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Forum "Fourier-Transformation" - Komplexe Fourierreihe f(x)=x^2
Komplexe Fourierreihe f(x)=x^2 < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Komplexe Fourierreihe f(x)=x^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:38 Mi 06.02.2019
Autor: hase-hh

Aufgabe
Entwickeln Sie die komplexe Fourierreihe zu

f(x) = [mm] x^2 [/mm]    mit    [mm] (-\pi [/mm] < x < [mm] \pi) [/mm]




Moin Moin,

ich soll also eine komplexe Fourierreihe der Form

f(x) = [mm] c_0 [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} c_n*e^{-jnx} [/mm]

finden, richtig?


1. Berechnen von [mm] c_0 [/mm]

[mm] c_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{3}*x^3] [/mm]  von [mm] -\pi [/mm] bis [mm] \pi [/mm]

[mm] c_0 [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{3}*\pi^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*(-\pi)^3) [/mm]

[mm] c_0 [/mm] =  [mm] \bruch{1}{2\pi}*\bruch{2*\pi^3}{3} =\bruch{\pi^2}{3} [/mm]


2. Berechnen der [mm] c_n [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-jnx} dx} [/mm]

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2*e^{-jnx} dx} [/mm]


Partielle Integration 1. Stufe

u = [mm] x^2 [/mm]    v ' = [mm] e^{-jnx} [/mm]

u ' = 2x     v = - [mm] \bruch{1}{jn}*e^{-jnx} [/mm]

  = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [mm] [x^2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] [/mm] - [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*(-\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx} [/mm] }

  = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [- [mm] \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx}] [/mm] + [mm] \bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx} dx} [/mm] }


Partielle Integration 2. Stufe   Nebenrechnung

[mm] \bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx} dx} [/mm]

u = 2x   v ' = [mm] e^{-jnx} [/mm]

u ' = 2   v = - [mm] \bruch{1}{jn}*e^{-jnx} [/mm]

[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [2x*(- [mm] \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] [/mm] -  [mm] \integral_{-\pi}^{\pi}{2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx} [/mm] )

[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} \integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx} dx} [/mm] )


[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} [/mm] [- [mm] \bruch{1}{jn}e^{-jnx}] [/mm]  )

[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} [/mm] - [mm] \bruch{2}{j^2n^2}*e^{-jnx}] [/mm]  )

[mm] \bruch{1}{jn} [/mm] * ( [- [mm] \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{n^2}*e^{-jnx}] [/mm]  )
  
[- [mm] \bruch{2x}{j^2n^2}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] [/mm]  

[mm] [\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] [/mm]  

***

Teilergebnisse zusammenfügen...

[mm] c_n [/mm]  = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [- [mm] \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx} +\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] [/mm]   }

= [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { - [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*e^{-jn*\pi} +\bruch{2*\pi}{n^2}*e^{-jn*\pi} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*\pi}- [/mm] ( - [mm] \bruch{(-\pi)^2}{jn}*e^{-jn*(-\pi)} +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*e^{-jn*(-\pi)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*(-\pi}) [/mm] )  }


Aus der Euler-Identität folgt  [mm] e^{j*\pi} [/mm] = [mm] e^{-j*\pi} [/mm] = -1

sowie  [mm] e^{jn\pi} [/mm] = [mm] cos(n\pi) [/mm]   und   [mm] e^{-jn\pi} [/mm] =  [mm] cos(-n\pi) [/mm]

ferner gilt  [mm] cos(n\pi) [/mm] = [mm] cos(-n\pi) [/mm]   =>  
  
[mm] e^{jn\pi} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm]   und   [mm] e^{-jn\pi} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm]  



=>

[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { - [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] - ( - [mm] \bruch{(-\pi)^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] )   }  


[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { - [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm]  + [mm] \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] )   }  


[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi} [/mm] { [mm] +\bruch{4*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm]  }   = [mm] \bruch{2}{n^2}*(-1)^n [/mm]


richtig?


Die gesuchte Fourierreihe lautet also:

f(x) = [mm] \bruch{\pi^2}{3} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{n^2}*(-1)^n *e^{jnx} [/mm]



        
Bezug
Komplexe Fourierreihe f(x)=x^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:57 Do 07.02.2019
Autor: fred97


> Entwickeln Sie die komplexe Fourierreihe zu
>
> f(x) = [mm]x^2[/mm]    mit    [mm](-\pi[/mm] < x < [mm]\pi)[/mm]
>  
>
> Moin Moin,
>  
> ich soll also eine komlexe Fourierreihe der Form
>
> f(x) = [mm]c_0[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n} c_n*e^{-jnx}[/mm]
>  
> finden, richtig?

Nein, so sieht die Fourierreihe nicht aus, sondern so:

[mm] \summe_{n \in \IZ}^{} c_n*e^{jnx}. [/mm]


>  
>
> 1. Berechnen von [mm]c_0[/mm]
>
> [mm]c_0 =\bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2 dx} = \bruch{1}{2\pi}*[\bruch{1}{3}*x^3][/mm] von [mm]-\pi[/mm] bis [mm]\pi[/mm]
>
> [mm]c_0 = \bruch{1}{2\pi}*(\bruch{1}{3}*\pi^3- \bruch{1}{3}*(-\pi)^3)[/mm]
>
> [mm]c_0 = \bruch{1}{2\pi}*\bruch{2*\pi^3}{3} =\bruch{\pi^2}{3}[/mm]

Das stimmt.


