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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Mi 16.11.2011 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | H12. Zu gegebenen [mm] r\ge0 [/mm] betrachten wir in [mm] \IC [/mm] die Teilmengen
[mm] M_{r}= [/mm] { z [mm] \in \IC; |z^2-1| \le [/mm] r } .
(Vorsicht,das ist nicht die Kreisscheibe vom Radius r um z=1)
b) Beweisen sie die Gleichung [mm] \partial M_{r} [/mm] = { z [mm] \in \IC; |z^2-1| [/mm] = r }
c) Parametrisieren Sie für den Fall r = 1 die Randpunkte z von [mm] M_{r} [/mm] mit Ausnahme des Nullpunktes
durch Polarkoordinaten z = [mm] \pm \mu^{i \gamma}, [/mm] in dem Sie [mm] \mu [/mm] > 0 als eine Funktion von [mm] \gamma \in (\bruch{-\pi}{4}; \bruch{\pi}{4}) [/mm] darstellen. |
Nabend.
zu b)
Der Rand ist ja definiert durch : [mm] \partial M_{r} [/mm] = [mm] \partial(\IC [/mm] / [mm] M_{r}) [/mm] = [mm] \overline{M_{r}} \cap \overline{\IC / M_{r}}
[/mm]
Jetzt muss ich zeigen,dass z [mm] \in M_{r} [/mm] nicht in dem Schnitt liegt? Ist das nicht offensichtlich? Wie zeige ich das schnell? Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ja eine Umgebung U(x) , sodass M [mm] \cap U_{\varepsilon} \not= \emptyset [/mm] und [mm] (\IC [/mm] / [mm] M_{r} [/mm] ) [mm] \cap U_{\varepsilon} \not= \emptyset [/mm] FÜR ALLE x [mm] \in \partial M_{r} [/mm] .
Ist das klar? Oder muss man hier weiter was beweisen? x liegt ja sowohl in [mm] M_{r}, [/mm] in [mm] \IC [/mm] als auch in seiner eigenen Umgebung U(x).
Zu c)
Hier weiß ich ehrlich gesagt garnicht,was mit dieser [mm] \mu [/mm] Funktion gemeint sein soll. Cosinus oder Sinus Funktion?
Dann müsste ich mit dieser z parametrisieren? Ich steh hier auf dem Schlauch.
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:59 Mi 16.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo dimi,
> b) Beweisen sie die Gleichung [mm]\partial M_{r}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { z [mm]\in \IC; |z^2-1|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= r }
>
> zu b)
>
> Der Rand ist ja definiert durch : [mm]\partial M_{r}[/mm] = [mm]\partial(\IC[/mm] / [mm]M_{r})[/mm] = [mm]\overline{M_{r}} \cap \overline{\IC / M_{r}}[/mm]
Das kann so doch nicht stimmen. Egal wie [mm] M_r [/mm] definiert wird, ist dieser Schnitt immer leer.
> Jetzt muss ich zeigen,dass z [mm]\in M_{r}[/mm] nicht in dem Schnitt
> liegt?
Da in der Definition von [mm] M_r [/mm] ja ein "kleiner gleich" vorkommt, gibt es sehr wohl Elemente von [mm] M_r, [/mm] die auf dem Rand liegen.
> Zu c)
>
> Hier weiß ich ehrlich gesagt garnicht,was mit dieser [mm]\mu[/mm]
> Funktion gemeint sein soll. Cosinus oder Sinus Funktion?
>
> Dann müsste ich mit dieser z parametrisieren? Ich steh
> hier auf dem Schlauch.
Wie müsstest Du [mm] \mu [/mm] wählen, um einen Punkt des Randes darzustellen? Wie müsste sich [mm] \mu [/mm] verändern, damit nach und nach alle Punkte des Randes dargestellt werden (außer dem Nullpunkt, der so eben nicht zu erfassen ist).
Hast Du Dir [mm] M_r [/mm] schon einmal skizziert? Notfalls lass es Dir mal plotten, dann siehst Du bestimmt klarer.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Mi 16.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo reverend!
> > Der Rand ist ja definiert durch : [mm]\partial M_{r}[/mm] =
> [mm]\partial(\IC[/mm] / [mm]M_{r})[/mm] = [mm]\overline{M_{r}} \cap \overline{\IC / M_{r}}[/mm]
>
> Das kann so doch nicht stimmen. Egal wie [mm]M_r[/mm] definiert
> wird, ist dieser Schnitt immer leer.
Das stimmt schon (wenn es auch ganz schlampig geschrieben ist): Der Rand einer Menge ist gleich dem Durchschnitt ihres Abschlusses mit dem Abschluss ihres Komplements.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 Mi 16.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> H12. Zu gegebenen [mm]r\ge0[/mm] betrachten wir in [mm]\IC[/mm] die
> Teilmengen
>
> [mm]M_{r}=\{ z \in \IC; |z^2-1| \le r \}[/mm] .
> (Vorsicht,das ist nicht die Kreisscheibe vom Radius r um
> z=1)
>
> b) Beweisen sie die Gleichung [mm]\partial M_{r} = \{ z \in \IC; |z^2-1| = r \}[/mm]
>
> c) Parametrisieren Sie für den Fall r = 1 die Randpunkte z
> von [mm]M_{r}[/mm] mit Ausnahme des Nullpunktes
> durch Polarkoordinaten [mm]z = \pm \mu^{i \gamma},[/mm] in dem Sie
> [mm]\mu[/mm] > 0 als eine Funktion von [mm]\gamma \in (\bruch{-\pi}{4}; \bruch{\pi}{4})[/mm]
> darstellen.
Steht da wirklich [mm]z = \pm \mu^{i \gamma}[/mm], oder nicht doch eher [mm]z = \pm \mu e^{i \gamma}[/mm] ?
> zu b)
>
> Der Rand ist ja definiert durch : [mm]\partial M_{r}[/mm] =
> [mm]\partial(\IC[/mm] / [mm]M_{r})[/mm] = [mm]\overline{M_{r}} \cap \overline{\IC / M_{r}}[/mm]
Ja.
> Jetzt muss ich zeigen,dass z [mm]\in M_{r}[/mm] nicht in dem Schnitt
> liegt? Ist das nicht offensichtlich? Wie zeige ich das
> schnell? Zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 gibt es ja eine Umgebung
> U(x) , sodass M [mm]\cap U_{\varepsilon} \not= \emptyset[/mm] und
> [mm](\IC[/mm] / [mm]M_{r}[/mm] ) [mm]\cap U_{\varepsilon} \not= \emptyset[/mm] FÜR
> ALLE x [mm]\in \partial M_{r}[/mm] .
>
> Ist das klar? Oder muss man hier weiter was beweisen? x
> liegt ja sowohl in [mm]M_{r},[/mm] in [mm]\IC[/mm] als auch in seiner eigenen
> Umgebung U(x).
Ich würde die Stetigkeit der Abbildung $g: [mm] z\mapsto z^2 [/mm] $ ausnutzen. [mm] $M_r$ [/mm] ist doch das Urbild der abgeschlossenen Kreisscheibe [mm] $\{ z \in \IC; |z-1| \le r \}$ [/mm] unter eben dieser Abbildung.
> Zu c)
>
> Hier weiß ich ehrlich gesagt garnicht,was mit dieser [mm]\mu[/mm]
> Funktion gemeint sein soll. Cosinus oder Sinus Funktion?
Weder noch. Einfach nur Polarkoordinaten:
[mm] |z^2-1| = |\mu^2 e^{2i\gamma} - 1| [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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