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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Do 11.02.2010 | | Autor: | MarieHB |
| Aufgabe | Finden Sie OHNE TASCHENRECHNER 2 Lösungen der komplexen quadratischen Gleichung
z²+(-2 [mm] \wurzel{3} [/mm] + 4i)z+ [mm] (-3-2\wurzel{3i})=0
[/mm]
Die Lösungen müssen in der Form x+iy mit x,y Element R angegeben werden.
Hinweis: Rechnen Sie die Zahl unter dem Wurzelzeichenin die Exponentialdarstellung um, um damm die "Wurzel" berechnen zu können.
Die Lösungen sind -i und [mm] 2\wurzel{3} [/mm] -3i. |
Ich hab nun hin und her gerechnet. Habe [mm] \wurzel{3i} [/mm] zunächst in [mm] \wurzel{3e^\bruch{i*\pi}{2}} [/mm] und dann in [mm] 3e^{\bruch{\pi*i}{4}} [/mm] umgerechnet.
Durch quadratische Ergänzung bin ich dann auf [mm] (z+(-\wurzel{3}+2i))²=2+6e^{\bruch{i*\pi}{4}} -4\wurzel{3}i [/mm]
gekommen. Aber ich weiß nicht, wie ich weiter machen soll, bzw ob das so überhaupt stimmt, was ich getan hab.
Hab noch überlegt [mm] 6e^\bruch{i*\pi}{4} [/mm] wieder in 3 [mm] \wurzel{2}+ [/mm] 3 [mm] \wurzel{2}i [/mm] umzuschreiben. Aber das hilft mir auch nicht richtig weiter, da ich keinen Taschenrechner benutzen darf.
Danke euch schon mal für die Hilfe.
Marie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Do 11.02.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich versteh ehrlich gesagt nicht genau was du da alles gerechnet hast - habs jetzt nicht ne Stunde nachgerenchet.
Aber versuchs doch mal mit einer Substitution.
b = [mm] (-2*3^{1/2} [/mm] + 4i)
c = -3 [mm] -2*(3i)^{1/2}
[/mm]
nach dem auflösen nach z must du nur noch einsetzen und das ganze "nur" noch schön hinschreiben. Wenn du die Rechenregeln für komplexe Zahlen im griff hast sollte das ja dann kein Problem sein...
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 15.02.2010 | | Autor: | MarieHB |
| Aufgabe | | Frage zur Antwort |
Was soll mir das bringen? Ob ich nun wurzel (3i) da stehen hab oder (3i)^(1/2) ist doch Jacke, wie Hose.
An der Aufgabe haben sich schon einige die Zähne ausgebissen. Wenn du damit zur Lösung kommst, würd ich es gern hören.
Aber ich bezweifle das stark, wenn du nicht mal verstehst, was ich da versucht hab rum zu rechnen...
Es ist doch nun einfach so, dass man ohne umformen die Wurzel aus i nicht ziehen kann...
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Hallo MarieHB,
> Frage zur Antwort
> Was soll mir das bringen?
Toll, nett von dir, kein Gruß, kein Danke ...
Lies mal die Forenregeln! Frechheit, sowas!
> Ob ich nun wurzel (3i) da stehen
> hab oder (3i)^(1/2) ist doch Jacke, wie Hose.
Wie ist denn "die" komplexe Wurzel definiert??
>
> An der Aufgabe haben sich schon einige die Zähne
> ausgebissen. Wenn du damit zur Lösung kommst, würd ich es
> gern hören.
>
> Aber ich bezweifle das stark, wenn du nicht mal verstehst,
> was ich da versucht hab rum zu rechnen...
Ganz schön frech!
Naja, du hast dich zum einen vertippt, wie Al Chw. schon angemerkt hat, die angegebenen Lösungen gibt es nur, falls hinten [mm] $\sqrt{3}\cdot{}i$ [/mm] steht ...
Zum anderen musst du die Wurzeln so berechnen:
Für [mm] $z=r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i}$ [/mm] ist [mm] $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\cdot{}e^{\frac{\varphi+2k\pi}{n}i}$ [/mm] für $k=0,1,...,n-1$
Hier hast du also 2 Wurzeln ...
Berechne das mal erneut ...
Ich würde aber zunächst die quadratische Ergänzung machen, und dann den Driss umwandeln:
[mm] $z^2+(-2\sqrt{3}+4i)z+(-3-2\sqrt{3}i)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \left[z+(-\sqrt{3}+2i)\right]^2-(-1-4\sqrt{3}i)+(-3-2\sqrt{3}i)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw \left[z+(-\sqrt{3}+2i)\right]^2=2-2\sqrt{3}i$
[/mm]
Nun die Umwandlung und dann wie oben beschrieben ...
>
> Es ist doch nun einfach so, dass man ohne umformen die
> Wurzel aus i nicht ziehen kann...
Gruß
schachuzipus
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> Finden Sie OHNE TASCHENRECHNER 2 Lösungen der komplexen
> quadratischen Gleichung
> z²+(-2 [mm]\wurzel{3}[/mm] + 4i)z+ [mm](-3-2\wurzel{3i})=0[/mm]
Hallo Marie,
bist du sicher, dass du die Gleichung richtig wiedergegeben hast ?
Mir scheint der Teilterm [mm] \wurzel{3i} [/mm] sonderbar. Sollte der nicht so lauten:
[mm] \wurzel{3}\,i
[/mm]
LG
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meine Vermutung war übrigens richtig - ich habe nachgerechnet !
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