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Komplexe Kurvenintegrale : Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:44 Sa 21.05.2005
Autor: Sinchen2306

Hallo zusammen,
habe da eine Aufgabe:
für R>0 berechne [mm] \integral_{\gamma} [/mm] {Log(z) dz} für [mm] \gamma :[-\bruch{\pi}{2}, \bruch {\pi}{2}] \to \IC [/mm] mit [mm] \gamma [/mm] (t) = [mm] Re^{it} [/mm]

Habe das jetzt folgendermaßen gemacht:

[mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt} [/mm]
Dann hab ich die gegebene Funktion , also Log, für f eingesetzt, also
[mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {Log(Re^{it})Rie^{it} dt} [/mm]

dann hab ich fleissig rumgerechnet und bekomme dann zum Schluss
als Ergebnis Ri(Log(Ri) +Log(R(-i))) - [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] raus
Aber der Log ist doch für negative Zahlen nicht definiert!
Oder wie sieht das hier aus?Kommt mir etwas komisch vor...

Und da wär noch was:
[mm] \integral_{|z|=R} {\bruch{sinz}{z} dz} [/mm]

wie muss ich denn da mit dem  |z|=R umgehen? Und mach ich das mit der Stammfunktion mit partieller Integration? Hab ich probiert, aber nicht hingekriegt! Wie wähle ich, wenn mit part. Integration, mein f und mein g' ?

Wär echt ganz supertoll, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!
Gruß,
Sina

        
Bezug
Komplexe Kurvenintegrale : Log(-1)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Sa 21.05.2005
Autor: Paulus

Hallo Sinchen

ich kann deine Frage (noch) nicht ganz beantworten, aber eines hat mich schon stutzig gemacht, und das verlangt nach Aufklärung:

>  Aber der Log ist doch für negative Zahlen nicht
> definiert!

Das kannst du aber nicht im Ernst sagen, oder? Wenn du dich schon mit Funktionentheorie beschäftigst. ;-)

Der Logarithmus als Funktion von [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist für negative Zahlen tatsächlich nicht definiert.

Der Logarithmus ist ja nur die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion [mm] $e^z$, [/mm] wobei du diese Funktion als Potenzreihe denken musst. Nicht als e hoch eine reelle oder komplexe Zahl.

So, und was ist denn zum Beispiel [mm] $e^{\pi*i}$ [/mm]

Ich denke, das gibt $-1_$.

[mm] $e^{\pi*i}=-1$ [/mm]

Und jetzt setzen wir den Logarithmus an:

[mm] $\log(e^{\pi*i})=\log(-1)$ [/mm]

[mm] $\pi*i=\log(-1)$ [/mm]

Etwas allgemeiner: der Logarithmus hat unendlich viele Werte:

[mm] $\log(-1)=(2k+1)\pi*i$ [/mm]

Weil gilt: [mm] $e^{(2k+1)\pi*i}=-1$ [/mm]

Alles klar?

Mit lieben Grüssen

Paul



Bezug
        
Bezug
Komplexe Kurvenintegrale : Antwort (editiert)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Di 24.05.2005
Autor: Julius

Hallo Sinchen!

>  für R>0 berechne [mm]\integral_{\gamma}[/mm] {Log(z) dz} für [mm]\gamma :[-\bruch{\pi}{2}, \bruch {\pi}{2}] \to \IC[/mm]
> mit [mm]\gamma[/mm] (t) = [mm]Re^{it}[/mm]
>  
> Habe das jetzt folgendermaßen gemacht:
>  
> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt}[/mm]

[ok]
  

> Dann hab ich die gegebene Funktion , also Log, für f
> eingesetzt, also
>  [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}} {Log(Re^{it})Rie^{it} dt}[/mm]

[ok]
  

> dann hab ich fleissig rumgerechnet

Leider aber nicht ganz richtig... ;-)

> und bekomme dann zum
> Schluss
>  als Ergebnis Ri(Log(Ri) +Log(R(-i))) - [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> raus

[notok]

Es gilt für den Hauptzweig des Logarithmus:

[mm] $\mboc{Log}(Re^{it}) [/mm] = [mm] \log(R) [/mm] + it$      für $- [mm] \pi [/mm]  <t< [mm] \pi$. [/mm]

Daher haben wir hier

[mm] $\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (\log(R) [/mm] +it) [mm] \cdot Rie^{it}\, [/mm] dt [mm] =i\log(R)R \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}e^{it}\, dt-R\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}te^{it}\, [/mm] dt$

zu berechnen. Versuche das bitte mal.

>  Aber der Log ist doch für negative Zahlen nicht
> definiert!

Das stimmt (nach Ansicht der meisten Autoren ;-)), wenn Log den Hauptzweig bezeichnet. Allerdings könnte man dann einen Nebenzweig betrachten. Hier allerdings ist es völlig irrelevant, da man gar nicht über die negative reelle Achse integriert.

>  Oder wie sieht das hier aus?Kommt mir etwas komisch
> vor...
>  
> Und da wär noch was:
>  [mm]\integral_{|z|=R} {\bruch{sinz}{z} dz}[/mm]
>  
> wie muss ich denn da mit dem  |z|=R umgehen? Und mach ich
> das mit der Stammfunktion mit partieller Integration? Hab
> ich probiert, aber nicht hingekriegt! Wie wähle ich, wenn
> mit part. Integration, mein f und mein g' ?

Ganz einfach wieder parametrisieren:

[mm] $\int\limits_{|z|=R} \bruch{\sin z}{z}\, [/mm] dz = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \frac{\sin(Re^{it})}{Re^{it}} \cdot i\red{R}e^{it}\, [/mm] dt = [mm] i\red{R} \int\limits_0^{2\pi} \sin(Re^{it})\, [/mm] dt = [mm] \ldots$ [/mm]

(Danke, Paul, für die Korrektur! :-))

Viele Grüße
Julius
  

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