Komplexe Fourierreihe cos(z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich bin unsicher beim Aufstellen von Fourierreihen. Gemäß dem ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia-Artikel muss ich die Funktion als Reihe der Form
[mm] $\displaystyle [/mm] f(z) = [mm] \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}*e^{i*n*\frac{2*\pi}{T}*z}$
[/mm]
aufstellen, wobei
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{T}*\int_{c}^{c+T}f(t)\cdot{}e^{-i*n*\frac{2*\pi}{T}*t}$
[/mm]
ist.
Bei a) habe ich also
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{T}*\int_{c}^{c+T}\cos(t)*e^{-i*n*\frac{2*\pi}{T}*t} [/mm] \ dt$
Ich habe erstmal [mm] \int{\cos(t)*e^{a*t}\ dt } [/mm] bestimmt und kam auf:
[mm] $\int{\cos(t)*e^{a*t}\ dt } [/mm] = [mm] \frac{e^{a*t}}{a^{2}+1}*\Big(a*\cos(t)+\sin(t)\Big)$
[/mm]
Nun also für [mm] c_{n}:
[/mm]
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{T*\left(1-n^{2}*\left(\frac{2*\pi}{T}\right)^{2}\right)}*\left[e^{-i*n*\frac{2*\pi}{T}*t}*\Big(\sin(t)-i*n*\frac{2*\pi}{T}*\cos(t)\Big)\right]_{c}^{c+T}$
[/mm]
Ich habe gelesen, dass ich c frei wählen kann, also wähle ich mal c = 0. Außerdem ist T = [mm] 2*\pi, [/mm] weil auch der Kosinus im Komplexen eine Periode von [mm] 2*\pi [/mm] hat. Demzufolge wäre der Audruck vereinfacht:
[mm] $c_{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\pi*\left(1-n^{2}\right)}*\left[e^{-i*n*t}*\Big(\sin(t)-i*n*\cos(t)\Big)\right]_{0}^{2*\pi}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2*\pi*\left(1-n^{2}\right)}*\left[e^{-i*n*2*\pi}*\Big(\sin(2*\pi)-i*n*\cos(2*\pi)\Big) - e^{-i*n*0}*\Big(\sin(0)-i*n*\cos(0)\Big) \right]$
[/mm]
$=0$
Was habe ich denn falsch gemacht, dass ich auf 0 für jedes Folgenglied komme?
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Mi 17.06.2009 | | Autor: | moudi |
Hallo Stefan
Fuer [mm] $\cos(z)$ [/mm] hast du noch nichts falsch gemacht. Tatsaechlich sind die Koeffizienten [mm] $c_n=0$ [/mm] fuer [mm] $n\neq\pm1$. [/mm] Aber schau was passiert, wenn [mm] $n=\pm1$. [/mm] Deine Formel kann dann nicht mehr stimmen, weil du im Faktor [mm] $\frac{1}{1-n^2}$ [/mm] den Nenner 0 erhaeltst.
btw. [mm] $\cos(z)=\tfrac12 e^{iz}+\tfrac [/mm] 12 [mm] e^{-iz}$
[/mm]
mfG Moudi
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Hallo moudi,
vielen Dank für deine Antwort! Hat mir sehr weitergeholfen!
Stimmt, für $n = [mm] \pm [/mm] 1$ funktioniert meine angewandte Integration nicht. Ich habe einen anderen Versuch gestartet für $n = [mm] \pm [/mm] 1$:
n = 1:
[mm] $\frac{1}{2*\pi}*\int_{0}^{2*\pi}{\cos(t)\cdot{}e^{-I*t}\ dt} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\pi}*\int_{0}^{2*\pi}{\cos(t)*\Big(\cos(-t)+i*\sin(-t)\Big)\ dt} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\pi}*\int_{0}^{2*\pi}{\cos^{2}(t)\ dt} [/mm] - [mm] \frac{1}{2*\pi}*i*\int_{0}^{2*\pi}{\sin(t)*\cos(t)\ dt}$\\
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2*\pi}*\left[\frac{1}{2}*\cos(x)*\sin(x) + \frac{1}{2}*x - \frac{1}{2}*\sin^{2}(x)\right]_{0}^{2*\pi} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*\pi}*\pi [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Dasselbe erhalte ich für n = -1.
