Komplexe Summenformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Do 10.07.2014 | | Autor: | hannsX |
| Aufgabe | 1 + E(x) + E(2x) + . . . + E(nx) = [mm] \bruch{1 - E((n + 1)x)}{1 - E(x)} \times \bruch{E \left( \bruch{-x}{2} \right)}{E \left( \bruch{-x}{2} \right)} [/mm] = [mm] \bruch{E \left( \bruch{-x}{2} \right) - E \left( \bruch{2n+1}{2}x \right)}{E \left( \bruch{-x}{2} \right) - E \left( \bruch{x}{2} \right)}
[/mm]
Zitat: "Indem man E [mm] \left( \bruch{-x}{2} \right) [/mm] - E [mm] \left( \bruch{x}{2} \right) [/mm] = -2 [mm] \sin \bruch{x}{2} [/mm] beachtet und die Real- und Imaginärteile vergleicht, erhält man:"
a) [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] 2x + . . . + [mm] \cos [/mm] nx = [mm] \bruch{\sin(2n+1)\bruch{x}{2}}{2\sin\bruch{x}{2}}
[/mm]
b) [mm] \sin [/mm] x + [mm] \sin [/mm] 2x + . . . + [mm] \sin [/mm] nx = [mm] \bruch{\sin \bruch{nx}{2} \times \sin \bruch{(n+1)x}{2}}{\sin \bruch{x}{2}}
[/mm]
Hier meine Ansätze:
a) 1 + [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] 2x + . . . + [mm] \cos [/mm] nx = S
S [mm] \times [/mm] (1- [mm] \cos [/mm] x) = (1 + [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] 2x + . . . + [mm] \cos [/mm] nx) - ( [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] 2x + [mm] \cos [/mm] 3x + . . . + [mm] \cos [/mm] (n+1)x)
= [mm] 1-\cos [/mm] (n+1)
s = [mm] \bruch{1 - \cos (n+1)}{1 - \cos x} [/mm] = [mm] \bruch{\sin (n+1)}{\sin x}
[/mm]
[mm] \bruch{\sin (n+1)}{\sin x} \times \bruch{\sin \bruch{-x}{2}}{\sin \bruch{-x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\sin (nx+\bruch{1}{2})x}{\sin \bruch{1}{2}x} [/mm]
Näher komme ich leider nicht an das Ergebnis von oben heran...
b) [mm] \sin [/mm] x + [mm] \sin [/mm] 2x + . . . + [mm] \sin [/mm] nx = S
S [mm] \times [/mm] (1 - [mm] \sin [/mm] x) = [mm] (\sin [/mm] x + [mm] \sin [/mm] 2x + . . . + [mm] \sin [/mm] nx) - [mm] (\sin [/mm] 2x + [mm] \sin [/mm] 3x + . . . + [mm] \sin [/mm] (n+1)x)
S = [mm] \bruch{\sin x - \sin (n+1)x}{1 - \sin x}
[/mm]
[mm] \bruch{\sin x - \sin (n+1)x}{1 - \sin x} \times \bruch{\sin \bruch{-x}{2}}{\sin \bruch{-x}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{\sin \bruch{x}{2} - \sin (n + \bruch{1}{2})x}{\sin \bruch{-x}{2} - \sin \bruch{x}{2}} [/mm]
Hier komme ich nun auch nicht weiter und habe mich wahrscheinlich auch verrannt... |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Lösung einer Aufgabe aus dem "Lehrbuch der Analysis" Teil 1, Herausgegeben von Harro Heuser.
Wie komme ich von der der Ursprungsformel auf die beiden anderen Formeln?
Wenn ihr mir helfen könnt das zu verstehen wäre ich euch sehr dankbar,
Grüße,
Filip
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
was bezeichnest du denn mit E(x) ?
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Do 10.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
Hallo Filip!
> Wie komme ich von der der Ursprungsformel auf die beiden
> anderen Formeln?
Da könnte es hilfreich sein, wenn du erklärst, wofür E(x) steht.
Soll es [mm] $E(x)=e^{j*x}$ [/mm] sein?
