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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Komplexe Gleichung
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Komplexe Gleichung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 19.03.2014
Autor: Boastii

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
[mm] z^3 = 2 [/mm]

Grüßt Euch,

nun ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich da rann gehen soll. Mir ist klar dass es eine Lösung gibt - eine reelle - [mm] z_1 = \wurzel[3]{2} [/mm]. Mir ist nur schleierhaft wie ich auf die andern beiden komplexen Lösungen kommen kann..

Ich hoffe Ihr könnt mir da weiterhelfen.

Lg Boastii

        
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Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Mi 19.03.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

hast du die Gleichung [mm] z^n=a [/mm] so ergibt sich als Lösung:

   [mm] z_k=\sqrt[n]{|a|}\exp\left(\frac{i\phi+2\pi ik}{n}\right) [/mm]

wobei natürlich k=0,1,2,...,n-1


Alternativ könnte man auch den Ansatz über z=a+ib wählen. Doch die anschließenden Rechnungen sind wohl sehr unangenehm.

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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:13 Mi 19.03.2014
Autor: Boastii

Okay vielen Dank soweit,

ich werde nun versuchen das anzuwenden:

[mm] z^n = a [/mm]
nun sei bei meiner Aufgabe [mm] n=3 , a=2 [/mm]

weiter sei für meine Aufgabe:

[mm] z_0= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi }{3}) [/mm]
[mm] z_1= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi + 2\pi i }{3}) [/mm]
[mm] z_2= \wurzel[3]{2} exp(\frac{i \phi + 4\pi i }{3}) [/mm]

So aber da ist ja überhaupt nicht die einfache reelle Lösung dabei.
meine Frage wäre jetzt nur, was wäre jetzt hier [mm] \phi [/mm] ?

Lg Boastii

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Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Mi 19.03.2014
Autor: leduart

Hallo
was ist denn das Argument  [mm] \phi [/mm] von 2 wenn du [mm] 2=2*e^{i*\phi} [/mm] schreibst. denk dran [mm] \phi [/mm] ist der Winkel zur reellen Achse.
(vielleicht übst du dann noch mal mit [mm] z^3=-2 [/mm] und [mm] z^3=2i [/mm] )
Gruß leduart

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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Guten Tag,
danke erstmal für eure Antworten.

Also damit
[mm] 2 = 2 * e^{ i \phi } [/mm] gilt, muss [mm] e^{i \phi} = 1 [/mm] sein, und das geht meiner Meinung nach nur wenn [mm] \phi = 0 [/mm] ist. ?

wie kann ich denn Phi allgemein berechnen?

Wünsche Euch noch einen schönen sonnigen Tag
Mfg

Bezug
                                        
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Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Do 20.03.2014
Autor: MathePower

Hallo Boastii,

> Guten Tag,
> danke erstmal für eure Antworten.
>  
> Also damit
> [mm]2 = 2 * e^{ i \phi }[/mm] gilt, muss [mm]e^{i \phi} = 1[/mm] sein, und
> das geht meiner Meinung nach nur wenn [mm]\phi = 0[/mm] ist. ?
>
> wie kann ich denn Phi allgemein berechnen?
>


Nun, da die Exponentialfunktion im Komplexen periodisch ist,
ergeben sich die Lösungen zu:

[mm]\phi_{k}=2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]


> Wünsche Euch noch einen schönen sonnigen Tag
>  Mfg


Gruss
MathePower

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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Guten Tag,

Okay ich habe jetzt auch gesehen das [mm] tan(\phi)= \frac{y}{x} [/mm] gilt, diese Lösung jetzt nur für [mm] tan(\ohi) = 0 [/mm]. Wahrscheinlich oder?

ich werde das jetzt mal versuchen und dann meine Lösung hier präsentieren.

Lg Boastii

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Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Do 20.03.2014
Autor: MathePower

Hallo   Boastii,

> Guten Tag,
>
> Okay ich habe jetzt auch gesehen das [mm]tan(\phi)= \frac{y}{x}[/mm]
> gilt, diese Lösung jetzt nur für [mm]tan(\ohi) = 0 [/mm].
> Wahrscheinlich oder?
>


Das ist eine Lösung, wenn y=0 und [mm]x\not=0[/mm].


