Komplexe Nullstellen berechnen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dudu93 |
| Aufgabe | Man ermittle alle Nullstellen des Polynoms
p(z) = [mm] z^4-4z^3+17z^2-16z+52
[/mm]
Tipp: Das Polynom bestitzt die Nullstelle z1 = 2i |
Hallo, kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich am besten mit der Aufgabe beginne, um sie zu lösen?
LG
|
|
| |
|
Hallo dudu93,
> Man ermittle alle Nullstellen des Polynoms
>
> p(z) = [mm]z^4-4z^3+17z^2-16z+52[/mm]
>
> Tipp: Das Polynom bestitzt die Nullstelle z1 = 2i
> Hallo, kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich am
> besten mit der Aufgabe beginne, um sie zu lösen?
>
Mit 2i ist auch -2i eine Nullstelle des Polynoms,
so daß Du durch den Faktor (z-2i)*(z+2i) dividieren kannst,
um die restlichen Nullstellen zu ermitteln.
> LG
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dudu93 |
Danke für die schnelle Antwort.
Habe nun zuerst die beiden bekannten Nullstellen ausmultipliziert:
(z-2i)*(z+2i) = [mm] z^2+4
[/mm]
Dann habe ich Polynomdivision ausgeführt, in dem ich das Polynom durch [mm] z^2+4 [/mm] geteilt habe.
Rausbekommen habe ich:
[mm] z^2-4z-4+\bruch{16z+16}{z^2+4} [/mm]
Ist das soweit richtig?
LG
|
|
|
| |
|
HI!
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Habe nun zuerst die beiden bekannten Nullstellen
> ausmultipliziert:
>
> (z-2i)*(z+2i) = [mm]z^2+4[/mm]
>
> Dann habe ich Polynomdivision ausgeführt, in dem ich das
> Polynom durch [mm]z^2+4[/mm] geteilt habe.
>
>
> Rausbekommen habe ich:
>
> [mm]z^2-4z-4+\bruch{16z+16}{z^2+4}[/mm]
>
> Ist das soweit richtig?
>
> LG
Nein.
Das Ergebnis sollte: [mm] $z^2-4z+13$ [/mm] lauten.
Zeig mal deine Rechenschritte.
Valerie
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dudu93 |
Hier ist mein Lösungsweg. Ich frage mich, wie du auf die 13 kommst.
http://www.abload.de/img/2012-02-2022.52.2925jwd.jpg
|
|
|
| |
|
Hallo
Nach dem ersten Schritt schreibst du [mm] -4z^2. [/mm] Das ist richtig, aber du musst auch die [mm] +17z^2 [/mm] beachten. Zusammen ergibt das nämlich [mm] -4z^2+17z^2=13z^2 [/mm] und daher kommt auch die 13.
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dudu93 |
Stimmt, das habe ich übersehen.
Gut. Dann kommt [mm] z^2-4z+13 [/mm] raus. Und wie formt man das jetzt um, damit man die Nullstellen bekommt? P/Q-Formel geht ja nicht, weil eine Wurzel aus einer negativen Zahl nicht definiert ist.
Ich weiß, dass Wrzel -1 die komplexe Zahl i ist. Kann mir jemand einen Ansatz geben, wie ich weiter verfahre?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo dudu!
Rechne doch mal vor, wie weit Du kommst (und bitte keine eingescannten und verlinkten Bilder).
Zudem solltest Du im Rahmen der komplexen zahlen wissen, dass gilt: [mm]\wurzel{-1} \ =: \ i[/mm] .
Damit kannst Du dann in [mm]\IC[/mm] auch wunderbar die Wurzel aus negativen Zahlen ziehen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mo 20.02.2012 | | Autor: | dudu93 |
Ich denke, ich hab's raus.
[mm] z^2 [/mm] - 4z + 13 = 0
z1/2 = 2+- [mm] \wurzel{(-2)^2-13}
[/mm]
Da [mm] \wurzel{-1} [/mm] = i ist, habe ich geschrieben:
z1/2 = 2+- i * [mm] \wurzel{9}
[/mm]
z1 = 2 + 3i
z2 = 2 - 3i
So stimmt es, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 20.02.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo dudu!
> z1 = 2 + 3i
>
> z2 = 2 - 3i
Das sieht doch gut aus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bedenke aber, dass es noch [mm]z_3[/mm] und [mm]z_4[/mm] gibt als Lösungen von der Ausgangsgleichung.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