Dann würden die angegebenen Umformungen passen und du müsstest für die Verifizierung nur die Eulersche Formel verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Fr 11.07.2014 | | Autor: | hannsX |
"Dann würden die angegebenen Umformungen passen und du müsstest für die Verifizierung nur die Eulersche Formel verwenden."
Ja Genau, E(x) = [mm] e^{ix} [/mm] = [mm] \cos [/mm] x + i [mm] \sin [/mm] x
Ich würde gerne wissen wie ich von meinen meinen Ansätzen auf das angegebenen Ergebnisse komme. Danke schon mal für die Antworten!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Fr 11.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> "Dann würden die angegebenen Umformungen passen und du
> müsstest für die Verifizierung nur die Eulersche Formel
> verwenden."
>
> Ja Genau, E(x) = [mm]e^{ix}[/mm] = [mm]\cos[/mm] x + i [mm]\sin[/mm] x
>
> Ich würde gerne wissen wie ich von meinen meinen Ansätzen
> auf das angegebenen Ergebnisse komme. Danke schon mal für
> die Antworten!
Ich verstehe nicht ganz, worin die Aufgabe bei dieser Aufgabe bestehen soll.
Es sieht eher aus wie der bereits ausformulierte Herleitungsschritt für die Reihen a) und b). Es ist doch eigentlich alles bereits angegeben und nichts muss mehr gezeigt oder bewiesen werden. Ausgegangen wird von einer endlichen geometrischen Reihe (manche verwenden dafür heute nur mehr die Bezeichnung Summe), deren Summenformel wird angewandt, durch Erweitern passend umgeformt und wenn man das Ergebnis getrennt nach Real- und Imaginärteil betrachtet, erhält man beiden Reihen a) und b).
Was ist da also noch zu tun?
Du versuchst die Beziehungen a) und b) auf anderem Weg zu zeigen. Warum? Ein Fehler, der bei Betrachtung deines Ansatzes auffällt, ist, dass du glaubst, dass $cos(x)*cos(x)=cos(2*x)$ ist. Das ist natürlich grober Unfug - denk zB an die Summensätze für die Winkelfunktionen.
Im Gegensatz zur komplexen Angabereihe sind weder a) noch b) geometrische Reihen. Du scheinst das aber zu glauben, weil du genau jenen Trick anzuwenden versuchst, welcher bei geometrischen Reihen angewandt wird, um deren Summe zu ermitteln (wenn man die bekannte Formel nicht anwenden will oder darf).
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:10 Fr 11.07.2014 | | Autor: | hannsX |
Das Problem ist wohl dass ich den Zusammenhang von a) un b) zu der Ursprungsformel nicht Herstellen kann ... ich habe mir schon gedacht das [mm] \cos [/mm] x [mm] \times \cos [/mm] x evtl falsch ist.
Also liegt mein Verständnisproblem wahrscheinlich darin dass ich nicht weiß wie ich mit den Winkelfunktionen arbeite. Ich werde mir das nochmal genauer anschauen, danke für den Hinweis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 11.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Das Problem ist wohl dass ich den Zusammenhang von a) un b)
> zu der Ursprungsformel nicht Herstellen kann ... ich habe
> mir schon gedacht das [mm]\cos[/mm] x [mm]\times \cos[/mm] x evtl falsch
> ist.
>
> Also liegt mein Verständnisproblem wahrscheinlich darin
> dass ich nicht weiß wie ich mit den Winkelfunktionen
> arbeite. Ich werde mir das nochmal genauer anschauen, danke
> für den Hinweis
Geht es dir darum, dass du den Schluss von der E(x) Reihe zu den Reigen a) und b) nicht nachvollziehen kannst oder möchtest du unbedingt a) und b) nochmals auf eine andere Art zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Sa 12.07.2014 | | Autor: | hannsX |
Hallo Mix,
es geht mir lediglich darum dass ich den Schluss von E(x) auf a) und b) nicht nachvollziehen kann - aber ich bin noch dabei die Antwort von Marcel aufzuarbeiten, vlt. komme ich dann drauf wo es bei mir hakt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:05 Sa 12.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo Mix,
> es geht mir lediglich darum dass ich den Schluss von E(x)
> auf a) und b) nicht nachvollziehen kann - aber ich bin noch
> dabei die Antwort von Marcel aufzuarbeiten, vlt. komme ich
> dann drauf wo es bei mir hakt
Alles klar. War so gesehen nur irritierend, dass du da eine komplett andere Herleitung versucht hast.
