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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 01.12.2009 | | Autor: | Clone |
| Aufgabe | Eine Reihenschaltung aus dem Widerstand R und der Kapazität C wird von einer idealen Spannungsquelle mit einer sinusförmigen Wechselspannung [mm] u_{0}(t) [/mm] gespeist. Zeichnen Sie diese Schaltung mit Zählpfeilen für die zeitabhängigen Spannungen [mm] u_{R} [/mm] und [mm] u_{C} [/mm] sowie für den gemeinsamen Strom i. Stellen Sie einen sinnvollen Ansatz für den Strom i auf und leiten seine Beziehung zu den Spannungen mit Hilfe von Netzwerk- und Bauteilgleichungen her. Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse entweder durch direktes Einsetzen (also im Zeitbereich) oder mit Hilfe der komplexen Wechselstromrechnung.
Hinweis: Betrachtet wird der eingeschwungene Zustand eines linearen Systems; Anregung ist eine harmonische Schwingung, die Sie nachträglich bestimmen können. |
Hallo,
hierfür habe ich ich mir eine Schaltung gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gegeben:
- sinusförmige Wechselspannung [mm] u_{0}(t)=U_{0}*\cos {\omega t}
[/mm]
Gesucht:
- ein sinnvoller Ansatz für den Strom i
- Beziehung zu den Spannungen mit Hilfe von Netzwerk- und Bauteilgleichungen herleiten
=> dabei sollen die Ergebnisse durch direktes Einsetzen (was bedeutete das: "also im Zeitbereich" das sagt mir leider nichts?) oder mit Hilfe der Wechselstromrechnung
Nun gut. Bisher bin ich so weit gekommen:
Ein sinnvoller Ansatz für den Strom i wäre: [mm] i(t)=I_{0}*\cos {(\omega t + \varphi _{i})}
[/mm]
Denn in einem linearen Netzwerk mit einer sinsuförmigen Erregung mit Kreisfrequenz [mm] \omega [/mm] sind alle Ströme und Spannungen wider sinusförmig mit Kreisfrequenz [mm] \omega [/mm] . Es ändern sich nur die Amplituden und die Phasen.
So, nun zu den Netzwerkgleichungen => Maschengleichungen:
[mm] u_{0}(t)=u_{R}(t)+u_{C}(t) [/mm]
mit [mm] u_{R}(t)=R*i(t) [/mm] und [mm] u_{C}(t)=\bruch{1}{C}\integral{i(t)dt}
[/mm]
=> [mm] u_{0}(t)=U_{0}*\cos {\omega t}=R*i(t)+\bruch{1}{C}\integral{i(t)dt}
[/mm]
Die zeitliche Ableitung ergibt:
[mm] \dot u_{0}(t)=-\omega *U_{0}*\sin {\omega t}=R*\dot i(t)+\bruch{1}{C}*i(t)
[/mm]
Nun setzte ich den Ansatz von i(t) ein:
[mm] \dot i(t)=-\omega *I_{0}*\sin {(\omega t + \varphi _{i})}
[/mm]
[mm] -\omega *U_{0}*\sin {\omega t}=-R\omega *I_{0}*\sin {(\omega t + \varphi _{i})}+\bruch {1}{C}*I_{0}*\cos {(\omega t + \varphi _{i})}
[/mm]
Bis hierhin komme ich. Ok, man könnte noch die Regel [mm] -\sin x=\cos {(x+\pi /2)} [/mm] anwenden.
Aber wann kommt das Ergebnis. Bin ich auf dem richtigen Weg?
Danke für die Hilfe im Voraus!!!
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Di 01.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nicht auf den Hinweis geachtet, dass du U nachträglich bestimmen sollst.
also besser von [mm] i(t)=i_0*sin(\omega*t) [/mm] ausgehen.
Dann bekommst du keine Differentialgleichung, sondern direkt einen Zusammenhang zwischen u(t) und i(t), weil du das integral ausführen kannst.
Deine Rechnung ist vollständig richtig, aber wenn du die dgl löst, kommt noch der einschaltvorgang dazu. der wird durch den ohmschen Widerstand rausgedämpft, und nach dem ist ja nicht gefragt.
Wenn du deine Dgl lösen willst musst du ddie additionstheorme für [mm] sin(\omega*t [/mm] +a) und [mm] cos(\omega*t+a) [/mm] verwenden.
dann kriegst du wenn du sammelst [mm] sin(\omega*t)*(......)+cos(\omega*t)*(#####)
[/mm]
die Klammer bei sin muss [mm] -\omega*U_0 [/mm] ergeben, die bei cos muss 0 sein. damit hast du dann 2 gl. für [mm] \phi [/mm] und [mm] i_0
[/mm]
etwa einfacher wird ie Rechnung, wenn du wirklich , wie in der Überschrift mit komplexen fkt rechnest. am Ende ist dann der Realteil die eigentliche physik.
also [mm] U=U_0*e^{i\omega*t} [/mm] entsprechen [mm] I=I_0*e^{i\omega*t+\phi}
[/mm]
dann braucht man keine Additionsth.
Aber nochmal: arbeite ohne Dgl. direkt mit i(t)
am Ende hast du dann die Phasenverschiebung von U gegen i und kannst dann auch die negative Phasenveschiebung auf u schieben.
Es fehlt dir [mm] vielleicht:asinx+bcosx=\wurzel{a^2+b^2}(a/\wurzel{a^2+b^2}*sinx+b/\wurzel{a^2+b^2}*cosx)
[/mm]
mit [mm] a/\wurzel{a^2+b^2}=cos\alpha [/mm] und [mm] b/\wurzel{a^2+b^2}=sin\alpha [/mm] hast du dann [mm] asinx+bcosx=\wurzel{a^2+b^2}sin(x+\alpha)
[/mm]
Gruss leduart
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