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Hallo, ich habe hier einen Zweifel.
Ich wuerde gerne die Integrationsregeln fuer eine komplexe Funktion finden, die so dargestellt ist.
f(z) = u(z)+iv(z)
bzw: f(x,y)= u(x,y) + iv(x,y)
Die Funktion f(z) sei holomorph.
Wie finde ich nun die Stammfunktion durch Integration von u und v??
Mein Ansatz war der folgende
f(z) = u(z) + iv(z)
dz = dx + idy
Dann waere:
f(z) dz = (u(z)+iv(z))(dx + idy) = u(z)dx + iu(z)dy + iv(z)dx -v(z)dy = [u(z)+iv(z)]dx + [iu(z)-v(z)]dy
Und es wuerde gelten:
[mm]\integral_{}^{}{f(z) dz} = F(z) = \integral_{}^{}{[u(z)+iv(z)]dx}+\integral_{}^{}{[iu(z)-v(z)]dy}[/mm]
So. Dies schaut fuer mich eigentlich ganz gut aus. Nun wollte ich das bestaetigen im Fall der Funktion:
f(z) = z
also: f(x,y) = x + iy
Nach meiner Regel waere die Stammfunktion:
[mm]F(x,y) = \integral_{}^{}{[x+iy]dx}+\integral_{}^{}{[ix-y]dy}=\bruch{1}{2}x^2+ixy+ixy-\bruch{1}{2}y^2=\bruch{1}{2}(x^2-y^2)+ i2xy[/mm]
So, dies ist offensichtlich nicht richtig, denn erstens:
F(x,y) waere nicht holomorph
Und zweitens:
wenn f(z) = z, dann
[mm]F(z) = \bruch{1}{2}z^2 =\bruch{1}{2}(x^2-y^2)+ ixy[/mm]
"Meine" Stammfunktion waere also genau falsch um den Faktor 2 im imaginaeren Teil. Woran liegt das? Was habe ich falsch gemacht?
(dass f(z) = z holomorph ist habe ich ueberprueft)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Mo 15.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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