Marcel hat es ja sehr detailliert erklärt und dabei auch auf die Fehler hingewiesen (fehlendes i, Herleitung für ganzzahlige Vielfache von [mm] 2*\pi [/mm] nicht gültig).
Falls es trotzdem noch Fragen gibt, frag einfach nach.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Fr 11.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> "Dann würden die angegebenen Umformungen passen und du
> müsstest für die Verifizierung nur die Eulersche Formel
> verwenden."
>
> Ja Genau, E(x) = [mm]e^{ix}[/mm] = [mm]\cos[/mm] x + i [mm]\sin[/mm] x
>
> Ich würde gerne wissen wie ich von meinen meinen Ansätzen
> auf das angegebenen Ergebnisse komme. Danke schon mal für
> die Antworten!
ich glaube, Du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht:
> 1 + E(x) + E(2x) + . . . + E(nx) = [mm] \bruch{1 - E((n + 1)x)}{1 - E(x)}
[/mm]
Dort steht nur - darauf wurde schon hingewiesen - das Ergebnis der endlichen
geometrischen Reihe, also folgende Formel für $z [mm] \in \IC \setminus \{1\}$
[/mm]
[mm] $1+z+z^2+...+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\,.$
[/mm]
Beachte hier:
$z=E(x)$ [mm] $\Rightarrow$ $z^n=(E(x))^n$ $\red{=}$ [/mm] $E(n*x)$
Jetzt steht ja da:
> [mm] \bruch{1 - E((n + 1)x)}{1 - E(x)}=\bruch{1 - E((n + 1)x)}{1 - E(x)}\times \bruch{E \left( \bruch{-x}{2} \right)}{E \left( \bruch{-x}{2} \right)}
[/mm]
Dafür muss $E(x) [mm] \not=1$ [/mm] gewährleistet sein - was wohl unterschlagen wurde.
Also bei den Umformungen erstmal $x [mm] \notin 2\pi*\IZ$ [/mm] - am Ende kann man die
Formel-Ergebnisse für $x [mm] \in 2\pi*\IZ$ [/mm] separat testen!
Dort wird rechterhand doch nur [mm] $1\,$ [/mm] dranmultipliziert:
[mm] $1=a/a\,$ [/mm] für alle komplexen Zahlen $a [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Bei Dir ist wegen $|E(-x/2)|=1$ ($x [mm] \in \IR$) [/mm] sicher kein Nulldivisionsproblem
vorhanden!
$ = [mm] \bruch{E \left( \bruch{-x}{2} \right) - E \left( \bruch{2n+1}{2}x \right)}{E \left( \bruch{-x}{2} \right) - E \left( \bruch{x}{2} \right)}$
[/mm]
Im letzten Nenner wurde
$(1-E(x))*E(-x/2)=E(-x/2)-E(x)*E(-x/2)$
und dann noch
$E(x)*E(-x/2)=E(x-x/2)$ (ist Dir das klar?),
also
$E(x)*E(-x/2)=E(x/2)$
beachtet.
> Zitat: "Indem man E [mm] \left( \bruch{-x}{2} \right) [/mm] - E [mm] \left( \bruch{x}{2} \right) [/mm] = -2 [mm] \sin \bruch{x}{2} [/mm] beachtet
Das kann man viel schöner schreiben: Für reelle [mm] $r\,$ [/mm] ist
[mm] $E(r)-E(-r)=E(r)-\overline{E(r)}$ [/mm] (ganz rechts steht die konj. komplexe)
und das liefert
[mm] $E(r)-E(-r)=2*i*\text{Im}(E(r))=2*i*\sin(r)\,.$
[/mm]
Insbesondere steht oben also was falsches:
[mm] $E(-x/2)-E(x/2)=-(E(x/2)-E(-x/2))=\;-\;2*\red{\;i\;}*\sin(x/2)$
[/mm]
Das gehört in den Nenner.
