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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 02.12.2009 | | Autor: | JulianTa |
Hallo zusammen!
Ich habe folgende Frage:
Gegeben eine Komplexe Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty z_n$.
[/mm]
Dann gilt ja der folgende Satz: Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty z_n$ [/mm] konvergiert genau dann absolut, wenn [mm] $\sum_{n=0}^\infty Im(z_n)$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=0}^\infty Re(z_n)$ [/mm] absolut konvergieren.
Meine Frage: Kann ich denselben Satz für Konvergenz formulieren? Also in etwa so:
"Die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty z_n$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] $\sum_{n=0}^\infty Im(z_n)$ [/mm] und [mm] \sum_{n=0}^\infty Re(z_n) [/mm] konvergieren."
Das würde mir sehr helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 02.12.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Julian!
> Hallo zusammen!
> Ich habe folgende Frage:
> Gegeben eine Komplexe Reihe [mm]\sum_{n=0}^\infty z_n[/mm].
> Dann
> gilt ja der folgende Satz: Die Reihe [mm]\sum_{n=0}^\infty z_n[/mm]
> konvergiert genau dann absolut, wenn [mm]\sum_{n=0}^\infty Im(z_n)[/mm]
> und [mm]\sum_{n=0}^\infty Re(z_n)[/mm] absolut konvergieren.
> Meine Frage: Kann ich denselben Satz für Konvergenz
> formulieren? Also in etwa so:
>
> "Die Reihe [mm]\sum_{n=0}^\infty z_n[/mm] konvergiert genau dann,
> wenn [mm]\sum_{n=0}^\infty Im(z_n)[/mm] und [mm]\sum_{n=0}^\infty Re(z_n)[/mm]
> konvergieren."
>
Denke Schon!
Ist [mm] $a=\vektor{a_1\\\vdots\\a_n}\in\IR^n$ [/mm] und [mm] $(x_k)_{k\in\IN}$ [/mm] mit [mm] $\vektor{x_{k1}\\\vdots\\ x_{kn}}$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR^n$,
[/mm]
so konvergiert [mm] $x_k\to [/mm] a$ in [mm] $(\IR^n,||.||_\infty)$ [/mm] genau dann
wenn [mm] $\lim_{k\to\infty}x_{k\nu}=a_\nu\quad(\nu=1,\ldots,n)$ [/mm] gilt. Also wenn die Komponentenfolgen konvergieren.
Da der [mm] $\IR^2$ [/mm] als [mm] $\IC$ [/mm] interpretiert werden kann sollte dein Satz stimmen
mFg iks
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