Dann käme ich nach obiger Formel auf
$f(z) = [mm] \frac{1}{2}*e^{-i*z} [/mm] + [mm] \frac{1}{2}*e^{i*z}$
[/mm]
So okay?
Muss man öfters zweimal verschieden vorgehen, damit man alle n's abdeckt? Hätte es hier eine bessere Möglichkeit gegeben?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo moudi,
>
> vielen Dank für deine Antwort! Hat mir sehr
> weitergeholfen!
> Stimmt, für [mm]n = \pm 1[/mm] funktioniert meine angewandte
> Integration nicht. Ich habe einen anderen Versuch gestartet
> für [mm]n = \pm 1[/mm]:
>
> n = 1:
>
> [mm]\frac{1}{2*\pi}*\int_{0}^{2*\pi}{\cos(t)\cdot{}e^{-I*t}\ dt} = \frac{1}{2*\pi}*\int_{0}^{2*\pi}{\cos(t)*\Big(\cos(-t)+i*\sin(-t)\Big)\ dt} = \frac{1}{2*\pi}*\int_{0}^{2*\pi}{\cos^{2}(t)\ dt} - \frac{1}{2*\pi}*i*\int_{0}^{2*\pi}{\sin(t)*\cos(t)\ dt}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]= \frac{1}{2*\pi}*\left[\frac{1}{2}*\cos(x)*\sin(x) + \frac{1}{2}*x - \frac{1}{2}*\sin^{2}(x)\right]_{0}^{2*\pi} = \frac{1}{2*\pi}*\pi = \frac{1}{2}[/mm]
>
> Dasselbe erhalte ich für n = -1.
> Dann käme ich nach obiger Formel auf
>
> [mm]f(z) = \frac{1}{2}*e^{-i*z} + \frac{1}{2}*e^{i*z}[/mm]
>
> So okay?
Jo.
> Muss man öfters zweimal verschieden vorgehen, damit man
> alle n's abdeckt? Hätte es hier eine bessere Möglichkeit
> gegeben?
Nun, der kürzeste Weg geht natürlich über die Eulerschen Formeln.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Stefan.
Gruß
MathePower
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Hallo!
Bei der b) komme ich irgendwie überhaupt nicht weiter. Wenn ich die Formeln richtig interpretiere, müsste ich ja das Integral
[mm] \frac{1}{T}*\integral_{0}^{T}{\frac{1}{\cos^{2}(t)}*e^{-i*n*\frac{2*\pi}{T}*t} \ dt}
[/mm]
bestimmen, aber daran scheitere ich kläglich, auch Maple will mir keine Lösung ausgeben. Was muss ich tun?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
>
> Bei der b) komme ich irgendwie überhaupt nicht weiter. Wenn
> ich die Formeln richtig interpretiere, müsste ich ja das
> Integral
>
> [mm]\frac{1}{T}*\integral_{0}^{T}{\frac{1}{\cos^{2}(t)}*e^{-i*n*\frac{2*\pi}{T}*t} \ dt}[/mm]
>
> bestimmen, aber daran scheitere ich kläglich, auch Maple
> will mir keine Lösung ausgeben. Was muss ich tun?
Um hier zu der komplexen Fourierreihe zu kommen,
verwende die Eulerschen Formeln.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
>
> Stefan.
Gruß
MathePower
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Hallo!
Danke für deine Antworten, MathePower!
Wenn ich die Eulerschen Formeln benutze, komme ich auf:
[mm] $\frac{1}{\cos^{2}(z)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\left(\frac{e^{i*z}+e^{-i*z}}{2}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{4}{\left(e^{i*z}+e^{-i*z}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{4}{\left(e^{-i*z}*(e^{2*i*z}+1)\right)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{4*e^{2*i*z}}{\left(e^{2*i*z}+1\right)^{2}}$
[/mm]
Sollte ich jetzt eine Partialbruchzerlegung probieren? Oder muss ich ganz anders rangehen?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
>
> Danke für deine Antworten, MathePower!
> Wenn ich die Eulerschen Formeln benutze, komme ich auf:
>
> [mm]\frac{1}{\cos^{2}(z)} = \frac{1}{\left(\frac{e^{i*z}+e^{-i*z}}{2}\right)^{2}} = \frac{4}{\left(e^{i*z}+e^{-i*z}\right)^{2}} = \frac{4}{\left(e^{-i*z}*(e^{2*i*z}+1)\right)^{2}} = \frac{4*e^{2*i*z}}{\left(e^{2*i*z}+1\right)^{2}}[/mm]
>
> Sollte ich jetzt eine Partialbruchzerlegung probieren? Oder
> muss ich ganz anders rangehen?