> und die
> Real- und Imaginärteile vergleicht, erhält man:"
> a) [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \cos [/mm] x + [mm] \cos [/mm] 2x + . . . + [mm] \cos [/mm] nx = [mm] \bruch{\sin(2n+1)\bruch{x}{2}}{2\sin\bruch{x}{2}}
[/mm]
> b) [mm] \sin [/mm] x + [mm] \sin [/mm] 2x + . . . + [mm] \sin [/mm] nx = [mm] \bruch{\sin \bruch{nx}{2} \times \sin \bruch{(n+1)x}{2}}{\sin \bruch{x}{2}}
[/mm]
Ich schreib's jetzt mal anders auf: Für reelle $x [mm] \not=0$ [/mm] ist
[mm] $1+E(x)+...+E(nx)=\frac{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}$ [/mm]
klar, oder?
Dann ist der Realteil der linken Seite der gleiche wie der der rechten, und
das Gesagte gilt auch für den Imaginärteil.
Der Realteil der linken Seite (ich definiere ihn als RE) ist
(I) [mm] $\text{RE}:=1+\cos(x)+\cos(2x)+...+\cos(nx)\,.$
[/mm]
Das ist klar, oder?
Nach dem eben Gesagten ist RE das gleiche wie
[mm] $\text{Re}\left(\frac{1-E((n+1)*x)}{1-E(x)}\right)\,.$
[/mm]
Wir schauen uns
[mm] $\frac{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}$
[/mm]
an und rechnen ein wenig geschickt, um den Realteil dieser Zahl ablesen
zu können:
[mm] $\frac{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}=\frac{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}*\frac{E(-x/2)}{E(-x/2)}=\frac{E(-x/2)-E((n+1)*x-x/2)}{-2*i*\sin(x/2)}=\frac{E(-x/2)-E(nx+\tfrac{1}{2}x)}{-2*i*\sin(x/2)}*\frac{i}{i}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2\sin(x/2)}*i*\left(E(-x/2)-E((n+\tfrac{1}{2})x)\right)$
[/mm]
Von diesem Ding wollen wir den Realteil ablesen.
Für die zweite Formel analog, oder Du kannst auch hiermit
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Kern#Beweis_der_trigonometrischen_Identit.C3.A4t
arbeiten. Oder schau' mal auf
Seite 308 (klick!)
Nebenbei: Deine Formel für den Imaginärteil habe ich jetzt nicht nachgerechnet.
Aber für den Realteil solltest Du sehen
[mm] $\text{RE}$ [/mm] $=$ [mm] $\frac{\sin(x/2)+\sin((2n+1)*x/2)}{2\sin(x/2)}\,.$
[/mm]
Das sieht noch nicht ganz so aus, wie es aussehen sollte, aber da ist nicht
mehr viel zu tun. Setzen wir RE ein und formen letzte Gleichung rechts ein
wenig um [mm] ($\tfrac{a+b}{c}=\tfrac{a}{c}+\tfrac{b}{c}$):
[/mm]
[mm] $1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{\sin(x/2)}{2*\sin(x/2)}+\frac{\sin((2n+1)*x/2)}{\blue{\text{2}}*\sin(x/2)}$
[/mm]
Siehst Du, dass da (für $x [mm] \notin 2\pi*\IZ$) [/mm] nichts anderes als eine zu der von Dir
gelieferten Formel a) äquivalente Formel steht? Falls nicht:
[mm] $1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{\sin(x/2)}{2*\sin(x/2)}+\frac{\sin((2n+1)*x/2)}{\blue{\text{2}}*\sin(x/2)}$
[/mm]
[mm] $\iff$ $1/2+\left(\red{1/2+\cos(x)+...+\cos(nx)}\right)=\frac{\sin(x/2)}{2*\sin(x/2)}+\red{\frac{\sin((2n+1)*x/2)}{\blue{\text{2}}*\sin(x/2)}}$
[/mm]
Jetzt aber?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Sa 12.07.2014 | | Autor: | hannsX |
Hallo Marcel,
bis hierhien kann ich dir Folgen:
Wir schauen uns
[mm] \frac{1-E((n+1)x)}{1-E(x)} [/mm]
an und rechnen ein wenig geschickt, um den Realteil dieser Zahl ablesen
zu können:
[mm] \frac{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}=\frac{1-E((n+1)x)}{1-E(x)}\cdot{}\frac{E(-x/2)}{E(-x/2)}=\frac{E(-x/2)-E((n+1)\cdot{}x-x/2)}{-2\cdot{}i\cdot{}\sin(x/2)}=\frac{E(-x/2)-E(nx+\tfrac{1}{2}x)}{-
2\cdot{}i\cdot{}\sin(x/2)}\cdot{}\frac{i}{i} [/mm]
$ [mm] =\frac{1}{2\sin(x/2)}\cdot{}i\cdot{}\left(E(-x/2)-E((n+\tfrac{1}{2})x)\right) [/mm] $
Von diesem Ding wollen wir den Realteil ablesen.
