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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] $cos(\bruch{\pi}{4})$ [/mm] und [mm] $sin(\bruch{\pi}{4})$ [/mm] aus der komplexen Exponentialfunktion. |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, wie ich das angehen soll.
Ich denke nicht, dass man hier mit den Potenzreihen rechnen soll, denn dafür spielt ja die komplexe Exponetialfunktion keine Rolle.
Also nehme ich an, dass man folgende Formel herleiten soll:
[mm] cos(\varphi) = \bruch{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2} [/mm]
Hier kann man jetzt [mm] $\bruch{\pi}{4}$ [/mm] einsetzen, ok. Aber trotzdem ist mir jetzt nicht klar, wie man weiter rechnen soll?
Denn wenn man das in die Formel einsetzt, kommt raus:
[mm] cos(\bruch{\pi}{4}) = cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] ... Toll 
Ma soll ja sicher irgendwie auf [mm] $\bruch{\wurzel{2}}{2}$ [/mm] kommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> [mm]cos(\varphi) = \bruch{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}[/mm]
>
> Hier kann man jetzt [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] einsetzen, ok. Aber
> trotzdem ist mir jetzt nicht klar, wie man weiter rechnen
> soll?
Was ist denn [mm] $e^{i\frac{\pi}{4}}$ [/mm] und [mm] $e^{-i\frac{\pi}{4}}$?
[/mm]
Beides sind ja komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis, da [mm] $\left|e^{i\frac{\pi}{4}}\right| [/mm] = [mm] \left|e^{-i\frac{\pi}{4}}\right| [/mm] = 1$.
Schreibe die beiden Zahlen in der Standardform $a+bi$ und setzte in die Formel für [mm] $cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$ [/mm] ein.
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo,
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> > [mm]cos(\varphi) = \bruch{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}[/mm]
> >
> > Hier kann man jetzt [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] einsetzen, ok. Aber
> > trotzdem ist mir jetzt nicht klar, wie man weiter rechnen
> > soll?
>
> Was ist denn [mm]e^{i\frac{\pi}{4}}[/mm] und [mm]e^{-i\frac{\pi}{4}}[/mm]?
> Beides sind ja komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis, da
> [mm]\left|e^{i\frac{\pi}{4}}\right| = \left|e^{-i\frac{\pi}{4}}\right| = 1[/mm].
>
> Schreibe die beiden Zahlen in der Standardform [mm]a+bi[/mm] und
> setzte in die Formel für [mm]cos\left(\frac{\pi}{4}\right)[/mm]
> ein.
>
> Viele Grüße, Lippel
Danke für die Antwort.
Dies läßt sich dann aber nur mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
Und für Werte [mm] $\not= \bruch{\pi}{4}$ [/mm] oder Vielfache bräuchte man die Trigonometrischen Funktionen... Macht für mich nicht so viel Sin...
Naja, aber dann wäre die Lösung wie folgt:
[mm] cos(\bruch{\pi}{4}) = \bruch{( \wurzel{\bruch{1}{2}}+\wurzel{\bruch{1}{2}}i )+(\wurzel{\bruch{1}{2}}-\wurzel{\bruch{1}{2}}i)}{2} = \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > [mm]cos(\varphi) = \bruch{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}[/mm]
> >
> >
> > > Hier kann man jetzt [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] einsetzen, ok. Aber
> > > trotzdem ist mir jetzt nicht klar, wie man weiter rechnen
> > > soll?
> >
> > Was ist denn [mm]e^{i\frac{\pi}{4}}[/mm] und [mm]e^{-i\frac{\pi}{4}}[/mm]?
> > Beides sind ja komplexe Zahlen auf dem Einheitskreis,
> da
> > [mm]\left|e^{i\frac{\pi}{4}}\right| = \left|e^{-i\frac{\pi}{4}}\right| = 1[/mm].
>
> >
> > Schreibe die beiden Zahlen in der Standardform [mm]a+bi[/mm] und
> > setzte in die Formel für [mm]cos\left(\frac{\pi}{4}\right)[/mm]
> > ein.
> >
> > Viele Grüße, Lippel
>
> Danke für die Antwort.
>
> Dies läßt sich dann aber nur mit dem Satz des Pythagoras
> berechnen.
