/mm]
[mm] \frac{1}{n}\left(1+\rho_n+\rho_n^2+\dots, \rho_n^{n-1}\right)&=\begin{cases} 1 & \mathrm{,falls}\ \rho = 1 ???\\ 0 & \mathrm{sonst}. \end{cases}\\\\
[/mm]
Am Beispiel:
[mm] \frac{1}{3}\left(1+\rho_n+\rho_n^2\right)&=\begin{cases}1 & \mathrm{falls}\ \rho = 1 ???\\ 0 & \mathrm{,sonst}. \end{cases}\\\\
[/mm]
Vielen vielen Dank schon mal im Voraus!!!
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Die trigonometrische Darstellung der primitiven Einheitswurzel [mm]\varrho[/mm] mit der komplexen Exponentialfunktion ist gar nicht wichtig. Für den Beweis brauchst du nur eine einzige Sache, nämlich
[mm]\varrho^m = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ m \equiv 0 \bmod n[/mm]
Die Bedingung [mm]m \equiv 0 \bmod n[/mm] heißt auf gut deutsch: [mm]n[/mm] ist ein Teiler von [mm]m[/mm], oder gleichwertig: [mm]m[/mm] ist ein Vielfaches von [mm]n[/mm].
Und dann folgt alles mit der Formel für eine geometrische Summe. Diesen Tip hat dir bereits Felix gegeben (19.12.2010):
[mm]\sum_{\nu = 0}^{n-1} \gamma^{\nu} = \frac{\gamma^n - 1}{\gamma - 1} \, ; \ \ 1 \neq \gamma \in \mathbb{C} , \ n \geq 1 \ \text{ganz}[/mm]
Ist dagegen [mm]\gamma = 1[/mm], so ist jeder Summand der Summe gleich 1 und der Summenwert damit [mm]n[/mm].
Und jetzt setze speziell [mm]\gamma = \varrho^{j-k}[/mm] und unterscheide die Fälle [mm]\varrho^{j-k} \neq 1[/mm] und [mm]\varrho^{j-k} = 1[/mm]. Dann steht alles schon da. Wenn du für den Beweis mehr als anderthalb Zeilen brauchst, hast du etwas falsch gemacht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 So 19.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
noch ein Tipp ist die geometrische Summenformel: [mm] $\sum_{i=0}^n x^i [/mm] = [mm] \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$, [/mm] falls $x [mm] \neq [/mm] 1$ ist. Falls $x = 1$ ist, ist [mm] $\sum_{i=0}^n x^i [/mm] = n + 1$.
LG Felix
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