Aber beim Ablesen des Realteils komme ich in's stocken. Allerdings
habe ich damit dass du auf das "i" als Faktor hinweist einen, so glaube ich,
wichtigen Schritt zur Lösung gefunden:
$ [mm] =\frac{1}{2\sin(x/2)}\cdot{}i\cdot{}\left(E(-x/2)-E((n+\tfrac{1}{2})x)\right) [/mm] $
Davon schreibe ich zunächst den hinteren Teil:
$ [mm] i\cdot{}\left(E(-x/2)-E((n+\tfrac{1}{2})x)\right) [/mm] $
um in:
$ [mm] [((\cos(-X/2)+i\sin(-x/2))-((\cos((n+1/2)x)+i\sin((n+1/2)x))]\cdot{}i [/mm] $
$ = [mm] ((i\cos(-X/2)+i^2\sin(-x/2))-((i\cos((n+1/2)x)+i^2\sin((n+1/2)x)) [/mm] $
$ = [mm] ((i\cos(-X/2)-\sin(-x/2))-((i\cos((n+1/2)x)-\sin((n+1/2)x)) [/mm] $
Dann noch Vorzeichen zusammenfassen:
$ = [mm] ((-i\cos(X/2)+\sin(x/2))-((i\cos((n+1/2)x)-\sin((n+1/2)x)) [/mm] $
Daraus lese ich nun den Realteil heraus:
$ = [mm] \sin(x/2)-(-\sin((n+1/2)x)) [/mm] $
$ = [mm] \sin(x/2)+\sin((n+1/2)x) [/mm] $
So bin ich bei dem angekommen was bei dir dann auch steht:
$ [mm] \bruch{\sin(x/2)+\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{2\sin(x/2)}\ [/mm] $
Aber danach beim Umschreiben auf 2 Summanden müsste es doch anstatt wie bei dir:
$ [mm] 1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{\sin(x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)}+\frac{\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{\red{\sin(x/2)}} [/mm] $
heißen:
$ [mm] 1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{\sin(x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)}+\frac{\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{\green {2\cdot{}\sin(x/2)}} [/mm] $
Also Warum ist im 2. Summand jetzt die "2" Weggefallen?
Vielen Dank für deine Ausführliche Antwort!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Sa 12.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo Marcel,
> Aber danach beim Umschreiben auf 2 Summanden müsste es
> doch anstatt wie bei dir:
>
> [mm]1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{\sin(x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)}+\frac{\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{\red{\sin(x/2)}}[/mm]
>
> heißen:
>
> [mm]1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{\sin(x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)}+\frac{\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{\green {2\cdot{}\sin(x/2)}}[/mm]
>
> Also Warum ist im 2. Summand jetzt die "2" Weggefallen?
>
Zunächst mal bravo, deine Überlegungen sind alle richtig und die lieferst auch einen detaillierten, übersichtlichen Rechengang dazu. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Den Faktor 2 hat Marcel tatsächlich irrtümlicherweise verloren - deine Rechnung ist richtig und liefert auch das Ergebnis, welches du im Initialposting angegeben hast.
Jetzt noch die Imaginärteile vergleichen um den zweiten Zusammenhang zu zeigen.
Bis jetzt wären die Zusammenhänge a) und b) nur für alle x gezeigt, die keine ganzzahligen Vielfachen von [mm] 2*\pi [/mm] sind. Für diesen Sonderfall ergeben die Rechtsterme ja auch unbestimmte Ausdrücke und müssten als Grenzwerte geschrieben.
Es ist fraglich, ob du es dir antun möchtest oder sollst auch hier noch zu zeigen, dass die Summen links und die Grenzwerte rechts gleich sind.