> ich werde das jetzt mal versuchen und dann meine Lösung
> hier präsentieren.
>
> Lg Boastii


Gruss
MathePower

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Komplexe Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Ahh ich glaube ich habe es:

[mm] z^3 = 2 [/mm]

Anwendung der Moivre-Formel:

mit [mm] r= \wurzel{2^2+0^2 } = 2 [/mm]
und [mm] [mm] \phi [/mm] = artan(0/2) +  2k [mm] \pi [/mm] = [mm] 2k\pi[/mm]  [mm]

somit sind die Lösungen:
[mm] z_0 = \wurzel[3]{2} * exp(\frac{i*0 + 0*2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} [/mm]
[mm] z_1= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{2i\pi + 2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2}* exp(\frac{4i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} * \wurzel[3]{(-1)^4}= -\wurzel[3]{2}* \wurzel[3]{(-1)} = -\wurzel[3]{2*(-1)} = -\wurzel[3]{-2}[/mm]
[mm] z_2= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{8i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} *\wurzel[3]{(-1)^8} = \wurzel[3]{2} *(-1)^{\frac{2}{3}} [/mm]

Ich denke ich habe es verstanden, danke für Eure Mühe und Hilfe.

Liebe Grüße Boastii

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Komplexe Gleichung: nicht richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Do 20.03.2014
Autor: Loddar

Hallo Boastii!


Ich befürchte, so ganz verstanden hast Du es doch noch nicht.


> mit [mm]r= \wurzel{2^2+0^2 } = 2[/mm]

[ok]


> und [mm]\phi[/mm] = artan(0/2) + 2k [mm]\pi[/mm] = [mm]2k\pi[/mm]

[notok] Es gilt hier schlicht: [mm]\varphi \ = \ \arctan\left(\bruch{0}{2}\right) \ = \ \arctan(0) \ = \ 0[/mm] .


> [mm]z_0 = \wurzel[3]{2} * exp(\frac{i*0 + 0*2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2}[/mm]

[ok] Das sieht noch okay aus.


> [mm]z_1= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{2i\pi + 2i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2}* exp(\frac{4i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} * \wurzel[3]{(-1)^4}= -\wurzel[3]{2}* \wurzel[3]{(-1)} = -\wurzel[3]{2*(-1)} = -\wurzel[3]{-2}[/mm]

Ab hier wird es sehr abenteuerlich. Wie kommst Du urplötzlich auf die Wurzeln aus [mm](-1)_[/mm] ?

Es gilt:

[mm]z_{\red{1}} \ = \ \wurzel[3]{2}*\exp\left(\bruch{0+\red{1}*2\pi}{3}*i\right) \ = \ \wurzel[3]{2}*\exp\left(\bruch{2\pi}{3}*i\right) \ = \ \wurzel[3]{2}*\left[\cos\left(\bruch{2\pi}{3}\right)+i*\sin\left(\bruch{2\pi}{3}\right)\right] \ = \ \wurzel[3]{2}*\left[-\bruch{1}{2}+i*\bruch{\wurzel{3}}{2}\right][/mm]


> [mm]z_2= \wurzel[3]{2} * exp(\frac{8i\pi}{3}) = \wurzel[3]{2} *\wurzel[3]{(-1)^8} = \wurzel[3]{2} *(-1)^{\frac{2}{3}}[/mm]

Noch abenteuerlicher. Siehe oben!



Gruß
Loddar

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Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Hallo Loddar,

Also ich hatte gedacht das ich das so einfach machen kann da ja [mm] [mm] e^{i\pi} [/mm] = -1 [mm] gilt?
Und wenn man das einsetzt komme ich auf meine Lösungen.

Also ich werde mich nochmal dran setzten und alles neu  versuchen.

danke soweit aber :)

MfG

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Komplexe Gleichung: Rechenfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Do 20.03.2014
Autor: Loddar

Hallo Boastii!


> Also ich hatte gedacht das ich das so einfach machen kann
> da ja [mm]e^{i\pi} = -1 [/mm] gilt?

Aber Du rechnest dann falsch weiter. Es gilt z.B.:

[mm] $\wurzel[3]{(-1)^4} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[3]{\red{+}1} [/mm] \ = \ [mm] \red{+}1$ [/mm]

Das führt Dich also stets auf die bereits bekannte Lösung [mm] $z_0$ [/mm] .


Gruß
Loddar
 

Bezug
                                                                                                
Bezug
Komplexe Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Do 20.03.2014
Autor: Boastii

Okay, ich werde es gleich nochmal versuchen und gleich Lösungen von 2 Aufgaben hier posten :)

Danke für Eure Geduld ;)

Bezug
        
Bezug
Komplexe Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Mi 19.03.2014
Autor: reverend

Hallo Boastii,

> Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung:
>  [mm]z^3 = 2[/mm]
>  Grüßt Euch,
>  
> nun ich habe irgendwie keine Ahnung wie ich da rann gehen
> soll. Mir ist klar dass es eine Lösung gibt - eine reelle
> - [mm]z_1 = \wurzel[3]{2} [/mm]. Mir ist nur schleierhaft wie ich
> auf die andern beiden komplexen Lösungen kommen kann..

Ihr solltet die MBMoivre-Formel gehabt haben.
Das ist letztlich der gleiche Tipp wie richies.

Grüße
reverend

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