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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mi 09.09.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | Was ist
[mm] |z+2|+|z+3i|\le5
[/mm]
für eine Menge?
[mm] z\in\IC [/mm] |
Hi,
Das Bsp. habe ich selbst konstuiert, möchte wissen wie man solch eine Menge löst.
meine erste Vermutung war, es sei ein ausgefullter Kreis mit Rad. 5 und Mittelpunkt -2-3i.
Habe mit MatLab an die 70 Werte durchgehackt, mit der Ergebnis, dass die Menge in der Gegend von -1,5-1,5i mim Rad ca. 2 sich befinden müsste, genaures lässt sich aber nicht sagen. Somit schein meine erste vermutung flasch zu sein!
dann habe ich versucht fur z x und yi einzusetzen und zu lösen:
[mm] |(x+2)+yi|+|x+(yi+3i)|\le5
[/mm]
[mm] \wurzel{(x+2)^2+(yi)^2}+\wurzel{x^2+((y+3)i)^2}\le5
[/mm]
[mm] \wurzel{x^2+2x+4+y^2}+\wurzel{x^2+y^2+6y+9}\le5
[/mm]
komme an dieser Stelle nicht weiter, Hilfe!
Was würde passieren wenn statt + - die Rechenvorschrift wäre also:
[mm] |z+2|-|z+3i|\le5 [/mm] ????
Und noch eine Frage zum Rechnen mit komplexen Zahlen:
angenommen ich habe komplexen Polynom 2 Grades: [mm] z^2+az+b=0 [/mm] mit a,b [mm] \in\IC, [/mm] ich soll alle Lösungen davon bestimmen.
Wende p,q Formel an ... Wurzel aus der Diskrim.(in diesem Fall, Komplexe Zahl), dann erhalte ich 2 Kompl. Zahlen (geicher Betrag, 2 Winkel)...
nun, da [mm] -\bruch{p}{2}\pm [/mm] (meine 2 Kom.Zahlen)-->dann wäre ich schon bei 4 Lösungen für die Gleichung. Zusätlich heißt es wenn z eine Nullstelle ist dann ist auch [mm] \overline{z} [/mm] eine NS...
dann wäre ich bei 8 Lösungen für eien Quadr. gleichung!
wenn ich falsch liege bitte um Korrektur!
Gruss
Alex
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Guten Abend,
Hinweis vorweg: [mm] $|z|=\wurzel{z*\overline{z}}=\wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] (ohne "i"). Der Betrag ist völlig reell (und das ist auch gut so^^).
[mm] |(x+2)+yi|+|x+(yi+3i)|\le5 \gdw
\wurzel{(x+2)^2+(y)^2}+\wurzel{x^2+(y+3)^2}\le5 \gdw
\wurzel{(x+2)^2+(y)^2} \le 5 - \wurzel{x^2+(y+3)^2} \gdw [/mm](Hier Fallunterscheidung)
[mm] (x+2)^2+(y)^2 \le 25 - 2*\wurzel{x^2+(y+3)^2} + x^2+(y+3)^2 \gdw
4x - 6y -30 \le -2 * \wurzel{x^2+(y+3)^2} [/mm]
So kommst du vllt weiter... (Tippfehler und Rechenfehler vorbehalten^^)
Ps.: Ich denke es wird auf was kreisiges hinauslaufen.
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Mi 09.09.2009 | | Autor: | isi1 |
Zunächst die Lösung der Grenze:
$ |z+2|+|z+3i|=5 $
Der geometrische Ort, bei dem die Summe der Abstände zu zwei (Brenn-)Punken konstant ist, ist die Ellipse.
Brennpunkte z=-2, z=-3i
Die Punkte z=0 und z=-2-3i liegen auf der Ellipse
$ [mm] |z+2|+|z+3i|\le5 [/mm] $ wird wohl das Innere der Ellipse sein, oder?
Bei $ [mm] z^2+az+b=0 [/mm] $ mit a,b $ [mm] \in\IC, [/mm] $ bekomme ich übrigens nur 2 Lösungen. Könntest Du bitte Deine 8 Lösungen als Beispiel angeben?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Mi 09.09.2009 | | Autor: | YesWeCan |
| Aufgabe | [mm] z^2+(2+3i)z+(1+i)=0
[/mm]
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[mm] z=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2+3i}{2})^2-(1-i)}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-1,25+3i-(1-i)}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-2,25+2i}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{3,0104e^{i2,415}}
[/mm]
[mm] =-1+1,5i\pm\(\wurzel{3,014}e^{i1,2075} [/mm] und [mm] \wurzel{3,014}e^{i4,349}
[/mm]
[mm] z1=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i1,2075} [/mm]
[mm] z2=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i1,2075} [/mm]
[mm] z3=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i4,349}
[/mm]
[mm] z4=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i4,349}
[/mm]
da für die komplexen NS gilt:wenn z NS ist, dann ist [mm] \overline{z} [/mm] auch eine NS
[mm] z5=\overline{z1}
[/mm]
[mm] z6=\overline{z2}
[/mm]
[mm] z7=\overline{z3}
[/mm]
[mm] z8=\overline{z4}
[/mm]
ist das so richtig ?