Wenns nur darum ging, die Herleitung im Buch zu verstehen, bist du ja wohl fertig. Die Einschränkung für x sollte allerdings angemerkt werden.
Gruß RMix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mi 16.07.2014 | | Autor: | hannsX |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo rmixx22,
danke das höre ich natürlich gerne! Ich konnte jetzt auch die letzten Schritte Nachvollziehen sogar das wom Imaginärteil.
Und die Einschränkung:
$ x\ne 2k\pi $
ist natürlich nicht zu vergessen.
Um das ganz abzuschliessen zeige ich noch meine letzten Umformungsschritte:
$ 1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{\sin(x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)}+\frac{\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)} $
Dann steht da ja:
$ 1+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{1}{21}+\frac{\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)} \mid -\frac{1}{2} $
$ \green{\frac{1}{2}+\cos(x)+...+\cos(nx)=\frac{1}{21}+\frac{\sin((2n+1)\cdot{}x/2)}{2\cdot{}\sin(x/2)} \mid -\frac{1}{2}} $
Fuer $ x\ne 2k\pi$
Und nun zum Imaginärteil:
Zuerst nehme ich die Ausgansformel mit $ E\left(\bruch{-x}{2} \right) $ multipliziert habe:
$ \bruch{E \left( \bruch{-x}{2} \right) - E \left( \bruch{2n+1}{2}x \right)}{E \left( \bruch{-x}{2} \right) - E \left( \bruch{x}{2} \right)} $
Und dann schreibe ich sie mit E(x) = e^{ix} = \cos x + i\sin x auf:
$ \bruch{((-i\cos(X/2)+\sin(x/2))-((i\cos((n+1/2)x)-\sin((n+1/2)x))}{2\cdot{}\sin(x/2)} $
Nun sortiere ich noch Real und und Imaginärteil:
$ \bruch{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)+\sin\left(n+\bruch{1}{2}x\right)}{2\sin\left(\bruch{x}{2}\right)} + \green{\bruch{i\cos(\left(\bruch{-x}{2}\right)-i\cos\left(n+\bruch{1}{2}x\right)}{2\sin\left(\bruch{x}{2}\right)}} $
Den grünen Imaginärteil kann ich nun mithilfe der des Additionstheorems:
$ \cos x - \cos y = 2\sin\left(\bruch{x+y}{2}\right)\cdot{}\sin\left(\bruch{x-y}{2}\right) $
In das hier Umschreiben (\cos(-x) = \ cos(x)):
$ \bruch{i\cos\left(\bruch{-x}{2}\right)-i\cos\left(n+\bruch{1}{2}x\right)}{2\sin\left(\bruch{x}{2}\right)} = i\cdot{}\bruch{-2\sin\left(\bruch{nx+x}{2}\right)-\sin\left(\bruch{-nx}{2}x\right)}{2\sin\left(\bruch{x}{2}\right)} $
$ = i\cdot{}\bruch{2\sin\left(\bruch{nx+x}{2}\right)-\sin\left(\bruch{nx}{2}x\right)}{2\sin\left(\bruch{x}{2}\right)} $
$ = i\cdot{}\bruch{\sin\left(\bruch{nx}{2}\right)-\sin\left(\bruch{(n+1)x}{2}\right)}{\sin\left(\bruch{x}{2}\right)} $
Und weil ich schonmal dabei bin zeige ich noch die letzten Umformungen die ich aber hier nicht angefragt hatte:
$ 1 + E(x) + E(2x) + . . . + E((n-1)x) = \bruch{1 - E(nx)}{1 - E(x)} = \bruch{1 - E(nx)}{1 - e^{x}} = \bruch{1 - E(nx)}{e^0 - e^{\bruch{2x}{2}}} = \bruch{1 - E(nx)}{e^{\bruch{x}{2}}\cdot{}(1 - e^{\bruch{x}{2}})} $
$ = \bruch{1 - E(nx)}{E(\bruch{x}{2})(E(\bruch{-x}{2}) - E(\bruch{x}{2}))}$
$ 1 + E(x) + E(2x) + . . . + E((n-1)x) = \bruch{1 - E(nx)}{E(\bruch{x}{2})(E(\bruch{-x}{2}) - E(\bruch{x}{2})} \mid \cdot{} E(\bruch{x}{2}) $