Schreibe zunächst [mm]\bruch{1}{1+e^{2iz}}[/mm] als geometrische Reihe.
Bilde dann das Produkt dieser geometrische Reihe mit sich selbst.
Die so erhaltene Reihe konvergiert natürlich, wenn [mm]\vmat{e^{2iz}} < 1[/mm]
Daraus ergibt sich eine Bedingung an den Imagimärteil von z.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
Gruß
MathePower
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Erst einmal ein verspäteter Dank für die Antwort! Ich glaube, jetzt hab ichs  :
$f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{e^{2*i*z}+1}\right)^{2}$
Es ist
$\frac{1}{e^{2*i*z}+1} = \frac{1}{1-\left(-e^{2*i*z}\right)}} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k}$,
also:
$\left(\frac{1}{e^{2*i*z}+1}\right)^{2} = \left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k}\right)*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-e^{2*i*z}\right)^{l}*\left(-e^{2*i*z}\right)^{k-l} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k} $
$= \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-e^{2*i*z}\right)^{k} = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*(-1)^{k}*e^{2*i*z*k}$.
Insgesamt:
$f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{e^{2*i*z}+1}\right)^{2} = 4*e^{2*i*z}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*(-1)^{k}*e^{2*i*z*k} = \sum_{k=0}^{\infty}4*(k+1)*(-1)^{k}*e^{2*i*z*(k+1)} = \sum_{k=1}^{\infty}4*k*(-1)^{k-1}*e^{2*i*z*k}$
Ist das so okay?
Grüße, Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
>
> Erst einmal ein verspäteter Dank für die Antwort! Ich
> glaube, jetzt hab ichs :
>
> [mm]f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{e^{2*i*z}+1}\right)^{2}[/mm]
>
> Es ist
>
> [mm]\frac{1}{e^{2*i*z}+1} = \frac{1}{1-\left(-e^{2*i*z}\right)}} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k}[/mm],
>
> also:
>
> [mm]\left(\frac{1}{e^{2*i*z}+1}\right)^{2} = \left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k}\right)*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k\right) = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-e^{2*i*z}\right)^{l}*\left(-e^{2*i*z}\right)^{k-l} = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-e^{2*i*z}\right)^{k}[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-e^{2*i*z}\right)^{k} = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*(-1)^{k}*e^{2*i*z*k}[/mm].
>
> Insgesamt:
>
> [mm]f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{e^{2*i*z}+1}\right)^{2} = 4*e^{2*i*z}*\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*(-1)^{k}*e^{2*i*z*k} = \sum_{k=0}^{\infty}4*(k+1)*(-1)^{k}*e^{2*i*z*(k+1)} = \sum_{k=1}^{\infty}4*k*(-1)^{k-1}*e^{2*i*z*k}[/mm]
>
> Ist das so okay?
Das ist soweit ok.
Nun mußt Du aber noch untersuchen, für welche z das konvergiert.
>
> Grüße, Stefan.
Gruß
MathePower
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Hallo und danke für deine Antwort, MathePower !
Du hattest ja oben geschrieben (und ich sehe es auch ein  ), dass die geometrische Reihe für [mm] $\left|e^{2*i*z}\right| [/mm] < 1$ konvergiert, d.h. ja dass [mm] $\mbox{Im}(z) [/mm] > 0$ sein muss. D.h. die von mir oben aufgestellte Reihe konvergiert für [mm] $\mbox{Im}(z) [/mm] > 0$.
Ich soll ja aber auch eine Laurentreihenentwicklung für [mm] $\mbox{Im}(z) [/mm] < 0$ angeben. Muss ich da jetzt wieder die Umformung
[mm] $\frac{1}{1+e^{2*i*z}} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{2*i*z}}*\frac{1}{1+\frac{1}{e^{2*i*z}}} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{2*i*z}}*\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}$
[/mm]
durchführen?
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo und danke für deine Antwort, MathePower !
>
> Du hattest ja oben geschrieben (und ich sehe es auch ein
> ), dass die geometrische Reihe für
> [mm]\left|e^{2*i*z}\right| < 1[/mm] konvergiert, d.h. ja dass
> [mm]\mbox{Im}(z) > 0[/mm] sein muss. D.h. die von mir oben
> aufgestellte Reihe konvergiert für [mm]\mbox{Im}(z) > 0[/mm].
