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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Komplexe Integrale
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Komplexe Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:49 Fr 17.07.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
a) Bestimme [mm] \integral_{\partial D_2(0)}{\bruch{e^z}{(z-1)^n} dz} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm]

b) Sei [mm] \gamma [/mm] ein Integrationsweg in [mm] \IC [/mm] von 0 nach 2 mit 1 [mm] \not\in Sp(\gamma). [/mm] Welche Werte sind dann für das Integral [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm]
möglich?

Hallo,

zu a) hier gedenke ich die CIF für Ableitungen zu verwenden:
[mm] \integral_{\partial D_2(0)}{\bruch{e^z}{(z-1)^n} dz} [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi i}{(n-1)!} f^{(n-1)}(1) =\bruch{2 \pi i e}{(n-1)!} [/mm]

zu b) Hier weiß ich gar nicht, wie ich anfangen soll weil [mm] \gamma [/mm] ja beliebig ist...

        
Bezug
Komplexe Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:25 So 19.07.2015
Autor: Trikolon

Hat niemand eine Idee? Speziell für Teil b)? Hier hab ich nämlich keinen Ansatz...

Bezug
        
Bezug
Komplexe Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:48 Mo 20.07.2015
Autor: fred97

a) hast Du richtig.

Zu b): zunächst ist $ [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma} [/mm] {(-1) dz }-  [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}$ [/mm]

1. Zeige durch direkte Rechnung: [mm] $\integral_{\gamma} [/mm] {(-1) dz }=-1$

2. Setze [mm] c(t):=1+e^{-it} [/mm]  , $t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \pi]$, [/mm]  und zeige durch direkte Rechnung:

$ [mm] \integral_{c} {\bruch{1}{z-1} dz}=-i \pi$ [/mm]

3. Setze [mm] \Gamma:=\gamma+c. [/mm] Dann ist [mm] \Gamma [/mm] ein geschlossener Integrationsweg und

    [mm] $\integral_{\Gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] *ind(\Gamma,1)$, [/mm]

wobei $ind$ die Umlaufzahl bezeichne.

Damit haben wir:

   $2 [mm] \pi [/mm] i [mm] *ind(\Gamma,1)=$\integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}+$\integral_{c} {\bruch{1}{z-1} dz}=\integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}-i \pi$, [/mm]

also

$ [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}= [/mm] i [mm] \pi [/mm] +2 [mm] \pi [/mm] i [mm] *ind(\Gamma,1)= [/mm] i [mm] \pi(1+2*ind(\Gamma,1))$ [/mm]


Daher haben wir:

$ [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] = [mm] \integral_{\gamma} [/mm] {(-1) dz }-  [mm] \integral_{\gamma} {\bruch{1}{z-1} dz}=-1- [/mm] i [mm] \pi(1+2*ind(\Gamma,1))$ [/mm]

Nun ist $ [mm] ind(\Gamma,1) \in \IZ$. [/mm] Das liefert:

$ [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} \in \{-1+(2k+1) \pi i: k \in \IZ\}=:M.$ [/mm]

Fazit: die Werte, die  [mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z}{1-z} dz} [/mm] annehmen kann, liegen in $M$.

So, nun zeige Du durch geeignete Wahl von [mm] \gamma: [/mm]

  ist $m [mm] \in [/mm] M$, so gibt es einen Integrationsweg [mm] \gamma_m [/mm] in $ [mm] \IC [/mm] $ von 0 nach 2 mit 1 $ [mm] \not\in Sp(\gamma_m) [/mm] $  und

  [mm] $\integral_{\gamma_m}{\bruch{z}{1-z} dz}=m$ [/mm]

Viel Spass

FRED

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Komplexe Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:41 Di 21.07.2015
Autor: Trikolon

Hallo Fred, danke für deine Erklärungen!!!

Ein Integral hätte ich noch:


[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{i t x}}{(x+i)^2} dx} [/mm] soll für alle t [mm] \in \IR [/mm] berechnet werden.

Ich erhalte [mm] res(f,-i)=ite^t [/mm] und damit für das Integral den Wert 2 [mm] \pi te^t [/mm]


Bezug
                        
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Komplexe Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 Di 21.07.2015
Autor: fred97


> Hallo Fred, danke für deine Erklärungen!!!
>  
> Ein Integral hätte ich noch:
>  
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{i t x}}{(x+i)^2} dx}[/mm]
> soll für alle t [mm]\in \IR[/mm] berechnet werden.
>  
> Ich erhalte [mm]res(f,-i)=ite^t[/mm] und damit für das Integral den
> Wert 2 [mm]\pi te^t[/mm]
>  


Zeige Deine Rechnungen ! Was ist bei Dir f ?