$ E(\bruch{x}{2}) + E(x+\bruch{x}{2})} + . . . + E((n-1)x\bruch{x}{2})} = \bruch{1 - E(nx)}{(E(\bruch{-x}{2}) - E(\bruch{x}{2}) = \bruch{1 - E(nx)}{-2i\sin(\bruch{x}{2})} $
$ \bruch{1 - E(nx)}{-2i\sin(\bruch{x}{2})} = \bruch{1-\cos(nx)-i\sin(nx)}{-2i\sin(\bruch{x}{2})} \mid \cdot{} \bruch{i}{i} $
$ = \bruch{\green{i-\icos(nx)}+\sin(nx)}{2\sin(\bruch{x}{2})} $
Hier soll wieder der Imaginärteil abgelesen werden (grün):
$ = \bruch{i-\icos(nx)}{2\sin(\bruch{x}{2})} = \bruch{1-\cos(nx)}{2\sin(\bruch{x}{2})} $
Hier wieder ein Kniff der die ganze Sache etwas einfacher macht:
$ cos(2\left(\bruch{n}{2}\right)x) = (\cos^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x) - \sin^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x))
$ = \bruch{1-(\cos^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x) - \sin^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x))}{2\sin(\bruch{x}{2})} = \bruch{1-\cos^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x) + \sin^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x)}{2\sin(\bruch{x}{2})} $
$ \green{(1-\cos^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x) = \sin^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x))} $
$ = \bruch{2\sin^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x)}{2\sin(\bruch{x}{2})} = \bruch{\sin^2(\left(\bruch{n}{2}\right)x)}{\sin(\bruch{x}{2})} $
So das ist der ganze Prozess :) Und ich bin froh dass ich das alles nachvollziehen konnte und ich habe auch wieder einiges dabei gelernt! Immer diese Kleinigkeiten und Tricks einfach vorausgesetzt werden ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo hannsX,
> So das ist der ganze Prozess :) Und ich bin froh dass ich
> das alles nachvollziehen konnte und ich habe auch wieder
> einiges dabei gelernt! Immer diese Kleinigkeiten und Tricks
> einfach vorausgesetzt werden ...
das hängt immer vom Autor ab, und manchmal zudem von dem, was er
bislang alles "demonstriert" hat.
Schau' mal in das erwähnte Analysis-Skript auf die Seite, auf die ich verwiesen
habe, mit dem Dirichlet-Kern.
Du kannst hier beim ersten Teil auch so vorgehen:
[mm] $\sum_{k=-n}^n e^{i kx}=e^{i*0}+\sum_{k=1}^n (e^{ikx}+e^{-ikx})=1+2*\sum_{k=1}^n \cos(kx)\,.$
[/mm]
Jetzt ist
[mm] ($\star$) $e^{ix/2}-e^{-ix/2}=2i\sin(x/2)\,.$
[/mm]
Weiter:
[mm] $2i\sin(x/2)*\left(1+2*\sum_{k=1}^n \cos(kx)\right)$
[/mm]
ist dann das gleiche wie
[mm] $(e^{ix/2}-e^{-ix/2})*\sum_{k=-n}^n e^{i kx}=\sum_{k=-n}^n e^{i(k+1/2)x}-\sum_{k=-n}^n e^{i(k-1/2)x}\,.$
[/mm]
Indexshift:
[mm] $=\sum_{k=-n}^n e^{i(k+1/2)x}-\sum_{k=-n-1}^{n-1} e^{i(k+1/2)x}$
[/mm]
Weiterrechnen mit Zusammenfassen:
[mm] $=e^{i(n+1/2)x}+\left(\sum_{k=-n}^{n-1} e^{i(k+1/2)x}-\sum_{k=-n}^{n-1} e^{i(k+1/2)x}\right)-e^{i(-n-1+1/2)*x}$
[/mm]
Ein Blick in [mm] ($\star$) [/mm] (wobei man [mm] $x\,$ [/mm] durch $(n+1/2)x$ ersetzen möge) liefert sodann
die gewünschte Formel.
Gruß,
Marcel
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