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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Mo 07.11.2011 | | Autor: | mart1n |
Hallo zusammen,
ich bin beim Lösen einer Mathe Aufgabe auf ein Problem gestoßen.
Die Aufgabe lautet man soll alle Lösungen für folgende Gleichung angeben:
[mm] z\in\IC
[/mm]
[mm] (z-i)^3=-i
[/mm]
ich habe die Aufgabe bereits gelöst, indem ich [mm] -i=i^3 [/mm] gesetzt habe und die Wurzel gezogen habe und die Restlichen Nullstellen über Polynomdivision bestimmt habe. Nun habe ich mir Überlegt, dass die Aufgabe doch auch durch normales Wurzelziehen mit einer Komplexen Zahl zu lösen sein muss.
Ich bin dazu wie folgt vorgagangen:
1. [mm] i^3=u=1*cos(3\pi/2)+isin(3\pi/2)
[/mm]
2. [mm] u=w^3= |r|^3*(cos (3\delta)+ [/mm] i [mm] sin(3\delta)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] u1= cos [mm] (\pi/2)+i sin(\pi/2)
[/mm]
u2= cos [mm] (7\pi/6)+ [/mm] i [mm] sin(7\pi/6)
[/mm]
u3= cos [mm] (11\pi/6)+ [/mm] i [mm] sin(11\pi/6)
[/mm]
schließlich wollte ich meine drei Lösungen mit (z-i) gleichsetzen.
also: z= a + bi
(z-1)= a+bi - i = [mm] cos\alpha [/mm] + sin [mm] \alpha [/mm] + [mm] sin(3\pi/2)
[/mm]
und hier hänge ich gerade und weis nicht weiter.
Wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir weiter helfen könntet.
Grüße
mart1n!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo zusammen,
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> ich bin beim Lösen einer Mathe Aufgabe auf ein Problem
> gestoßen.
>
> Die Aufgabe lautet man soll alle Lösungen für folgende
> Gleichung angeben:
>
> [mm]z\in\IC[/mm]
> [mm](z-i)^3=-i[/mm]
>
> ich habe die Aufgabe bereits gelöst, indem ich [mm]-i=i^3[/mm]
> gesetzt habe und die Wurzel gezogen habe und die Restlichen
> Nullstellen über Polynomdivision bestimmt habe. Nun habe
> ich mir Überlegt, dass die Aufgabe doch auch durch
> normales Wurzelziehen mit einer Komplexen Zahl zu lösen
> sein muss.
>
> Ich bin dazu wie folgt vorgagangen:
> 1. [mm]i^3=u=1*cos(3\pi/2)+isin(3\pi/2)[/mm]
> 2. [mm]u=w^3= |r|^3*(cos (3\delta)+[/mm] i [mm]sin(3\delta)[/mm]
Deine Notation verstehe ich hier nicht so recht, aber zumindest das Ergebnis scheint zu passen.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] u1= cos [mm](\pi/2)+i sin(\pi/2)[/mm]
> u2=
> cos [mm](7\pi/6)+[/mm] i [mm]sin(7\pi/6)[/mm]
> u3= cos [mm](11\pi/6)+[/mm] i [mm]sin(11\pi/6)[/mm]
Das sind jetzt die Lösungen von [mm] u^3 [/mm] = -i
Jetzt ist der Rest nicht mehr schwer:
Du setzt u = z-i <=> z = u+i und erhältst für die ursprüngliche Gleichung die Lösungen
z1= u1+i, z2 = u2+i und z3 = u3+i
>
> schließlich wollte ich meine drei Lösungen mit (z-i)
> gleichsetzen.
>
> also: z= a + bi
> (z-1)= a+bi - i = [mm]cos\alpha[/mm] + sin [mm]\alpha[/mm] + [mm]sin(3\pi/2)[/mm]
>
> und hier hänge ich gerade und weis nicht weiter.
>
> Wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir weiter helfen
> könntet.
>
> Grüße
> mart1n!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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