> Und für Werte [mm]\not= \bruch{\pi}{4}[/mm] oder Vielfache
> bräuchte man die Trigonometrischen Funktionen... Macht
> für mich nicht so viel Sin...
>
> Naja, aber dann wäre die Lösung wie folgt:
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{4}) = \bruch{( \wurzel{\bruch{1}{2}}+\wurzel{\bruch{1}{2}}i )+(\wurzel{\bruch{1}{2}}-\wurzel{\bruch{1}{2}}i)}{2} = \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
Stimmt.
Einfacher geht es so:
[mm] $e^{it}=cos(t)+i*sin(t)$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
Für mich ist das, als ob man sich im Kreis dreht ...
Aber nichts für ungut, ansonsten habe ich es verstanden.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:07 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für mich ist das, als ob man sich im Kreis dreht ...
Was soll das ?
FRED
>
> Aber nichts für ungut, ansonsten habe ich es verstanden.
>
> Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
Ich finde, man dreht sich bei diesem Problem irgendwie im Kreis.
Aus diesen beiden Formeln:
$ [mm] e^{i\varphi}=cos(\varphi)+i\cdot{}sin(\varphi) [/mm] $
$ [mm] cos(\varphi) [/mm] = [mm] \bruch{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2} [/mm] $
folgt:
$ [mm] cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{cos(\bruch{\pi}{4})+i\cdot{}sin(\bruch{\pi}{4}) + (cos(\bruch{\pi}{4})-i\cdot{}sin(\bruch{\pi}{4}) )}{2} [/mm] = [mm] \bruch{2cos(\bruch{\pi}{4})}{2}=cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] $
Das bedeutet, man kommt hier nur dann weiter, wenn man [mm] $e^{i\bruch{\pi}{4}}$ [/mm] am Einheitskreis in der Form $ a+bi $ betrachtet und das reale und imaginäre Argument mit dem Satz des Pythagoras berechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Anleitung:
1. Benutze nur
$ [mm] e^{i\varphi}=cos(\varphi)+i\cdot{}sin(\varphi) [/mm] $ mit [mm] \varphi= \pi [/mm] /4
2. Berechne
$ [mm] e^{i\varphi} [/mm] $ und stelle es in der Form a+ib dar
3. Dann ist [mm] cos(\varphi)=a [/mm] und [mm] sin(\varphi)=b
[/mm]
4. Fertig
5. Kein im Kreis drehen !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
Ok, mache ich:
$ [mm] e^{i\bruch{\pi}{4}}=cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow cos(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] $
Ist das jetzt deiner Meinung nach die Lösung zu der im ersten Beitrag gestellten Aufgabe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Do 06.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok, mache ich:
>
> [mm]e^{i\bruch{\pi}{4}}=cos(\bruch{\pi}{4})+i*sin(\bruch{\pi}{4}) = \bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow cos(\bruch{\pi}{4}) = \bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>
> Ist das jetzt deiner Meinung nach die Lösung zu der im
> ersten Beitrag gestellten Aufgabe?
Ja, wenn Du noch ergänzt
[mm] sin(\bruch{\pi}{4}) [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Do 06.01.2011 | | Autor: | BarneyS |
Ok, ich denke dann sind wir da einfach anderer Meinung. Für mich ist das einfach nur die Darstellung einer komplexen Zahl in der Euler und Polar Form.
Jedoch habe ich so nicht Kosinus von [mm] $\pi$ [/mm] / 4 berechnet, wie es in der Aufgabenstellung gefragt war, sondern lediglich die Werte von Sinus und Kosinus in die komplexe Exponentialfunktion eingesetzt mit dem Wissen, dass Kosinus von [mm] $\pi$ [/mm] / 4 = [mm] $\wurzel{2} [/mm] / 2$ ist.
Daraus dann aber wiederum zu folgern, dass Kosinus von [mm] $\pi$ [/mm] / 4 = [mm] $\wurzel{2} [/mm] / 2$ ist, ist m.E. so, als ob man sich im Kreis dreht.
Ich hoffe, du verstehst, was ich meine?
Es ist nicht böse, arrogant o.ä. gemeint. Ich möchte es nur verstehen und bin sehr genau dabei. Vielleicht bin ich aber auch nur etwas schwer von Begriff
Und vielen Dank an alle für die Unterstützung!
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