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| Aufgabe | Lösen Sie das Gleichungssytem auf und zeichnen Sie das Ergebnis in die Gausche Zahlenebene ein!
[mm] Z^i [/mm] = [mm] e^-\pi/2 [/mm] |
Guten Tag!
Diese Aufgabe wird öfters in der Prüfung dran genommen...
Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich sie Schritt für Schritt lösen könnte?!
Vielen Dank
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Lösen Sie das Gleichungssytem auf und zeichnen Sie das
> Ergebnis in die Gausche Zahlenebene ein!
>
> [mm]Z^i[/mm] = [mm]e^-\pi/2[/mm]
Meinst du das so:
[mm] z^i=e^{-\pi/2}
[/mm]
Die wird sicherlich öfter durchgenommen, aus dem einfachen Grund, weil man sich die rechte Seite im Zusammenhang mit kompexen Zahlen unbedingt merken sollte!
> Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich sie Schritt für
> Schritt lösen könnte?!
Wir machen das hier ein wenig anders: du versuchst etwas, stellst es hier vor und wir sagen dir (so gut wir können) was richtig, was falsch ist und warum. Und wir geben gerne Tipps, in welche Richtung man seine Gedanken lenken sollte, um die nächsten Schritte selbst zu finden.
Beginnen wir: jede komplexe Zahl z besitzt eine Euler-Darstellung der Form
[mm] z=r*e^{i*\phi}
[/mm]
wobei
r=|z| und [mm] \phi=arg(z)
[/mm]
sind.
Damit weißt du schon ziemlich viel über den Betrag der gesuchten Zahl z. Auf das Argument kann man auch leicht kommen, wenn man bedenkt, dass das Potenzgesetz
[mm] \left(x^a\right)^b=x^{a*b}
[/mm]
in diesem Fall eindeutig angewendet werden darf.
Als weiteren Tipp möchte ich dir noch mitgeben, dass das Ergebnis ziemlich imaginär ist. 
Gruß, Diophant
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Hallo, danke für die schnelle Antwort :)
Also ich nehme mal an, ich soll erst mal [mm] Z^i [/mm] in die Euler-Darstellung umformen?!
[mm] Z^i [/mm] = $ [mm] (r\cdot{}e^{i\cdot{}\phi})^i [/mm] $ = $ [mm] (r^i\cdot{}e^{-1\cdot{}\phi}) [/mm] $ = $ [mm] (r^i/e^{\phi}) [/mm] $
so?
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Hallo Fokus,
> Also ich nehme mal an, ich soll erst mal [mm]Z^i[/mm] in die
> Euler-Darstellung umformen?!
Wieso ist das Z eigentlich ein Großbuchstabe? Üblicher ist $z$, auch wenn es eigentlich egal ist. Die Variable könnte genausogut [mm] $dreikleine_{schweinchen}$ [/mm] heißen oder [mm] \ddot{y}.
[/mm]
> [mm]Z^i[/mm] = [mm](r\cdot{}e^{i\cdot{}\phi})^i[/mm] =
> [mm](r^i\cdot{}e^{-1\cdot{}\phi})[/mm] = [mm](r^i/e^{\phi})[/mm]
>
> so?
Ja, ok soweit. Und die rechte Seite? Da fehlt noch ![[]](/images/popup.gif) Euler.
Grüße
reverend
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Hallo reverend!
:D Das Z habe ich nur groß geschrieben, weil ich nicht genau wusste, wie dieses kleine $ z $ eigentlich geschrieben wird. Jetzt hab ich´s aber
sooo..
Linke Seite:
[mm] $z^i [/mm] = $ $ [mm] (r^i/e^{\phi}) [/mm] $
Die rechte Seite:
$ [mm] e^{-\pi/2} [/mm] $ " vielleicht $ [mm] e^{\phi} [/mm] $ von der linken auf die rechte Seite bringen?"
=> $ [mm] r^i [/mm] = [mm] (e^{-\pi/2})*(e^{\phi}) [/mm] $
<=> $ [mm] r^i=e^{\phi}^{-\pi/2} [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:27 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo reverend!