>  
>
> 2. Berechnen der [mm]c_n[/mm]

    für n [mm] \in \IZ [/mm] und n [mm] \ne [/mm] 0 ....

>
>
> [mm]c_n =\bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{f(x)*e^{-jnx} dx}[/mm]
>  
> [mm]c_n = \bruch{1}{2\pi} \integral_{-\pi}^{\pi}{x^2*e^{-jnx} dx}[/mm]
>  
>
> Partielle Integration 1. Stufe
>  
> u = [mm]x^2[/mm]    v ' = [mm]e^{-jnx}[/mm]
>  
> u ' = 2x     v = - [mm]\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}{ [x^2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] - \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*- (\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx} }[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{2\pi}{ [- \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx}] + \bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx}) dx} }[/mm]
>  
>
> Partielle Integration 2. Stufe   Nebenrechnung
>  
> [mm]\bruch{1}{jn}* \integral_{-\pi}^{\pi}{2x*e^{-jnx}) dx}[/mm]
>  
> u = 2x   v ' = [mm]e^{-jnx}[/mm]
>  
> u ' = 2   v = - [mm]\bruch{1}{jn}*e^{-jnx}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [2x*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx})] - \integral_{-\pi}^{\pi}{2*(- \bruch{1}{jn}*e^{-jnx}) dx}[/mm] )
>  
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [- \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} \integral_{-\pi}^{\pi}{e^{-jnx}) dx}[/mm]  )
>  
>
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [- \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx}] +\bruch{2}{jn} [- \bruch{1}{jn}e^{-jnx}][/mm]  )
>  
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [-\bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} - \bruch{2}{j^2n^2}*e^{-jnx}][/mm]  )
>  
> [mm]\bruch{1}{jn} * ( [- \bruch{2x}{jn}*e^{-jnx} + \bruch{2}{n^2}*e^{-jnx}][/mm]  )
>    
> [- [mm]\bruch{2x}{j^2n^2}*e^{-jnx} +\bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}][/mm]  
>
> [mm][\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} + \bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}][/mm]  
>
> ***
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { [- \bruch{x^2}{jn}*e^{-jnx} +\bruch{2x}{n^2}*e^{-jnx} +\bruch{2}{jn^3}*e^{-jnx}] }[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { -\bruch{\pi^2}{jn}*e^{-jn*\pi} +\bruch{2*\pi}{n^2}*e^{-jn*\pi} +\bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*\pi}- ( - \bruch{(-\pi)^2}{jn}*e^{-jn*(-\pi)} +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*e^{-jn*(-\pi)} + \bruch{2}{jn^3}*e^{-jn*(-\pi}) ) }[/mm]
>  
> Die Euler-Identität besagt, dass [mm]e^{j*\pi} =e^{-j*\pi} = -1[/mm]
>
> bzw. [mm]e^{jn\pi} = cos(n\pi) = cos(-n\pi) = e^{-jn\pi} = (-1)^n[/mm]
>
> richtig?
>
> =>
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { -\bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n + \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n - ( -\bruch{(-\pi)^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*(-\pi)}{n^2}*(-1)^n + \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n ) }[/mm]  
>
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { -\bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n +\bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n +\bruch{2}{jn^3}*(-1)^n + \bruch{\pi^2}{jn}*(-1)^n[/mm] + [mm] \bruch{2*\pi}{n^2}*(-1)^n [/mm] - [mm] \bruch{2}{jn^3}*(-1)^n [/mm] )    [/mm]
>
>
> = [mm]\bruch{1}{2\pi} { +\bruch{4*\pi}{n^2}*(-1)^n } = \bruch{2}{n^2}*(-1)^n[/mm]
>
>
> richtig?

Ja, für n [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] $c_n= \bruch{2}{n^2}\cdot{}(-1)^n [/mm] $


>  
>
> Die gesuchte Fourierreihe lautet also:
>  
> f(x) = [mm]\bruch{\pi^2}{3} + \summe_{i=1}^{n} \bruch{2}{n^2}*(-1)^n *e^{-jnx}[/mm]

Gleicher Fehler wie oben. Die FR lautet

[mm]\bruch{\pi^2}{3} +\summe_{n \in \IZ}^{} \bruch{2}{n^2}*(-1)^n *e^{jnx}[/mm].


>  
>  


Bezug
                
Bezug
Komplexe Fourierreihe f(x)=x^2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Fr 08.02.2019
Autor: hase-hh

Komplexe Fourierreihe  


f(x) = [mm] c_0 +c_1*e^{j*1*x} +c_{-1}*e^{-j*1*x} [/mm] + ....

wobei  [mm] c_{-1} [/mm] die konjugiert komplexe Zahl zu [mm] c_1 [/mm]  ist  ...  usw.

Ferner gilt hier:  [mm] c_{-n} [/mm] = [mm] c_n [/mm] ... woraus sich weitere Implikationen ergeben.


f(x) = [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_n*e^{jnx} [/mm]

bzw.

f(x) = [mm] c_0 [/mm] + [mm] \summe_{n=-\infty}^{\infty} c_n*e^{jnx} [/mm]   mit [mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2\pi}*\integral_{}^{}{f(x)*e^{-jnx} dx} [/mm]   und  n [mm] \in \IZ [/mm]                          
           [mm] n\not=0 [/mm]




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