FRED

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Komplexe Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:30 Di 21.07.2015
Autor: Trikolon

[mm] f(z)=\bruch{e^{itz}}{(z+i)^2}. [/mm] f hat ja in -i (Imaginärteil <0) einen Pol zweiter Ordnung

[mm] [(z+i)^2 [/mm] f(z)]'= [mm] ite^{itz} [/mm] ---> GW für z gegen -i: [mm] ite^t [/mm]

Also für t<0 ergibt sich für das Integral der Wert 2 [mm] \pi te^t [/mm]

Und für t>0 ergibt sich der Wert 0?

Bezug
                                        
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Komplexe Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:34 Di 21.07.2015
Autor: fred97


> [mm]f(z)=\bruch{e^{itz}}{(z+i)^2}.[/mm] f hat ja in -i
> (Imaginärteil <0) einen Pol zweiter Ordnung
>  
> [mm][(z+i)^2[/mm] f(z)]'= [mm]ite^{itz}[/mm] ---> GW für z gegen -i: [mm]ite^t[/mm]
>  
> Also für t<0 ergibt sich für das Integral der Wert 2 [mm]\pi te^t[/mm]

Wieso ?????


>  
> Und für t>0 ergibt sich der Wert 0?

Wieso ???

Lies das mal:

https://matheraum.de/read?i=1062296

FRED


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Komplexe Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Di 21.07.2015
Autor: fred97

Ich hab keine Ahnung wie Du gerechnet hast. Aber ich bin mir sicher dass es falsch ist, denn

$| [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{e^{i t x}}{(x+i)^2} dx}| \le \integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{|e^{i t x}|}{|x+i|^2} dx} =\integral_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^2} dx}= \pi$ [/mm] .

Wäre Deine Rechnung richtig, so hätten wir

  $ 2  [mm] \pi [/mm] | [mm] t|e^t \le \pi$ [/mm]  für alle t [mm] \in \IR. [/mm]

Also

    $  | [mm] t|e^t \le \bruch{1}{2}$ [/mm]  für alle t [mm] \in \IR, [/mm]

was sicher nicht stimmt.

FRED



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Komplexe Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Di 21.07.2015
Autor: Trikolon

Und wie würde man dann vorgehen?

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Komplexe Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:49 Mi 22.07.2015
Autor: fred97


> Und wie würde man dann vorgehen?

Ich zeig Dir mal, wie ich das gemacht habe für t [mm] \ge [/mm] 0.

(Den Fall t<0 darfst Du Dir selbst überlegen).

Sei [mm] f(z):=\bruch{e^{itz}}{(z+i)^2} [/mm]  und [mm] $G:=\{z \in \IC: Im(z)>-1\}. [/mm] Dann ist f auf G holomorph und G ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet.

Sei R>1,

   [mm] K_R(x):=Re^{ix} [/mm]  für $x [mm] \in [0,\pi]$ [/mm]  , [mm] S_R(x)=x [/mm] für $x [mm] \in [/mm] [-R,R]$

und [mm] C_R:=K_R+S_R. [/mm] Dann ist [mm] C_R [/mm] ein geschlossener Integrationsweg in G.

Nach Cauchy ist also:

     [mm] \integral_{C_R}^{}{f(z) dz}=0. [/mm]

Somit:

    (*) $ [mm] \integral_{- R}^{R}{f(x) dx} =\integral_{S_R}^{}{f(z) dz}=-\integral_{K_R}^{}{f(z) dz}$ [/mm]

Nun sei $z [mm] \in Sp(K_R)$ [/mm]

Dann ist

(1) $R-1=|z|-|i| [mm] \le [/mm] |z+i|$, also [mm] $|z+i|^2 \ge (R-1)^2$ [/mm]

und

[mm] $|e^{itz}|=e^{-t*Im(z)}$ [/mm]

Wegen t [mm] \ge [/mm] 0 und Im(z) [mm] \ge [/mm] 0 ist dann

(2)  [mm] |e^{itz}| \le [/mm] 1.

Aus (1) und (2) folgt:

  $|f(z)| [mm] \le \bruch{1}{(R-1)^2}$. [/mm]

Daraus folgt nun mit der Standardabschätzung für Wegintegrale:

$ [mm] |\integral_{K_R}^{}{f(z) dz}| \le \bruch{1}{(R-1)^2}* \pi*R$. [/mm]

(Länge von [mm] K_R [/mm] = [mm] $\pi*R$). [/mm]

Also haben wir:  $ [mm] |\integral_{K_R}^{}{f(z) dz}| \to [/mm] 0$  für $R [mm] \to \infty$. [/mm]

Aus (*) folgt schließlich

    $ [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{f(x) dx}=0$ [/mm]


FRED


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