Gruss
Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Mi 09.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]z^2+(2+3i)z+(1+i)=0[/mm]
>
>
> [mm]z=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2+3i}{2})^2-(1-i)}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-1,25+3i-(1-i)}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{-2,25+2i}[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{2+3i}{2}\pm\wurzel{3,0104e^{i2,415}}[/mm]
Spaetestens nach dem Runden sind das keine Loesungen mehr, sondern nur noch Annaeherungen von Loesungen.
> [mm]=-1+1,5i\pm\(\wurzel{3,014}e^{i1,2075}[/mm] und
> [mm]\wurzel{3,014}e^{i4,349}[/mm]
>
> [mm]z1=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i1,2075}[/mm]
> [mm]z2=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i1,2075}[/mm]
> [mm]z3=-1+1,5i+\wurzel{3,014}e^{i4,349}[/mm]
> [mm]z4=-1+1,5i-\wurzel{3,014}e^{i4,349}[/mm]
Das sind zwei Loesungen, da jeweils zwei gleich sind.
(Lies dir mal meine Antwort durch.)
> da für die komplexen NS gilt:wenn z NS ist, dann ist
> [mm]\overline{z}[/mm] auch eine NS
Nein, das gilt hier eben nicht! Wenn $z$ eine Nullstelle von [mm] $z^2 [/mm] + a z + b$ ist, dann ist [mm] $\overline{z}$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $z^2 [/mm] + [mm] \overline{a} [/mm] z + [mm] \overline{b}$! [/mm] Nur wenn $a = [mm] \overline{a}$ [/mm] und $b = [mm] \overline{b}$ [/mm] ist, dann gilt die obige Aussage (und dies bedeutet gerade, dass $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] sind).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:39 Do 10.09.2009 | | Autor: | isi1 |
Und was ist jetzt? Habt ihr zu meiner Ellipsenlösung keine Meinung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 Do 10.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Und was ist jetzt? Habt ihr zu meiner Ellipsenlösung keine
> Meinung?
Das :
"
$ [mm] |z+2|+|z+3i|\le5 [/mm] $ wird wohl das Innere der Ellipse sein"
stimmt nicht ganz ! Es ist das Innere der Ellipse + Rand
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mi 09.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Und noch eine Frage zum Rechnen mit komplexen Zahlen:
> angenommen ich habe komplexen Polynom 2 Grades: [mm]z^2+az+b=0[/mm]
> mit a,b [mm]\in\IC,[/mm] ich soll alle Lösungen davon bestimmen.
> Wende p,q Formel an ... Wurzel aus der Diskrim.(in diesem
> Fall, Komplexe Zahl), dann erhalte ich 2 Kompl. Zahlen
> (geicher Betrag, 2 Winkel)...
Genau.
> nun, da [mm]-\bruch{p}{2}\pm[/mm] (meine 2 Kom.Zahlen)-->dann wäre
> ich schon bei 4 Lösungen für die Gleichung.
Nein, es sind immer noch zwei: wenn $x$ und $y$ Wurzeln einer komplexen Zahl sind, dann gilt $x = [mm] \pm [/mm] y$ -- die zwei verschiedenen moeglichen Winkel unterscheiden sich um [mm] $\pi$, [/mm] und der Winkel [mm] $\pi$ [/mm] entspricht grad dem Minus.
> Zusätlich
> heißt es wenn z eine Nullstelle ist dann ist auch
> [mm]\overline{z}[/mm] eine NS...
Das gilt nur dann, wenn $a, b [mm] \in \IR$ [/mm] sind. Und im dem Fall ist die diskriminante auch eine reelle Zahl.
Ist $r [mm] \ge [/mm] 0$ eine reelle Zahl, so ist [mm] $\overline{\sqrt{r}} [/mm] = [mm] \sqrt{r}$ [/mm] und [mm] $\overline{-\sqrt{r}} [/mm] = [mm] -\sqrt{r}$, [/mm] du erhaelst also keine neue Loesung.
Ist $r < 0$ eine reelle Zahl, so ist [mm] $\sqrt{r}$ [/mm] von der Form $i [mm] \cdot [/mm] q$ mit $q [mm] \in \IR$. [/mm] Dann gilt jedoch [mm] $\overline{\sqrt{r}} [/mm] = [mm] \overline{i q} [/mm] = -i q = [mm] -\sqrt{r}$.
[/mm]
Insofern bekommst du wieder nur die gleichen beiden Loesungen raus.
> dann wäre ich bei 8 Lösungen für eien Quadr.
> gleichung!
Du hast 8 Loesungen, von denen sehr viele gleich sind ;)
LG Felix
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