> Ich
> soll ja aber auch eine Laurentreihenentwicklung für
> [mm]\mbox{Im}(z) < 0[/mm] angeben. Muss ich da jetzt wieder die
> Umformung
>
> [mm]\frac{1}{1+e^{2*i*z}} = \frac{1}{e^{2*i*z}}*\frac{1}{1+\frac{1}{e^{2*i*z}}} = \frac{1}{e^{2*i*z}}*\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}[/mm]
>
> durchführen?
Ja.
> Vielen Dank für Eure Hilfe,
> Stefan.
Gruß
MathePower
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Danke für deine Antwort, MathePower! Da komme ich jetzt zu folgendem Ergebnis für Im(z) < 0:
$f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{1+e^{2*i*z}}\right) = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{e^{2*i*z}}*\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2} = \frac{4}{e^{2*i*z}}*\left(\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2}$
So, nun also (wieder) die geometrische Reihe:
$\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}$
Das Cauchy-Produkt bilden:
$\left(\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2} = \left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}\right)*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{l}*\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k-l}$
$ = \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k} = \sum_{k=-\infty}^{0}(-1)^{k}*(1-k)*e^{2*i*z*k}$
Insgesamt also:
$f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = \frac{4}{e^{2*i*z}}*\left(\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2} = \frac{4}{e^{2*i*z}}*\sum_{k=-\infty}^{0}(-1)^{k}*(1-k)*e^{2*i*z*k} = \sum_{k=-\infty}^{-1}4*(-1)^{k}*k*e^{2*i*z*k}$.
D.h. ich könnte f(z) so darstellen:
f(z) = \begin{cases}\sum_{k=-\infty}^{-1}4*k*(-1)^{k}*e^{2*i*z*k}\quad\mbox{ falls }Im(z) < 0\\
\sum_{k=1}^{\infty}4\cdot{}k\cdot{}(-1)^{k-1}\cdot{}e^{2\cdot{}i\cdot{}z\cdot{}k}\quad\mbox{ falls }Im(z) > 0\end{cases}
So okay?
Viele Grüße und danke für Eure Hilfe,
Stefan.
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Hallo steppenhahn,
> Hallo!
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> Danke für deine Antwort, MathePower! Da komme ich jetzt zu
> folgendem Ergebnis für Im(z) < 0:
>
> [mm]f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{1+e^{2*i*z}}\right) = 4*e^{2*i*z}*\left(\frac{1}{e^{2*i*z}}*\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2} = \frac{4}{e^{2*i*z}}*\left(\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2}[/mm]
>
> So, nun also (wieder) die geometrische Reihe:
>
> [mm]\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)} = \sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}[/mm]
>
> Das Cauchy-Produkt bilden:
>
> [mm]\left(\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2} = \left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}\right)*\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}\right) =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{l}*\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k-l}[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{l=0}^{k}\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k}\right) = \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)*\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)^{k} = \sum_{k=-\infty}^{0}(-1)^{k}*(1-k)*e^{2*i*z*k}[/mm]
>
> Insgesamt also:
>
> [mm]f(z) = \frac{1}{\cos^{2}(z)} = \frac{4}{e^{2*i*z}}*\left(\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{e^{2*i*z}}\right)}\right)^{2} = \frac{4}{e^{2*i*z}}*\sum_{k=-\infty}^{0}(-1)^{k}*(1-k)*e^{2*i*z*k} = \sum_{k=-\infty}^{-1}4*(-1)^{k}*k*e^{2*i*z*k}[/mm].
>
> D.h. ich könnte f(z) so darstellen:
>
> f(z) =
> [mm]\begin{cases}\sum_{k=-\infty}^{-1}4*k*(-1)^{k}*e^{2*i*z*k}\quad\mbox{ falls }Im(z) < 0\\
\sum_{k=1}^{\infty}4\cdot{}k\cdot{}(-1)^{k-1}\cdot{}e^{2\cdot{}i\cdot{}z\cdot{}k}\quad\mbox{ falls }Im(z) > 0\end{cases}[/mm]
>
> So okay?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Viele Grüße und danke für Eure Hilfe,
> Stefan.
Gruß
MAthePower
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Hallo MathePower,
danke für die Bestätigung
Grüße, Stefan.
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