Komplexe Integrale < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a) Berechne [mm] \integral_{|z|=1}{\bruch{sin z}{z}dz},
[/mm]
[mm] \integral_{|z+1|=1}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^3}}
[/mm]
(b) Sei f: [mm] \IC \to \IC [/mm] holomorph und [mm] z_1, z_2 \in \IC, z_1 \not= z_2. [/mm] Zeige:
[mm] \integral_{|z|=r}{\bruch{f(z)}{(z-z_1)(z-z_2)}dz} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] \bruch{f(z_2)-f(z_1)}{z_2-z_1} [/mm] falls r > max [mm] \{|z_1|,|z_2| \}.
[/mm]
Was gilt für [mm] z_2 \to z_1?
[/mm]
|
Hallo!
(a) Ich habe die einfach mit der Cauchyschen Integralformel gelöst und beim ersten 0 und beim zweiten - [mm] \bruch{1}{4} \pi [/mm] i rausbekommen. kann das jemand bestätigen oder mir erklären wie man es "richtiger" macht? 
(b) Hier hänge ich leider fest:
Beide Polstellen sind im Integrationsgebiet, weshalb ja die Cauchy-Integralformel nicht anwendbar ist. Wie kann ich da sonst rangehen?
Wenn man das Ergebnis hat deutet der Grenzprozess wegen der holomorphie auf 2 [mm] \pi [/mm] i [mm] f'(z_1) [/mm] hin.
Bin dankbar für jeden Tip.
GREETz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:33 Di 19.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> (a) Ich habe die einfach mit der Cauchyschen
> Integralformel gelöst und beim ersten 0 und beim zweiten -
> [mm]\bruch{1}{4} \pi[/mm] i rausbekommen. kann das jemand bestätigen
> oder mir erklären wie man es "richtiger" macht?
Habe ich auch - aber im Regelfall solltest du auch dne Rechenweg mitposten, sonst kann es im Fehlerfall niemand berichtigen.
> (b) Hier hänge ich leider fest:
> Beide Polstellen sind im Integrationsgebiet, weshalb ja
> die Cauchy-Integralformel nicht anwendbar ist. Wie kann ich
> da sonst rangehen?
Benutze die PBZ: [m]\bruch{A}{z-z_1}+\bruch{B}{z-z_2} = \bruch{1}{(z-z_1)(z-z_2)}[/m]. Und dann Additivität vom Integral und Cauchyformel.
> Wenn man das Ergebnis hat deutet der Grenzprozess wegen
> der holomorphie auf 2 [mm]\pi[/mm] i [mm]f'(z_1)[/mm] hin.
Ja sicher.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 20.05.2009 | | Autor: | Tina3 |
Hallo! Ich muss diese Aufgabe auch bearbeiten und hab noch ein paar Fragen. Die a) habe ich auch mit der Cauchy-Integralformel gelöst und bei der ersten auch 0 raus jedoch bei der zweiten [mm] \bruch{-1}{32}*\pi*i [/mm] und nicht das wie ihr. Kann mir jemand sagen wo mein Fehler liegt ich finde ihn nicht :-(
f(z) ist bei mir [mm] =\bruch{1}{(z-1)^{3}} [/mm] die ist holomorph auf Kreisgebiet, und dann habe ich wie folgt die Cauchy-Integralformel angewendet:
[mm] f(-1)*2*\pi*i=\integral_{}^{}{\bruch{dz}{(z+1)(z-1)^{3}} dx} [/mm] und [mm] f(-1)=\bruch{1}{(-4)^{3}}
[/mm]
Es wäre super wenn mir jemand meinen Fehler sagt!
zur b) die idee ist mir klar aber ich bekomm irgendwie nicht raus was A und B bei der Partialbruchzerlegung für Werte annimmt, die müssen ja irgendwie dafür verantwortlich sein, dass unten auf der rechten Seite der Nenner [mm] z_{2}-z_{1} [/mm] ist, vielleicht kann mir da auch jemand helfen?
|
|
|
| |
|
Hi!
[mm] f(z)=\bruch{1}{(z-1)^{3}} [/mm]
[mm] f(-1)=\bruch{1}{(-1-1)^{3}} =\bruch{1}{(-2)^{3}} [/mm]
woher deine -4 kommt weis ich net, wahrscheinlich einfach verschrieben.
Zu der Partialbruchzerlegung:
Du zerlegst den Integrand ohne das f(z) in Partialbrüche, ich denke das ist dir ein Begriff. Bei den Umformungen erhälst du etwas von der Form:
1=(A+B)z - [mm] Az_2 [/mm] - [mm] Bz_1
[/mm]
Damit das für alle z [mm] \in \IC [/mm] gilt folgt:
A+B=0 und -A [mm] z_2 [/mm] - [mm] Bz_1=1
[/mm]
und jetzt ist es nur noch einsetzen.
Viel Erfolg
GREETz
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Do 21.05.2009 | | Autor: | Tina3 |
gute Frage wo die 4 herkommt 
und danke für den Tipp bei b) ich war mir irgendwie nicht sicher wie ich A und B wählen muss damit da dann 1 rauskommt, aber so macht Sinn!
Lieben Gruß Tina3
|
|
|
|
