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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Sa 15.03.2008 | | Autor: | MALPI |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
z [mm] \in \IC
[/mm]
[mm] z^2 [/mm] = z*^2 |
Hallo,
folgendes, habe die Gleichung mit hilfe der 1. und 2. Binomischen Formel aufgelöst:
[mm] (a+bi)^2 [/mm] = [mm] (a-bi)^2
[/mm]
[mm] a^2+2*a*b*i-b^2 [/mm] = [mm] a^2-2*a*b*i-b^2
[/mm]
4*a*b*i = 0
Denke das ist ja soweit richtig?? Aber was ist nun meine komplexe Lösung?!
MfG
MALPI
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Sa 15.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden
> Gleichungen:
>
> z [mm]\in \IC[/mm]
>
> [mm]z^2[/mm] = z*^2
> Hallo,
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> folgendes, habe die Gleichung mit hilfe der 1. und 2.
> Binomischen Formel aufgelöst:
>
> [mm](a+bi)^2[/mm] = [mm](a-bi)^2[/mm]
>
> [mm]a^2+2*a*b*i-b^2[/mm] = [mm]a^2-2*a*b*i-b^2[/mm]
>
> 4*a*b*i = 0
Hallo,
das Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null ist.
Wenn a=0 ist, dann ist b beliebig, und es gilt z=b*i (z ist also rein imaginär).
Wenn b=0 ist, dann ist a beliebig, und es ist z=a (z ist dann also reell).
Wenn du Polarkoordinaten benutzt, lautet deine Gleichung
[mm] r^2*(\cos{2\phi}+i\sin{2\phi})= r^2*(\cos{-2\phi}+i\sin{-2\phi}),
[/mm]
woraus [mm] \sin{2\phi}=\sin{-2\phi}=-\sin{2\phi} [/mm] folgt,
also [mm] \sin{2\phi}=0 [/mm] und damit [mm] \phi=k*\pi/2.
[/mm]
Gruß
Abakus
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> Denke das ist ja soweit richtig?? Aber was ist nun meine
> komplexe Lösung?!
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> MfG
>
> MALPI
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