Komplexe Nullstellen bestimmen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 So 06.07.2008 | | Autor: | Tully |
| Aufgabe | Geben Sie alle komplexen Nullstellen des reellen Polynoms:
f(x) = [mm] X^6 [/mm] - 64
in der Form x + y*i mit exakten Werten x,y [mm] \in \IR [/mm] . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Ich habe ein Problem bei der Bestimmung der imaginären Nullstellen. Als reelle Nullstellen habe ich x1 = 2; x2 = -2 heraus.
Würde es mir etwas bringen durch Polynomdivision den Grad der Funktion zu verringern?
Wie muss ich prinzipiell vorgehen, um an die imaginären Nullstellen heranzukommen?
MFG
Tully
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 So 06.07.2008 | | Autor: | bobmob1 |
probier doch mal deine komplexen Zahlen in der exp darstellung zu berechnen!?!
SChau mal bei Wikipedia wie das geht wenn du es nicht schon selber weist.
mfg Bobmob
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 06.07.2008 | | Autor: | Tully |
Wikipedia hilft mir zur Lösung dieses Problems leider nicht weiter.
Kannst du deine Vorgehensweise vielleicht ein bisschen genauer erläutern?
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Hallo Tully,
> Wikipedia hilft mir zur Lösung dieses Problems leider nicht
> weiter.
> Kannst du deine Vorgehensweise vielleicht ein bisschen
> genauer erläutern?
Es ist richtig, daß Dir hier die Polynomdivision bei der Bestimmung der restlichen Nullstellen behilflich ist, denn Du hast ja schon 2 Nullstellen: [mm]x_{1}=2, \ x_{2}=-2[/mm]
Führe also diese Polynomdivison aus:
[mm]\left(X^{6}-64\right):\left(X^{2}-4\right)= \dots [/mm]
Und von diesem Polynom, das Du dann erhältst, bestimmst Du dann die restlichen Nullstellen.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 So 06.07.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ja, Polynomdivision würde dich weiterbringen!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 So 06.07.2008 | | Autor: | Tully |
Danke soweit!
Ich habe nun die Division durchgeführt, welche zum Ergebnis
[mm] x^4 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + 16
führt.
Nun könnte ich durch Substituieren an die quadratische Form
[mm] a^2 [/mm] + 4a + 16
gelangen. Jedoch weiß ich nicht, ob mir das nun hilft, bzw., wie ich nun an ein konkretes ergebnis gelangen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 06.07.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
die Nullstellen entsprechen den Lösungen der Gleichung [mm] z^6=64. [/mm]
z lässt sich sowohl in der Form z=x+iy und auch in der Form z=|z|*cos [mm] \phi [/mm] +i*sin [mm] \phi [/mm] darstellen.
Letztere hilft hier weiter.
Dann gilt nämlich [mm] z^6=|z|^6*(cos 6\phi [/mm] +i*sin [mm] 6\phi)=64.
[/mm]
64 ist jedoch [mm] 2^6*(cos [/mm] 0 + i sin 0).
Damit gilt |z|=2, und [mm] \phi [/mm] kann jedes Argument sein, für das cos [mm] 6\phi=cos [/mm] 0 und sin [mm] 6\phi=sin [/mm] 0 gilt.
Das giit genau für 0°, 60°, 120°, 180°, 240° und 300°. (Kennst du die Formel von Moivre?)
Mit den entsprechenden cos- und sin-Werten kannst du x und y jeweils genau angeben.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 06.07.2008 | | Autor: | Tully |
Danka Abakus für deine ausführlliche Antwort. Aber (vielleicht eine doofe Frage), geht das nicht einfacher?
Also nochmal zu meinem Lösungsansatz....
Ich habe den Therm
[mm] x^4 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + 32
diesen substituiert
[mm] x^2 [/mm] = a
[mm] a^2 [/mm] + 4a + 32
Nun P/Q
- 2 +- [mm] \wurzel{-12} [/mm]
= 2 +- [mm] \wurzel{-12 * (-1)} [/mm]
= 2 +- [mm] \wurzel [/mm] {12} * [mm] \wurzel [/mm] {-1}
[mm] \wurzel [/mm] {-1} = i
= 2+- [mm] \wurzel{12}*i
[/mm]
und dann rücksubstituieren? oder ist das völliger "Humbug" ;)
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Hallo Tully,
> Danka Abakus für deine ausführlliche Antwort. Aber
> (vielleicht eine doofe Frage), geht das nicht einfacher?
>
> Also nochmal zu meinem Lösungsansatz....
>
> Ich habe den Therm
>
> [mm]x^4[/mm] + [mm]4x^2[/mm] + 32
Sicher hast Du Dich da verschrieben:
[mm]x^{4}+4x^{2}+\red{16}[/mm]
>
> diesen substituiert
>
> [mm]x^2[/mm] = a
>
> [mm]a^2[/mm] + 4a + 32
>
> Nun P/Q
>
> - 2 +- [mm]\wurzel{-12}[/mm]
> = 2 +- [mm]\wurzel{-12 * (-1)}[/mm]
> = 2 +- [mm]\wurzel[/mm] {12} * [mm]\wurzel[/mm] {-1}
> [mm]\wurzel[/mm] {-1} = i
> = 2+- [mm]\wurzel{12}*i[/mm]
>
> und dann rücksubstituieren? oder ist das völliger "Humbug"
Jetzt hast Du erstmal die Lösungen für a.
Um die Lösungen für x zu erhalten, mußt Du wieder zurücsubstituieren.
> ;)
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 06.07.2008 | | Autor: | Tully |
Huch, ja habe mich vertan.
meine [mm] x^4 [/mm] + [mm] 4x^2 [/mm] + 16
....Aber ändert ja nichts an der herangehensweise.
Ist ein solche herangehensweise theoretisch korrekt?
Wenn ja, schon mal Danke - den Rest schaff ich dann auch noch irgendwie :)
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Hallo Tully,
> Huch, ja habe mich vertan.
>
> meine [mm]x^4[/mm] + [mm]4x^2[/mm] + 16
>
> ....Aber ändert ja nichts an der herangehensweise.
Genau.
> Ist ein solche herangehensweise theoretisch korrekt?
Ja.
> Wenn ja, schon mal Danke - den Rest schaff ich dann auch
> noch irgendwie :)
>
Wenn Du noch Fragen hast, frage ruhig.
>
>
Gruß
MathePower
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