>
> :D Das Z habe ich nur groß geschrieben, weil ich nicht
> genau wusste, wie dieses kleine [mm]z[/mm] eigentlich geschrieben
> wird. Jetzt hab ich´s aber
>
> sooo..
>
> Linke Seite:
>
> [mm]z^i =[/mm] [mm](r^i/e^{\phi})[/mm]
>
> Die rechte Seite:
>
> [mm]e^{-\pi/2}[/mm] " vielleicht [mm]e^{\phi}[/mm] von der linken auf die
> rechte Seite bringen?"
>
> => [mm]r^i = (e^{-\pi/2})*(e^{\phi})[/mm]
>
> <=> [mm]r^i=e^{\phi}^{-\pi/2}[/mm]
Nein, so geht das nicht !
Es ist [mm] z^i=e^{i*log(z)}.
[/mm]
Ist nun z so, dass [mm] z^i=e^{- \pi/2}, [/mm] so ex. ein $l [mm] \in \IZ$ [/mm] mit
(1) $i*log(z)=- [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] +2l [mm] \pi*i$
[/mm]
Weiter ex. ein k [mm] \in \IZ [/mm] mit
(2) $log(z)=log(|z|)+ i* [mm] \phi [/mm] + i*2k* [mm] \pi$
[/mm]
Jetzt mach Du was aus den Gleichungen (1) und (2)
FRED
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Hallo Fred,
danke für deine Mühe, aber hier habe ich definitiv Wissenlücken.
warum steht auf der rechten Seite anstatt $ [mm] =(e^{-\pi/2}) [/mm] $
jetzt $ [mm] =e^{i\cdot{}log(z)} [/mm] $ ?
was ist das für eine Regel?
"Ist nun z so, dass $ [mm] z^i=e^{- \pi/2}, [/mm] $ so ex. ein $ l [mm] \in \IZ [/mm] $ mit"
warum existiert ein $ l [mm] \in \IZ [/mm] $?
Tut mir leid, kann das momentan schlecht nachvollziehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für deine Mühe, aber hier habe ich definitiv
> Wissenlücken.
>
> warum steht auf der rechten Seite anstatt [mm]=(e^{-\pi/2})[/mm]
> jetzt [mm]=e^{i\cdot{}log(z)}[/mm] ?
Weil [mm] z^i=e^{i\cdot{}log(z)}
[/mm]
Oder was verstehst Du unter [mm] z^i [/mm] ?????
>
> was ist das für eine Regel?
>
> "Ist nun z so, dass [mm]z^i=e^{- \pi/2},[/mm] so ex. ein [mm]l \in \IZ[/mm]
> mit"
>
> warum existiert ein [mm]l \in \IZ [/mm]?
Für komplexe Zahlen u und v gilt: [mm] e^u=e^v \gdw [/mm] es ex. ein $l [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $u=v +2 [mm] \pi [/mm] i*l$
FRED
>
> Tut mir leid, kann das momentan schlecht nachvollziehen...
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Weil $ [mm] z^i=e^{i\cdot{}log(z)} [/mm] $
ok danke. Jetzt ist es auch bei mir angekommen.
Für komplexe Zahlen u und v gilt: $ [mm] e^u=e^v \gdw [/mm] $ es ex. ein $ l [mm] \in \IZ [/mm] $ mit $ u=v +2 [mm] \pi i\cdot{}l [/mm] $
das ist mir aber wirklich neu. Ich melde mich heute Abend wieder.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Di 04.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Weil [mm]z^i=e^{i\cdot{}log(z)}[/mm]
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> ok danke. Jetzt ist es auch bei mir angekommen.
>
> Für komplexe Zahlen u und v gilt: [mm]e^u=e^v \gdw[/mm] es ex. ein
> [mm]l \in \IZ[/mm] mit [mm]u=v +2 \pi i\cdot{}l[/mm]
>
> das ist mir aber wirklich neu.
Tatsächlich ?
Hattet Ihr denn nicht, das die Exponentialfunktion im Komplexen $2 [mm] \pi [/mm] *i$ - periodisch ist ?
FRED
> Ich melde mich heute Abend
> wieder.
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